Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В соответствии с этим формула (4.55)принимает видdN ω =ω2 dω ⎛⎜ 12π 2⎜ v3⎝ II+⎞⎟.v 3⊥ ⎟⎠2(4.55a)Проинтегрировав выражение (4.55а) в пределах от 0 до ωmах,можно найти максимальную частоту нормальных колебаний решетки:N∫ d Nω =0ωmax ω2 dω∫02π 2⎛ 1⋅ ⎜⎜ 3⎝ v II+⎞⎟3 ⎟v⊥ ⎠2=3ωmax⎛ 1⎜2 ⎜ 36π ⎝ v II+⎞⎟.3 ⎟v⊥ ⎠2Учитывая, что полное число колебаний N = ∫dNω (для единицыобъема кристалла) равно числу степеней свободы, равному Зn, где n- число атомов единице объема (4.11), окончательно получаемвыражение для максимальной частоты колебаний:ωmax = 3(v18 π 2n−3II+ 2v −⊥3).(4.56)Часто в задачах для оценки скорости распространенияакустических колебаний в кристаллах полагают равенство116продольной и поперечной скоростей: v⎥⎥ = v⊥, тогда число полных3ω2dω, а соответственно максимальная частотаколебаний dNω =2π 2 v 3определяется из (4.56) какωmax = v ⋅ 3 6π2 ⋅ n,(4.56a)где v - оценочная скорость распространения колебаний.Для оценки минимальной длины упругих волн в кристаллеиспользуется выражение2πv2π2λmin ==≅3 .(4.57)ωmax 3 6π2nnПосколькувеличинасоответствуетминимальному1/ 3 nрасстоянию между атомами в узлах кристаллической решетки d, томинимальную длину λmin упругих волн в кристалле можно определятькак λmin ≅ 2d.
Максимальная длина тепловых упругих волн,возбуждаемых в кристалле, соответствует размеру твердого тела.В квантовой теории Дебая показано, что энергия тепловых упругихволн квантована. Квант тепловой энергии назван. ЭнергияфононаE = hν = hω(4.58)фонономего импульсrrp = h ⋅k(4.59)где k - волновой вектор, k = 2π/λ (λ - длина упругой волны в твердомтеле). Импульс фонона можно представить также в видеhω(4.59a)p=v звгде ω - частота собственных колебаний атомов решетки (частотанормальных колебаний), v в - скорость распространения упругих волнв твердом теле.Следует отметить, что в отличие от обычных частиц: фотонов,электронов, протонов, которые существуют как в вакууме, так и всреде, фонон может существовать только в упругой среде, и поэтомуон является квазичастицей.Спин фонона равен нулю, поэтому фононы подчиняютсязквантовой статистике Бозе-Эйнштейна.объеме V в интервале частот от ω до ω + dстатистике определяется формулойdn =или в терминах νЧисло фононов dn вω согласно квантовой3 Vω2dω2π2 v 3 [exp( hω / kT ) − 1]117dn =12πVν 2dν.v 3 [exp(hν / kT ) − 1](4.60)1.exp(hνi / kT ) − 1(4.61)Среднее число фононов в состоянии с энергией εi, определяетсяni =Максимальная энергия фонона соответствует характеристическойтемпературе твердого тела θ и определяется соотношением(4.62)h ωmax = kθгде k - постоянная Больцмана, ωmax - максимальная частота фононаили максимальная частота колебаний атомов в узлахкристаллической решетки (4.56а).
Характеристическая температура θуказывает для каждого твердого тела температурную область, гдестановится существенным квантование энергии тепловых упругихволн. Значение характеристической температуры θ (температураДебая), а также значение постоянной кристаллической решетки d длянекоторых элементов приведены в таблице 3.В теории Дебая получена формула для расчета молярнойвнутренней энергии твердого тела в диапазоне температур от 0 до θ.⎛T⎞⎟⎝θ⎠Um = Um0 + 3RT ⋅ 3⎜3θ/T∫0x 3 dx,ex − 1(4.63)где х = h ω/kТ (ω - частота фононов), Т - температура твердого тела,θ - характеристическая температура тела, R – универсальная газоваяпостоянная (R = 8,31 Дж/(моль·К)), Um0 - молярная нулевая энергиякристалла, которая рассчитывается по формулеUm0 =9Rθ.8(4.64)Таблица 3Мате- Мg Fе Аu Ar Сu АlРЬ Be Ge Si Алриалмазθ, [K] 406 467 165 210 339 418 76 1160 366 668 2000od, [ A ](В-2,86 3,52 4,078 3,61 4,05 4,95 2,55 5,66 5,43-таблице приведены значения d только для элементов с кубическойoрешеткой).
1A = 10 -10 м .Молярная теплоемкость твердого тела определяется выражениемCm =⎡ ⎛T⎞dUm= 3R ⎢12⎜ ⎟dT⎢⎣ ⎝ θ ⎠3θ/ T∫0x 3 dx 3(θ / T ) ⎤−⎥.e x − 1 e θ / T − 1⎥⎦(4.65)В теории Дебая интересно рассмотреть два предельных случая:1) Область высоких температур Т ≥ θ; 2) Область низкихтемператур Т<< θ.118Т ≥ θ.
В этом случае в формуле (4.63) (еx- 1) ≅ x и для расчетамолярной энергии кристалла имеем следующее выражение:1)⎛T⎞Um = Um0 + 3RT ⋅ 3⎜ ⎟⎝θ⎠3θ/ T∫x 2dx =Um0 + 3RT.(4.66)0а молярная теплоемкость определяется по формулеdUm d(Um0 + 3RT )== 3R.(4.67)dTdTТаким образом, при Т ≥ θ выполняется закон Дюлонга и Пти (рис.4.14). Для решения задач будем считать Т/θ >> 2. Полученныйрезультат означает, что в области высоких температур существуютCm =фононы любой частоты, вплоть доωmax = khθ .Причем при Т >> θосновной вклад в энергию кристалла дают фононы максимальнойэнергии (т.е. минимальной длины волны λmin ~ 2d). Это означает, чтоатомы колеблются как независимые осцилляторы.2) Т<< θ. В этом случае θ/Т >> 1, можно считать, что θ/Т → ∞,тогда в формуле (4.63), заменяя верхний предел интегрирования на∞, получим выражение для молярной энергии кристалла⎛T⎞Um = Um0 + 3RT ⋅ 3⎜ ⎟⎝θ⎠3 ∞⋅∫x 3 dx0eх−1= Um0 +3 π 4 T 4R,⋅5θ3(4.64)а молярная теплоемкость в этой области определяется формулой3dUm 12 4 ⎛ T ⎞Cm ==π R⎜ ⎟ .dT5⎝θ⎠(4.69)Это соотношение называется законом Дебая.Из закона Дебая следует, что теплоемкость тела при Т << θизменяется пропорционально кубу температуры (С ~ Т3) и зависит отприроды твердого тела.
Эти выводы теории Дебая хорошоподтверждаются на опыте (рис. 4.14). При Т << θ существуют восновном фононы с частотой ω << kθ/h и λ >> λmin. Длинноволновыеколебания - это колебания связанных атомов, а это означает, чтоэнергия твердого тела определяется как энергией колебаний атомовU1, так и энергией взаимодействия атомов U2.Необходимо отметить, что для полупроводников и диэлектриковзакон Дебая выполняется вплоть до абсолютного нуля.
Для металловпри температуре Т ≤ θ закон Дебая не выполняется: в областитемператур от 0 К до Т0 теплоемкость металлов прямопропорциональна температуре (рис. 4.14).У металлов при температуре, близкой к нулю, внутренняя энергияв основном определяется энергией электронов U3, расположенных взоне проводимости. Причем, согласно распределению Ферми-Дирака,энергия электронов, находящихся на уровнях ниже уровня Ферми навеличину kТ, практически не зависит от температуры. Вклад в119теплоемкость дают электроны в узком слое шириной kТ вблизиуровня Ферми (ЕF).Точный расчет средней энергии электронов для одного моля U3 =< Е >·NA, приводит к результату2U3m3 ⎡5 2 ⎛ kT ⎞ ⎤= NA ⋅ EF ⎢1 +π ⎜ ⎟ ⎥.5 ⎢ 12 ⎜⎝ EF ⎟⎠ ⎥⎣(4.70)⎦Продифференцировав выражение (4.70) по Т, получим формулудля определения электронной теплоемкости металлов вблизиабсолютного нуляCMe =∂U3m 35 π2k 2T π2R kT π2RT= EF ⋅ NA ⋅ 2 =⋅=,∂T56 EF2 EF2TF(4.71)где R = kNА - универсальная газовая постоянная, ТF = ЕF/k (4.19).Формула (4.71) получена в квантовой теории теплоемкости дляслучая, когда в металле на каждый атом приходится один свободныйэлектрон; если же на каждый атом приходится Z свободныхтомолярнаятеплоемкостьэлектронногогазаэлектронов,рассчитывается по формулеπ 2RZ kT π 2RZ T⋅=⋅ .
(4.71a)2EF2TF3Поскольку теплоемкость решетки при Т << θ пропорциональна T ,то она убывает быстрее, чем теплоемкость электронов (Се ~ T),поэтому теплоемкость металлов вблизи 0 К пропорциональнатемпературе.Температура Т0, при которой теплоемкость кристаллическойрешетки начинает превышать теплоемкость электронного "газа",CMeZ = Z ⋅ CMe =определяется выражениемT0 = 0,145Zθ⋅θTFи составляет несколько градусов Кельвина.Для полупроводников и диэлектриков при температуре, близкой кабсолютному нулю, в зоне проводимости практически нет электронов,поэтому нет смысла говорить об электронной теплоемкости.При решении задач на определение количества тепла,подводимого к твердому телу, используем выражениеT2Q = ∫ m ⋅ c( T )dT,(4.72)T1гдеm -масса кристалла, с(Т)-удельная теплоемкость твердого тела,которая связана с молярной теплоемкостью соотношением c(Т)= Сm(Т)/М.120Примеры решения задач.Определить максимальную энергию и максимальнуюскорость электронов в медном проводнике при Т = 0 К, полагая, чтона каждый атом меди приходится по одному свободному электрону.Задача4.1.РешениеМаксимальная энергия, которую может иметь электрон при Т =0 К, - это энергия Ферми (4.12):Emax = EF (0) =(h23π2n02m)2/3.По условию задачи на каждый атом меди приходится одинэлектрон, следовательно, концентрация электронов согласно (4.11)n0 =ρ33·N , где плотность меди ρ = 8,9·10 кг/м , число Авогадро NA =M A6,02·1023 моль–1, молярная масса меди М = 64·10–3 кг/моль:8,9 ⋅ 103 ⋅ 6,02 ⋅ 1023n0 == 0,83 ⋅ 10 29 м−3 .−364 ⋅ 10−34 22(1,05 ⋅ 10 ) (3 ⋅ 3,14 ⋅ 0,83 ⋅ 10 29 ) 2 / 3E max == 9,9 ⋅ 10 −19 Дж = 6,2 эВ.− 312 ⋅ 9,1 ⋅ 10Электроны,имеющиемаксимальнуюэнергию,имеютмаксимальную скорость.
Для определения максимальной скорости2mv maxзапишем равенство= EF (0 ),2v max =2EF=m2 ⋅ 9,9 ⋅ 10 −19= 4,7 ⋅ 10 7 м / с.− 319,1⋅ 10Задача 4.2. Определить вероятность того, что электрон в металлеΔЕ=0,05эВ ниже1) температураТ2 = 50 К.займет энергетическое состояние, находящееся науровня Ферми и выше уровня Ферми в двух случаях:металла Т1= 290 К; 2) температураметаллаРешениеВероятность заселения электронами различных уровней энергиизоны определяется функцией распределения Ферми-Диракаf (E, T ) =(4.17)1.exp(E − EF ) / kT + 1По условию задачи разность между энергетическим уровнем Е,ΔЕ = -0,05 эВ.f(Е,Т)длязаданныхтемператур,предварительно выразив kТ1 и kТ2 в электрон-вольтах:1kT1 = 1,38 ⋅ 10− 23 ⋅ 290= 25 ⋅ 10−3 эВ,−191,6 ⋅ 10расположенным ниже уровня Ферми, и уровнем ФермиПодсчитаемвеличину1211= 4,3 ⋅ 10−3 эВ,−191,6 ⋅ 101f (E, T1) == 0,881,1/ exp( 0,05 / 0,025 ) + 11f (E, T2 ) == 0,99991.1/ exp(0,05 / 0,0043) + 1kT2 = 1,38 ⋅ 10−23 ⋅ 50Для электрона, расположенного выше уровня Ферми на ΔЕ = +0,05эВ, вероятности нахождения на заданных уровнях окажутсясоответственно равными:1= 0,119,exp(0,05 / 0,025) + 11f (E, T2 ) == 8,8 ⋅ 10− 6.exp(0,05 / 0,0043 ) + 1f (E, T1) =Оценить критическую температуру для меди ТF, прикоторой снимается вырождение электронного газа в проводнике.Задача4.3.РешениеПри температуре тела Т << ТF, поведение электронного газаописывается статистикой Ферми-Дирака, а при Т ≥ ТF - статистикойМаксвелла-Больцмана.
Найдем критическую температуру ТF длямеди, полагая ЕF = 6,2 эВ (из решения задачи 4.1). Из формулы (4.19)TF =6,2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 Дж= 7 ⋅ 10 4 К;−231,38 ⋅ 10 Дж / Котсюда видно, что медь и другие металлы в виде кристаллическоговещества обычно находятся при Т<<ТF и, следовательно,электронный газ в металлах подчиняется статистике Ферми-Дирака.Используя квантовую статистику, найти числоэлектронов в зоне в интервале энергий от 0 до ЕF при Т = 0 К иконцентрацию n0.Задача4.4.РешениеЧисло электронов N в интервале энергий от 0 до ЕF определитсявыражением (4.16)N=Из (4.13)EF∫g(E) ⋅ f (E, T )dE(1)0g(E) =( 2m)3 / 2 ⋅ E1/ 2 ⋅ V.2π 2 h 3(2)Так как при Т = 0 К функция распределения по энергиям f(E,T) = 1,то подставив (2) в (1), найдем122N=EF∫023 / 2 ⋅ m3 / 2 ⋅ E1/ 2 ⋅ V ⋅ dE (2m)3 / 2 ⋅ V EF 1/ 2⋅ dE;=∫ E2π 2 h 32 π2h 302( 2m)3 / 2 ⋅ V ⋅ E1/ 2 EF (2mEF )3 / 2 ⋅ V.0 =2 π2 h 3 ⋅ 33 π 2h 3Концентрацию электронов n0(Е) можно определить из выраженияN=n0 (E) =N(E) ( 2mEF )3 / 2.=V3 π2 h 3Задача 4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
