Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Таким образом, на каждомэнергетическом уровне твердого тела могут находиться только дваэлектрона с противоположно направленными спинами. Каждый100уровень твердого тела двукратно вырожден gn = 2 (факторвырождения).При заполнении зоны электроны в твердом теле стремятся занятьнижние уровни энергии. При абсолютном нуле температуры всеуровни ниже некоторого оказываются заполненными электронами, авыше – свободными.
Максимальный уровень, заполненныйэлектронами, называется уровнем Ферми, а максимальная энергия,которую могут иметь электроны при Т = 0 К, называется энергиейФерми – ЕF(0).Найдем энергию уровня Ферми в зависимости от концентрацииэлектронов n0. Если полагать, что на каждый атом твердого телаприходится один свободный электрон, тоn0 =ρ·NAM(4.11)где ρ - плотность вещества, М - молярная масса, NA - число Авогадро.Для нахождения уровня Ферми введем пространство квантовыхчисел nx, ny, nz, (рис. 4.5), каждая точка которого соответствует двумсостояниям электронов (gn = 2). ЧислоnZквантовых состояний, имеющих квантовоеnF4число n, меньше некоторого nF, равно πnF3gn .3При абсолютном нуле все эти состояниязаняты электронами, число которых равноnY4 3n0L3, следовательно,πnFgn = n0L3 .
Hаходя3Рис. 4.51/ 3nX⎛ 3n0 ⎞отсюда⎟ L, подставляя в (4.9) иnF = ⎜⎜⎟⎝ 4πgn ⎠находимэнергиюуровняФерми22/3h(4.12)EF (0 ) =3 π2n0.2mКвантовая модель свободных электронов позволяет такжеполучить выражение для плотности электронных состояний g(E).Плотностью электронных состояний g(Е) называется числосостояний, приходящихся на единичный интервал энергии. Наинтервал энергии dЕ приходится число состояний g(E)dE, а полноеучитывая,чтоgn=2,()число состояний с энергией Е ≤ Еn равноEn∫ g(E)dE.С другой стороны,0согласно сказанному выше, это число состояний равнопоэтому можно записатьEn∫4/3πn3gn,g(E)dE = 4/3 πn3gn.0Используя зависимость энергии Еn от квантового числаиметь(формула (4.10)), будемn101En∫g(E)dE =0⎛ 2mE ⎞4/3πgn ⎜ 2 n ⎟⎝ h⎠3/2V;отсюда, дифференцируя по Еn и полагая gn = 2, получимV ⎛ 2m ⎞g(En ) = 2 ⎜ 2 ⎟2π ⎝ h ⎠3/2⋅ E1/ 2 .(4.13)Это выражение определяет плотность электронных состояний винтервале энергий вблизи Еn, приходящихся на объем V.
ПосколькуЕn - произвольно взятый уровень, то индекс n может быть опущен.Плотность состояний в единице объемаg1(E) =1⎛ 2m ⎞⎜⎟2π 2 ⎝ h 2 ⎠3/2⋅ E.(4.14)Элементы квантовой статистики.Распределение Ферми-ДиракаЧисло электронов в зоне, приходящееся на интервал энергий dЕ,по определениюdn(E) = g(E)⋅f(E,T)dE,(4.15)а полное число электронов в интервале энергий от 0 до Е равноEN = ∫ g(E ) ⋅ f (E, T )dE(4.16)0где g(Е) - плотность квантовых состояний электронов в зоне (4.13).f(E,T) - функция распределения Ферми-Дирака, котораяхарактеризует вероятность заполнения электроном уровня с энергиейЕ при температуре Т. Для частиц с полуцелым спином,подчиняющихся принципу Паули, эта функция имеет видf (E, T ) =1E− EFe kT(4.17),+1где Е энергия уровня, на котором находится электрон, ЕF - энергияуровня Ферми, k - постоянная Больцмана, Т - температура.Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны, атакже легкие элементы типа 11H+ , 32 He, 24 He+ ) называются фермионами.Частицы с целым или нулевым спином (фотоны, фононы, атомы счетным числом электронов, такие, как 2Не4) подчиняютсяраспределению Бозе-Эйнштейна, которое имеет видf (E, T ) =1E −EFe kT,−1,(4.18)Эти частицы называются бозонами они не подчиняются принципуПаули, и при Т = 0 К могут одновременно находиться на самом низкомэнергетическом уровне.102Остановимся на рассмотрении свойств функции Ферми-Диракапри различных температурах.1).
Температура твердого тела T = 0 K.Классическая статистика не накладываетограничений на число электронов, занимающихданный энергетический уровень, так что при Т = 0 КEFвсе электроны могут занимать нижний уровень. Втвердом теле на каждом уровне зоны можетнаходиться не более двух электронов.Распределение электронов при Т = 0 К приведено наРис. 4.6рис. 4.
6. Уровни, начиная от Е = 0 до Е = Еmaxоказываются полностью заполненными.При Т = 0 и Е > ЕF из формулы (4.17) получаем, что ехр⎛⎜ Е - Е ⎞⎟ → ∞⎝ kT ⎠и f(E,T) =0. Это значит, что энергетические уровни в зонедозволенных энергий, расположенные выше уровня Ферми,оказываются полностью свободными.f(E,T)Если энергия электронов Е < ЕF, то приТ = 0 К exp⎛⎜ E − EF ⎞⎟ → 0 и f(E,T) = 1. В этом 1⎝ kT ⎠случае энергетические уровни, расположенныениже уровня Ферми, заполнены электронами.EF EВид функции распределения Ферми при Т = 0 КРис 4.7представлен на рис. 4.7.2). Температура твердого тела Т > 0 К.Для электронов с энергией Е = ЕF, подставляя значения Е и Т вформулу (1.17), получаем exp⎛⎜ E − EF ⎞⎟ = 1,Ff(Е,Т) = 1/2.⎝kT⎠f(E,T)Это значит, что вероятностьзаполнения уровня Ферми составляет 150 %.
При Т > 0 начинают заполнятьсяэнергетические уровни, лежащие вышеуровня Ферми. Наоборот, уровниэнергии, лежащие ниже уровня ФермиEF-kT EF EF+kT Eобедняются электронами. Вид функцииРис. 4.8распределения Ферми в этом случаепоказан на рис. 4.8.Следует обратить внимание, что заметное изменение графикаf(Е, Т) по сравнению с графиком при Т = 0 (рис.
4.7) имеет место впределах ±kT вблизи уровня Ферми.Электронный газ, подчиняющийся квантовой статистике ФермиДирака, является вырожденным. Основным признаком вырожденияявляется независимость энергии частиц от температуры. Условиевырождения Т << ТF, а температура Ферми ТF определяется формулой103EF(0) = kTF(4.19)> 104 К)Поскольку температуры вырождения высоки (ТFипревышают температуры плавления всех твердых тел, то основнаячасть электронов в твердых телах оказывается вырожденной.Особый интерес представляет случай, когда энергия электроновзначительно превышает энергию Ферми Е -ЕF >> kT.В этом случае в формуле (4.17) exp⎛⎜ E − EF ⎞⎟ >> 1, тогдаkT⎝f (E, T ) ≅E −EF−e kT=Полученное выражениеEFe kTE−kT⋅e⎠= const ⋅ e⎛f (E, T ) = A ⋅ exp⎜ −⎝−EkT .E ⎞⎟kT ⎠есть(4.20)функцияраспределения частиц по энергиям Максвелла-Больцмана.
Такимобразом, квантовая статистика Ферми-Дирака переходит вклассическую статистику Максвелла-Больцмана. Электронный газ,подчиняющийся статистике Максвелла-Больцмана, невырожден.Задачи, решаемые на основе статистики Ферми-Дирака1. Нахождение числа частиц в зоне в заданном интервалеэнергий, скоростей, импульсов.Число частиц в зоне, приходящееся на интервал энергии dЕ,находим по формуле (4.15), подставляя выражение (4.17) дляфункции Ферми-Дирака и плотности электронных состояний (4.13), т.е.3/21 ⎛ 2m ⎞dN(E, T ) = 2 ⎜ 2 ⎟2π ⎝ h ⎠E1/ 2⋅V⋅ dE.exp(E − EF ) / kT + 1(4.21)Полное число частиц в зоне в интервале энергий от 0 до Eопределяется как3/21 ⎛ 2m ⎞ΔN = 2 ⎜ 2 ⎟2π ⎝ h ⎠E1/ 2 ⋅ dE⋅ V∫.0 exp(E − EF ) / kT + 1E(4.22)При температуре твердого тела Т = 0 К в интервале энергий от 0до ЕF формула (4.21) принимает вид1 ⎛ 2m ⎞dN(E) = 2 ⎜ 2 ⎟2π ⎝ h ⎠3/2⋅ V ⋅ E1/ 2 ⋅ dE.(4.23)а число частиц ΔN в заданном интервале энергий Е1, Е2ΔN =1⎛ 2m ⎞⎜⎟22π ⎝ h 2 ⎠3/ 2E2⋅ V ∫ E1/ 2 ⋅ dEE1(4.24)Зная распределение частиц по энергиям, можно перейти краспределению частиц по скоростям и импульсам.104Для этого воспользуемся выражением для кинетической энергии2⎞⎛mv 2, откуда E1 / 2 = m ⋅ v (а), dE = d⎜ mv ⎟ = mv ⋅ dv (б).
ПодставляяE=⎜⎟222⎝⎠эти значения (а) и (б) в формулу (4.21) и подсчитывая для частиц вединице объема, получим распределение частиц по скоростям:1 m3 21dN(v ) = 2 ⋅ 2 ⋅ vdv.exp(mv2 / 2 − EF ) / kT + 1π hАналогичным образом, используя связь энергииможно найти распределение частиц по импульсам:1 p21dN(p) = 2 ⋅ 3 ⋅dp.2π h exp(p / 2m − EF ) / kT + 1(4.25)и импульса,(4.26)Нахождение средних значений скорости, энергии, импульса.Среднее значение физической величины А определяется формулой2.∞A =∫ A ⋅ g(E)f (E, T) ⋅ dE0(4.27).∞∫ g(E)f (E, T) ⋅ dE0Так, среднее значение энергии электрона в зоне при любойтемпературе вычисляется по формуле∞E =∫ E ⋅ g(E)f (E, T) ⋅ dE0(4.28).Nгде N - полное число частиц в зоне.При Т = 0 и Е < ЕF f(Е,Т) = 1 и f(Е,Т)формула (4.28) упрощается и имеет вид:= 0приE >ЕF, поэтомуEF∫ E ⋅ g(E)dEE =0EF(4.29).∫ g(E)dE0Средние значения скорости могут быть рассчитаны по формуле(4.27), полагая, что А = v:∞∫ v ⋅ g(v )f (v, T) ⋅ dvv =0∞.(4.30)∫ g( v )f ( v, T) ⋅ dv0где g(v) - плотность электронных состояний в интервале скоростей.При Т = 0105vmax∫ v ⋅ g( v )dvv =0vmax,(4.31)∫ g( v )dv0гдеvmax - определяется энергией2mv max2Ферми:= EF (0 ).(4.32)Электрические и тепловые свойства твердых телЭлектрическая проводимость твердых тел.Металлы.
ДиэлектрикиОсновной электрической характеристикой твердого тела являетсяудельная электрическая проводимость σ - величина, обратнаяудельному сопротивлению ρ (σ = 1/ρ). Единицей удельнойэлектропроводности служит Сименс/м (См/м).По величине проводимости электрического тока все твердые теладелятся на металлы, полупроводники и диэлектрики. В таблице 1приведены значения удельного электрического сопротивления ρ длятвердых тел, концентрация свободных электронов в зоне n и шириназапрещенной зоны.Таблица 1.Удельноесопротивление КонцентрацияМатериалΔE апр.при Т=300 К(см-3)(эВ)(Ом⋅м)Металлы10-81022 -10230-471415Полупроводники 10 -1010 -100,3-3свыше 3 эВДиэлектрики1012 - 1020109 -1011до 10 эВзИз таблицы видно, что наименьшим удельным сопротивлениемобладают металлы, а наибольшим - диэлектрики, которые являютсяхорошими изоляторами.Рассмотрим, как можно объяснить высокую электропроводностьметаллов и низкую электропроводность диэлектриков с точки зрениязонной структуры этих твердых тел.К металлам относятся элементы 1 и 2 групп таблицы Менделеева.У элементов 1-ой группы (например, литий, натрий, медь, золото) навнешней оболочке атома находится один валентный электрон.Поэтому, при образовании твердого тела валентная зона, котораявозникла из валентных энергетических уровней N - сблизившихсяатомов, оказывается заполненной наполовину.
Это объясняется тем,106что на каждом энергетическом уровне в зоне, состоящей из N уровней, согласно принципу Паули может располагаться не болеедвух электронов, а всего валентных электронов в зоне - N.Таким образом, в валентной зоне имеется N/2 - свободныхуровней. У элементов 2-ой группы таблицы Менделеева (например,бериллий, магний, цинк, кадмий) на внешней оболочке атоманаходятся два валентных электрона. Поэтому при образованиитвердого тела из этих элементов, валентная зона, состоящая из Nвалентных уровней (N - атомов) оказывается заполненной полностью.Однако, для металлов 2-ой группы (так же, как для щелочныхметаллов 1-ой группы) валентная зона перекрывается со следующейза ней зоной разрешенных энергий.ЕУровень Ферми в элементах 2-ой группынаходитсявнутритойчастизоныЗона проводимостипроводимости, которая образована из двухзон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
