Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Атом водорода в основном состоянии находится нарасстоянии r = 2,5см от длинного прямого проводника с токомi = 10 А. Найти силу, действующую на атом.ЗадачаРешениеВ неоднородном магнитном поле на атом будет действоватьrrрадиальная сила F = dB ⋅ μ Z · er , где μZ - проекция магнитногоdrZ,rrмомента атома на ось совпадающую по направлению с B , er rединичный вектор в направлении r .
Найдем μZ. Основномусостояниюr атома водорода соответствует l = 0, J = 1/2. Орбитальныймомент L = 0 и магнитный момент атома обусловлен спином:μZ = −Найдем1⎞eeh⎛⋅ SZ = −⋅ mSПолучаем μ Z = ±μБ .⎜ mS = ± ⎟ .2⎠m0m0⎝dBi ⋅ μ0, откуда. Индукция от прямого проводаB=dr2π r82i ⋅ μ0dB=−,dr2π r 2i - сила тока.Получаем:rF=mi ⋅ μ02πr2r⋅ μ Б ⋅ er ,F ป 3 ⋅ 10 -26 H .Знак (-) соответствует положительной проекции μZ (mS = -1/2). Вэтом случае сила притягивает атом к проводу.В противном случае (отрицательной проекции μZ) (mS = 1/2) атомотталкивается от провода.ЗадачаОпределить угловую скорость вращения молекулыS2, находящейся на первом возбуждённом вращательном уровне.Расстояние между ядрами в молекуле S2 равно d = 1,89·10-10 м.3.14.РешениеПервому возбуждённому вращательному состоянию соответствуетJ = 1.
Энергия вращения, согласно (3.39), равнаEr =h2 ⋅ 2 h2=2 ⋅IIВыразим энергию через угловую скорость вращенияI ⋅ ωr2Er =,2hтогда получимωr =2.Im(3.41) и (3.36), равен I = s ⋅ d2 ,2−27ms = 1 а.е.м ⋅ 32 = 32 ⋅ 1,66 ⋅ 10 кг .Расчёт даётМомент инерциигдеms -I = 9,45 ⋅ 10 −46 кг ⋅ м 2 ,I, согласномасса ядра атомаS,ωr = 1,56 ⋅ 1011c −1 .Определить амплитуду колебаний по классическойтеории для молекулы водорода Н2, находящейся в основномколебательном состоянии. Частота колебаний молекулы Н2 равнаЗадача3.15.ωυ = 8,28 ⋅ 1014 c −1 .РешениеКолебательная энергия в основном состоянии (υ = 0) , согласноh ⋅ ωυμ ⋅ ω2υ ⋅ A 2(3.34) , равна E υ =.
По классической физике E υ =,22где А - амплитуда колебаний. Из этих двух равенств имеемmh. Приведённая масса μ = H , гдеμ ⋅ ωυ2-27mH = 1,66·10 кг. Получаем A = 0,12·10-10м.A=mH -масса протона,83Задача 3.16. Определить отношение количества молекулводорода в состояниях с квантовыми числами υ′ = 1, J=0 и υ = 0 ,J = 5 при T = 1500 K. Расстояние между ядрами в молекулеd = 0,741·10-10м, частота колебаний ωυ = 8,28 ⋅ 1014 c −1 .РешениеПри тепловом равновесии молекулы распределены поэнергетическим уровням в соответствии с формулой БольцманаN = C⋅g⋅e−EkT.В состоянии с квантовыми числами3(см.
формулу (3.34)) E′ = h ⋅ ωυ ⋅ ;υ′ = 1, J′ = 0энергия равнаE′ = 13,04 ⋅ 10 −20 Дж .Кратность2вырождения этого состояния g' = 1. В состоянии с квантовымичислами υ = 0 , J = 5 энергия равна ((3.34) и (3.39))h ⋅ ωυ h 2 ⋅ 5 ⋅ 6E=+22 ⋅IКратность вырождения этого состоянияg = 2 ⋅ 5 + 1 = 11.Отношение населенностей уровней будет равно⎡N′=Nexp ⎢−⎣3 h ⋅ ωυ ⎤2 kT ⎥⎦⎡ ⎛h⋅ωυ11 ⋅ exp ⎢− ⎜⎜⎢⎣ ⎝2kT+h 2 ⋅ 15 ⎞⎟⎤⎥I ⋅ kT ⎟⎠⎥⎦⎡ h ⋅ ωυh 2 ⋅ 15 ⎤1=⋅ exp ⎢−+⎥.11kTI ⋅ kT ⎦⎣Момент инерции молекулы I равен()2mH 2 1,66 ⋅ 10 −27⋅d =0,741 ⋅ 10 −10 = 0,456 ⋅ 10 − 47 кг ⋅ м 2 .22N′ 1 − 2,44Тогда=⋅e= 7,92 ⋅ 10 − 3 .N 11I=Задача 3.17.
Газ, состоящий из молекул NO, находится притемпературе T = 1000 K. Определить квантовое число вращательногоуровня, которому соответствует максимальная населенность.Расстояние между ядрами в молекуле NO равно d = 1,15·10-10 м.РешениеВ соответствии с распределением Больцмана населенностьвращательного уровня равна N = C ⋅ g ⋅ exp(− Er / kT ) .
Подставляя вэто соотношение Er =h 2 ⋅ J(J + 1),2 ⋅Ig = 2J + 1,получим84N = C ⋅ (2J + 1)В максимуме функцииN(J)⎡⋅ exp ⎢ −⎣h 2 ⋅ J(J + 1)⎤⎥.2 ⋅ I ⋅ kT ⎦dN= 0.dJТогда222⎡⎛⎞⎤⎛⎞(2J + 1) ⋅ ⎢− h ⋅ (2J + 1) ⋅ exp⎜⎜ − h ⋅ J(J + 1) ⎟⎟⎥ + 2 exp⎜⎜ − h ⋅ J(J + 1) ⎟⎟ = 0 ,(2J + 1)22 ⋅ I ⋅ kT⎣⎢2 ⋅ I ⋅ kT⎝⋅h= 2;2 ⋅ I ⋅ kT22J + 1 =вращательноеквантовоемаксимальная населенностьJmax =число,⎠⎦⎥2 ⋅ I ⋅ kT⎝4 ⋅ I ⋅ kT,h2откудакоторому⎠получаемсоответствуетI ⋅ kT 1− .h2mN ⋅ m O(см. (3.36)).mN + m OПодставив сюда mN = 14·1,66·10-27кг = 2,32·10-26кг,mО = 16·1,66·10-27кг = 2,66·10-26кг, получимμ = 1,237 ⋅ 10−26 кг ,Момент инерцииI = μ ⋅ d2 ,гдеμ=Окончательно получимокруглив до ближайшего целого числа, получимI = 1,636 ⋅ 10 −46 кг ⋅ м 2 .Jmax = 13,8 ,Jmax = 14 .или,В середине колебательно – вращательной полосыспектра испускания молекулы HCl, где отсутствует “нулевая линия”,запрещенная правилами отбора, интервал между соседними линиямиΔω = 0,79 ⋅ 1013 c −1 .
Вычислить расстояние между ядрами молекулыЗадача3.18.HCl.РешениеКолебательно–вращательная полоса излучается при переходахмежду системами вращательных уровней, принадлежащих двумразличным колебательным состояниям (см. рис.).Частота, излучаемая при колебательно – вращательном переходеравнаE′υ − E′υ′ E′r − E′r′+.hhвыражение (3.39) для вращательной энергии,h[J′(J′ + 1) − J′′(J′′ + 1)] .ω = ωυ +2 ⋅Iω=Используяполучим85J'3ПоE2ΔJ = ±1.10υ′J''432υ′′10P-ветвьΔωR-ветвьω1 ωυ ω2ωправиламотбораПоскольку J′ ≠ J′′ , “нулевая”частота ω = ωυ излучаться небудет (она изображена нарисунке пунктирной линией).Переходам ΔJ = 1 и ΔJ = −1соответствуют две ветви вколебательно – вращательнойполосе (они называются P - иR - ветвями).ДляP - ветвиΔJ = 1h[J′(J + 1) − (J′ + 1)(J′ + 2)] = ωυ − h (J′ + 1) .2 ⋅IIДля R - ветви ΔJ = −1h[J′(J + 1) − (J′ − 1)J′] = ωυ + h ⋅ J′ .ωR = ω υ +2 ⋅IIЛинии, ближайшие к “нулевой” линии, имеют частоты:hω1 = ωP (при J′ = 0 )ω1 = ω υ − ;Ihω2 = ωR (при J′ = 1 )ω2 = ωυ + ;I2h2hI=.Δω = ω2 − ω1 =откудаIΔω2hИспользуяI = μ ⋅ d 2 , получим d =Δω ⋅ μm ⋅ m ClПодсчитаемприведеннуюмассуμ= H,mH + m ClωP = ωυ +mH = 1,66 ⋅ 10 −27 кг ,m Cl = 35 ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27 кг ,Тогда d = 1,25 ⋅ 10 −10 м .μ = 1,61 ⋅ 10 −27 кг .где86Задачи для самостоятельного решения3.19.
Какие квантовые числа соответствуют линиям серииБальмера? а) Найти длинноволновую и коротковолновую границысерии Бальмера. б) Какие и сколько линий серии Бальмерарасположены в видимой части спектра? Интервал видимой частиспектра считать равным 0,4 мкм – 0,76 мкм.3.20. Определитьτэнергиюфотонаидлинуволны,соответствующие второй линии в первой инфракрасной серии (серииПашена nн = 3) атома водорода.3.21. Найти первый потенциал возбуждения: а) однократноионизованного гелия; б) двукратно ионизованного лития.3.22. Найти длину волны фотона, соответствующего переходуэлектрона из второго кантового состояния в основное: а) воднократно ионизованном атоме гелия; б) в двукратно ионизованноматоме лития.U = 4,9 В,3.23.
Электрон, пройдя разность потенциаловсталкивается с атомом ртути и переводит его в первое возбужденноесостояние. Какую длину волны имеет фотон, соответствующийпереходу атома ртути в основное состояние?3.24. Длина волны гамма–излучения равна λ = 1,6 пм. Какуюразность потенциалов надо приложить к рентгеновской трубке, чтобыполучить рентгеновские лучи с этой длиной волны?3.25. Вычислить потенциалы ионизации ионов гелия He + и литияLi ++ . (ZHe = 2, ZLi = 3).3.26.
Определить квантовое число n для возбужденного состоянияатома водорода, если известно, что при последовательном переходев основное состояние атом излучил два фотона с длинами волнλ1 = 0,6563 мкм и λ2 = 0,1216 мкм.3.27. Газ, состоящий из атомов водорода, может испустить толькоОпределитьквантовоечислотриспектральныелинии.энергетического уровня, на который возбуждены атомы, а такжедлины волн испускаемых линий.3.28.
Сколько спектральных линий испускает газ, который состоитиз атомов водорода, возбуждаемых некоторым источником на n - йэнергетический уровень (n = 10)?3.29. Сколько линий наблюдается в спектре поглощенияатомарного водорода в диапазоне длин волн от λ1 = 94,5 нм доλ2 = 110 нм?873.30.. Найтиквантовое число, определяющее возбужденноесостояние атома водорода, если известно, что при переходе внормальное состояние он испустил всего один фотон с длиной волныλ = 97,25 нм.3.31..
Возбужденный атом водорода при переходе в основноесостояние испустил последовательно два кванта с длинами волнλ1 = 1281,8 нм и λ2 = 102,57 нм. Вычислить энергию первоначальногосостояния данного атома и соответствующее ему квантовое число.3.32. Определить величину первого потенциала возбужденияатома водорода и потенциала его ионизации.
Вычислить длины волн,частоты и волновые числа соответствующих квантов.3.33. Электрон, имеющий вдали от покоящегося протона энергию10 эВ, захватывается в основное состояние (рекомбинирует).Определить длину волны излучаемого фотона.3.34. Определить длину волны λ и частоту ν , соответствующую5-й спектральной линии серии Бальмера атомарного водорода.3.35.
В спектре атомарного водорода разница в волновых числахмежду первыми двумялиниями, принадлежащими серии Бальмера,-1составляет 5326 см . Определить численное значение постояннойРидберга.3.36. Длина волны головной линии серии Лаймана в спектреатомарного водорода равна λ1 = 121,5 нм. Считая известнымизначения скорости света и постоянной Планка, вычислить энергиюионизации атома водорода.3.37. Вычислить в волновых числах и длинах волн спектральныедиапазоны ∆ν и ∆λ, принадлежащие сериям: а) Лаймана, б)Бальмера, в) Пашена, г) Бреккета.3.38.
Каким сериям принадлежат следующие спектральные линииатомарного водорода: 397 нм, 656,3 нм и 901,5 нм? Каким переходамони отвечают?3.39. Разница в длинах волн между головными линиями серииЛаймана и Бальмера в спектре атомарного водорода составляетΔλ = 534,7 нм. Вычислить значение постоянной Планка, считая массуэлектрона, его заряд и скорость света известными.3.40.
При наблюдении полученного с помощью дифракционнойрешетки с периодом d = 2 мкм спектра атомарного водородаобнаружено, что одна из спектральных линий серии Бальмера во 2-мпорядке соответствует углу дифракции φ = 29º05'. Определитьквантовое число энергетического уровня атома, переходу с которогоотвечает данная линия.883.41. Прикаком минимальном числе штрихов дифракционнаярешетка может разрешить во 2-м порядке первые 30 спектральныхлиний, принадлежащих серии Бальмера атомарного водорода?3.42. Электрон, имеющий вдали от покоящегося протона скоростьv = 1,875·108см/с, захватывается протоном, в результате чегообразуется возбужденный атом водорода. Определить длину волныфотона, который испускается при переходе такого атома в основноесостояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
