Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИАТОМОВ И МОЛЕКУЛ.Основные понятия и законыВодородоподобная система.Водородоподобная система представляет собой электрон,движущийся в поле точечного положительно заряженного ядра сзарядом +Ze. К такой системе относятся атом водорода (Z = 1) и ионыэлементов с порядковым номером Z, из которых удалены всеэлектроны, кроме одного. Масса ядра значительно больше массыэлектрона, поэтому ядро можно считать неподвижным. В системе СИпотенциальная энергия электрона в поле ядра равна:Ze 2U=−(3.1)4 πε 0 rгде r – расстояние от электрона до ядра. С учетом (3.1) уравнениеШредингера (2.13) для электрона будет иметь вид:2m ⎛Ze 2 ⎞⎟Ψ = 0.(3.2)ΔΨ + 2 ⎜ E +4πε 0 r ⎟⎠h ⎜⎝Поле, в котором движется электрон, является центральносимметричным, поэтому при решении уравнения (3.2) используютсясферические координаты (r, θ, φ) (рис.
3.1).ZОператор Лапласа в сферической системеθ rкоординат имеет вид:1 ∂ ⎛ ∂⎞ 1(3.3)Δ = 2 ⋅ ⎜ r 2 ⎟ + 2 ⋅ Δ θ,ϕrr∂∂rr⎝⎠YУгловая часть оператора Лапласа Δ θ,ϕX φ Рис. 3.1содержит только производные по углам θ и φи не содержит переменнойr, поэтому решение уравнения (3.2)можно искать в виде произведения двух функций:Ψ ( r, θ, ϕ) = R( r ) ⋅ Y ( θ, ϕ) .(3.4)Функция R(r) называется радиальной частью волновой функции, аY(θ, φ) – угловой частью.
При подстановке (3.4) в уравнение (3.2) онораспадается на два независимых уравнения для R(r) и Y(θ, φ).Оператор Δ θ,ϕ связан с оператором квадрата момента импульсаL̂2 соотношениемΔ θ,ϕ = − L̂2 / h 2 .УравнениеL̂2 Y = L2 ⋅ Yимеет решение только при значенияхL2 = h 2 ⋅ l ⋅ (l + 1) ,(3.5)гдеl = 0, 1, 2, …(3.6)65Собственные функции оператора L̂2 - шаровые функции Yl,m(θ,φ),содержащие два целочисленных параметра l и m, причем mможет принимать значения m = 0, ±1, ±2, … ±l.Подставляя решение (3.4) в уравнение (3.2), с учетом (3.5) и (3.6)для радиальной части R(r) получим уравнение:1 d ⎛ 2 dR ⎞ ⎡ 2m ⎛⎜Ze 2 ⎞⎟ l (l + 1) ⎤⋅rE−++⎜⎟ ⎢⎥ ⋅R = 04 πε 0r ⎟⎠r 2 dr ⎝ dr ⎠ ⎣⎢ h 2 ⎜⎝r 2 ⎦⎥(3.7)Это уравнение имеет решения, удовлетворяющие стандартнымусловиям, при всех Е > 0, что соответствует свободному электрону(не связанному в атоме).
Для связанных состояний Е < 0 решениеимеется, если энергия принимает дискретный ряд значений:Z 2me 4En = − 2 2 2 ,(3.8)8h ε 0 nгде n = 1, 2, … и n ≥ l + 1.(3.9)Решения уравнения (3.7) зависят от двух целочисленныхпараметров n, l Rn,l(r). Таким образом, волновые функцииΨn, l, m (r, θ, ϕ) = R n, l (r ) ⋅ Yl, m (θ, ϕ) зависят от трех целых чисел n, l, m.Число n называется главным квантовым числом (n = 1, 2, 3…).
Всоответствии с (3.8) n определяет энергию электрона. Число lназывается орбитальным квантовым числом; оно принимает всоответствии с (3.6) и (3.9) значения l = 0, 1, 2, …(n - 1) и определяетмодуль момента импульсаrL = h l ⋅ (l + 1)(3.10)Приняты следующие символическиеэлектрона в зависимости от значения l:значение lобозначение состояния0sобозначения1p2d3fсостояний……Число m±2, ±3, …±l )называется магнитным квантовым числом (m = 0, ±1,и определяет проекцию момента импульса напроизвольное направление (ось Z).Lz = h ⋅ m(3.11)Уравнение Шредингера является нерелятивистским уравнением.Релятивистская квантовая теория дает, что кроме момента импульса,связанного с орбитальным движением вокруг ядра, электронобладает собственным моментом импульса, называемым спином.
Егомодуль принимает квантованныезначенияrS = h ⋅ s ⋅ (s + 1) ,(3.12)определяемые спиновым квантовым числом s = 1/2. Проекция спина66на ось Z:Sz = h ⋅ mz ,(3.13)ms = +1/2, -1/2.гдеПолный момент импульса электрона в атомесуммой орбитальногопринимать значенияrLи спинового моментовrJ = h ⋅ j ⋅ ( j + 1) ,rS.rJопределяетсяЕго модуль может(3.14)квантовое число полного момента импульса j и может принимать двазначенияj = l + s, l − s(3.15)Проекция полного момента импульса Jz квантуется по правилу:Jz = h ⋅ m j ,причемmj = j, (j - 1), (j - 2)…- j.С учетом спина состояние электрона в атоме определяетсяlчетырьмя квантовыми числами: n (главное квантовое число),(орбитальное квантовое число), m (магнитное квантовое число) и ms(квантовое число проекции спинового момента импульса).rrВ квантовой механике доказывается, что момент импульса ( L , SrJ ) имеет определенный модуль и определенное значениепроекции на одну из осей (например, ось Z).
Другие две проекции неопределены. Следовательно, определенного направления впространстве момент импульса не имеет. При решении некоторыхвопросов используется упрощенный полуклассический подход – такназываемая векторная модель атома. В этой модели моментыилиимпульсов изображаются в виде векторов и складываются друг сдругом как векторы.rrВ рамках векторной моделиLrJнайдемполныймеханическийrLмоментатомакаксуммуJrrj=l+srj=l-sLиспиновогоорбитальногоSrSSмоментов (рис. 3.2).С наличием спина связанаРис. 3.2тонкая структура энергетическихуровней и спектральных линийn = ∞ атомов и ионов.0Без учета тонкой структурыE3n=3энергияэлектронавводородоподобнойсистемеE2n=2определяется формулой (3.8). Всоответствии с этой формулой напоказанасхемарис.3.31 2энергетических уровней.
Каждомузначению энергии соответствуетE1n=1несколько различных состояний,Рис. 3.3отличающихся числами l, m, или67Такие состояния называют вырожденными. Число различныхсостояний с одинаковой энергией называют кратностьювырождения. Состояние с наименьшей энергией (n = 1) – основноеms .состояние.Переходу из основного состояния на уровень с большимзначением энергии соответствует процесс возбуждения атома, анеобходимая для этого энергия называется энергией возбуждения.Употребляется также термин “потенциал возбуждения”.
Потенциалчисленно равен соответствующей энергии, выраженной в электрон –вольтах.На рис.3.3 стрелкой 1 показан переход, которому соответствуетпервый потенциал возбуждения. Переход n = 1→n = ∞ характеризуетсяпотенциалом ионизации (стрелка 2 на рис.3.3). Каждому состояниюсоответствует определенная “энергия связи” электрона. Это естьэнергия, необходимая для ионизации из данного состояния.Очевидно, энергия связи равна энергии состояния, взятой по модулю.При переходе из состояния с большей энергией в состояние сменьшей энергией излучается квант света.
Энергия излученногокванта равна разности энергий верхнего Ев и нижнего Ен уровней:hν = E в − E н .(3.8) и (3.16), получаем,Используяизлучает частотыν=Z 2 e 4m ⎛⎜ 18h 3 ε 02⎜ n2⎝ н(3.16)что водородоподобная система−⎞⎟nв2 ⎟⎠1(3.17)nн- главное квантовое число нижнего состояния, аквантовое число для верхнего состояния.гдеnв-главноеАналогичное выражение для излучаемых длин волн имеет вид:1 Z 2 e 4m ⎛⎜ 11⎞= 3 2 ⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .λ 8h ε 0 c ⎝ nн nв ⎠Вводят постоянную РидбергаR=e 4m8h 3 ε 02c(3.18)= 1,097 ⋅ 10 7 м −1 .Черезпостоянную Ридберга удобно записывать энергию:En = −Z 2Rhcn2(3.19)и выражение, определяющее излучаемые длины волн,⎛ 111⎞= Z 2R ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .λnв ⎠⎝ nн(3.20)Переходы с различных верхних уровней на один и тот же нижнийобразуют серию линий (спектральную серию). На рис.3.3 показанысерии водорода и сходных с ним ионов.
У водорода серия Лаймана(переход электрона на уровень n = 1 ) лежит в ультрафиолетовой68области спектра. В серии Бальмера (переходы на n = 2) часть линийотносится к видимому диапазону, остальные – к близкойультрафиолетовой области. Все другие серии водорода (серияПашена, Брекета и т.д.) находятся в инфракрасном диапазоне.Как доказывается в квантовой механике, при переходах электронаиз одного состояния в другое с испусканием или поглощением квантасвета, действуют так называемые правила отбора. В частности,орбитальное квантовое число при переходах может изменятьсятолько на единицу (Δl = ±1).Многоэлектронные атомы.Каждый электрон в многоэлектронном атоме движется в поле ядраи остальных электронов, которое отличается от поля точечногозаряда.
Состояние электрона определяется теми же четырьмяквантовыми числами, что и в одноэлектронной системе: главнымчислом n, орбитальным l, магнитным m и спиновым ms.Однако в отличие от случая поля точечного заряда энергияэлектрона зависит не только от числа n, но и от l, увеличиваясь сувеличением значений n и l. Как правило, энергия в первую очередьопределяется числом n, и для меньшихn энергия меньше,независимо от значения числа l. В невозбужденном атоме электронызанимают состояния с возможно более низкими значениями энергии.При распределении электронов по состояниям соблюдаетсяпринцип Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянииможет находиться не более одного электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
