Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В этом выражении волновая функциянормирована к единице, а интеграл берется по всему пространству,где находится частица. Оператор кинетической энергииp̂ 2h 2 d2T̂ ==−⋅2m2m dx 2(см. (2.14)).Таким образом, среднее значение кинетической энергии в данномсостоянии определяется выражениемh2 ld2(l−)⋅[x (l − x )]dx .T = A2 ⋅xx22m 0dxЗдесь интегрирование проводится по области ямы, так как за еепределами волновая функция равна нулю.Входящаявподынтегральноевыражениевеличинаd2dx 2[x(l − x )] = −2 , следовательно, среднее значение кинетическойэнергии T будет3lh2h222 lT =⋅ A x (l − x )dx =⋅A ⋅ .mm60Величину А2 найдем из условия нормировки волновой функции (2.8):lA 2 x 2 (l − x ) dx = 1 ;2A 2 = 30 / l 2 .0Окончательно получимT =5h 2ml 2.Заданная волновая функция не является собственной функциейоператора энергии в ямеĤ = T̂ = −h 2 d2.⋅2m dx 2Поэтому частица не53находится на каком–то определенном уровне и может бытьобнаружена на разных уровнях.Измеряя энергию частицы, мы с разной вероятностью будемполучать различные собственные значенияEn =π2h 2 2⋅n .2ml 2Определенноезначениевзаданном состоянии будет иметь только средняя энергия.Задача2.16.
Найти собственные функции и собственныезначения оператора проекции момента импульса L̂ z = − i h .ϕРешениеЗапишем уравнение на собственные функции и собственныезначения оператора проекции момента импульсаL̂ z Ψ = L z ⋅ Ψ ,где L̂ z = − ihϕ- оператор проекции момента импульса, Lz –собственные значения оператора проекции момента импульса. Сучетом вида оператора, уравнение примет вид:Ψ= LzΨ .ϕdΨ iL zРазделяем переменные=dϕ и интегрируем полученноеhΨ− ihуравнениеln Ψ =iL zϕ + C,hС - произвольная константа.
ПолучаемΨ=iL z⋅ϕ + Ce h=iL z⋅ϕAe h .Из условия однозначности Ψ следуетiL z ϕe hiLz (ϕ + 2 π ),e hΨ (ϕ) = Ψ (ϕ + 2π ) ,iL z 2πe hт.е.откуда= 1.Последнему равенству удовлетворяют только значения показателяэкспоненты равные i ⋅ 2πm , где m = 0, ± 1, ± 2... ,=L z ⋅ 2π= 2πm ;hL z = mh .Итак, собственные значения есть числа, кратные h , а собственныефункции:Ψ = Ce i m ϕ .54Задачи для самостоятельного решенияВычислить длину волны де Бройля электрона и протона,движущихся с кинетической энергией 1,0 кэВ. При каких значенияхкинетической энергии их длина волны будет равна λ = 100 пм?2.18.
При увеличении энергии электрона на Δ Е = 200 эВ его длинаволны де Бройля изменилась в η = 2 раза. Найти первоначальнуюдлину волны электрона.2.19. Найти длину волны де Бройля молекул водорода,движущихся с наиболее вероятной скоростью в газе при температуреt = 0ºС.2.20. Определить кинетическую энергию протона, длина волны деБройля которого такая же, как и у α- частицы, движущейся вмагнитном поле с индукцией B = 0,5 Тл по окружности радиусомR = 5 см.2.21. Какую дополнительную энергию необходимо сообщитьэлектрону с импульсом р = 8·10-24кг·м/с, чтобы его длина волны деБройля стала равной λ = 50 пм?2.22.
Релятивистская частица массы m движется с кинетическойэнергией Т. Найти: а) длину волны де Бройля частицы; б) значения Т,при которых погрешность в длине волны, определяемой понерелятивистской формуле, не превышает одного процента дляэлектрона, для протона.2.23. Найти кинетическую энергию, при которой длина волны деБройля электрона равна его комптоновской длине волны.2.24.
На какую кинетическую энергию должен быть рассчитанускоритель заряженных частиц с массой m, чтобы можно былоисследовать структуры с линейными размерами L? Решить этотвопрос для электронов и протонов, если L~ 10-15м.2.25. Вычислить длину волны релятивистских электронов,подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волныкоротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равнаλк = 10 пм.2.26.
Воспользовавшись формулой распределения Максвелла,найти функцию распределения молекул газа по длинам волн деБройля, а также их наиболее вероятную длину волны. Масса каждоймолекулы m, температура газа Т. Вычислить наиболее вероятнуюдлину волны молекул водорода при Т = 300 К.2.27. Поток моноэнергетических электронов падает нормально надиафрагму с узкой щелью шириной b = 2,0 мкм. Найти скоростьэлектронов, если на экране, отстоящем от щели на L = 50 см, ширинацентрального дифракционного максимума Δх = 0,36 мкм.2.17.τ552.28. Найтикинетическую энергию электронов, падающихнормально на диафрагму с двумя узкими щелями, если на экране,отстоящем от диафрагмы на L = 75 см, расстояние между соседнимимаксимумами Δх = 7,5 мкм.
Расстояние между щелями d = 25 мкм.2.29. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает подуглом скольжения θ = 30° на естественную грань монокристаллаалюминия. Расстояние между соседними кристаллическимиплоскостями, параллельными этой грани монокристалла, d = 0,2 нм.При некотором ускоряющем напряжении U0 наблюдали максимумзеркального отражения. Найти U0, если известно, что следующийвозникал при увеличениимаксимум зеркального отраженияускоряющего напряжения в η = 2,25 раз.2.30. Пучок электронов с кинетической энергией Т = 180 эВ падаетнормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении,составляющем угол α = 55° с нормалью к поверхности, наблюдаетсямаксимум отражения четвертого порядка. Найти межплоскостноерасстояние, соответствующее этому отражению.2.31. Написать уравнение де Бройля для свободно движущейсячастицы в параметрах v, k и Е, р для двух случаев:а) частица движется вдоль оси х;б) частица движется под произвольным углом к осям координат.2.32.
Определить длину волны де Бройля протона, кинетическаяэнергия которого равна энергии покоя электрона.2.33. Найти скорости и кинетические энергии электрона инейтрона, длина волны де Бройля которых равна λ = 0,1 нм2.34. Вычислить длины волн де Бройля электрона и протона, есликинетическая энергия каждой частицы равна соответствующей ейэнергии покоя. Массы частиц принять равными: m0e = 9,1⋅ 10 −31кг ,m 0p = 1,67 ⋅ 10 −27 кг .2.35.
На сколько отличаются длины волн де Бройля протона иатома водорода, движущихся с одинаковой кинетической энергиейТ = 1 эВ?2.36. Электрон движется по окружности радиусом R = 0,5 см внапряженностькоторогооднородноммагнитномполе,Н = 46·103/4π А/м. Какова длина волны де Бройля электрона?2.37. Для каких значений энергии нейтронов следует ожидатьособенно резких дифракционных явлений при рассеянии их наестественных кристаллах с постоянными решеток от 0,25 нм до0,6 нм?56Получить в общем виде формулу, выражающую зависимостьдлины волны де Бройля от ускоряющего потенциала длярелятивистской частицы.2.39.
При каком значении кинетической энергии ошибка вопределении длины волны де Бройля без учета релятивистскойпоправки составляет 1%: а) для электрона; б) для протона, в) дляα - частицы?2.40. Для изучения строения ядра атома в настоящее время вразличных лабораториях мира строят ускорители электронов доэнергий Е = 6 ГэВ. Какова длина волны де Бройля данныхэлектронов?2.41. Пользуясь условием Вульфа – Брэгга, найти первые тризначения ускоряющей разности потенциалов, при которыхнаблюдается максимальное отражение электронов в следующемопыте: пучок электронов падает на естественную граньмонокристалла под углом скольжения θ = 30°; отраженные электронынаблюдаются под углом равным углу падения.
Постояннаякристаллической решетки d = 0,24 нм. Преломлением электронныхволн в кристалле для простоты пренебречь.2.42. Поток электронов с длиной волны де Бройля λ = 11 мкмпадает нормально на прямоугольную щель шириной b = 0,1 мм.Оценить с помощью соотношения неопределенностей угловуюширину пучка за щелью (в градусах). Считать Δх = b/2.2.43. Оценить наименьшие погрешности, с которыми можноопределить скорость электрона и протона, локализованных в областиразмером L = 1 мкм. Считать Δх = L/2.2.44. Оценить неопределенность скорости электрона в атомеводорода, полагая размер атома порядка L = 0,1 нм.
Сравнитьполученное значение со скоростью электрона на первой боровскойорбите. Считать Δх = L/2.2.45. Оценить минимальную кинетическую энергию электрона,локализованного в области размером L = 0,1 нм. Считать Δх = L/2.2.46. Электрон с кинетической энергией Т = 10 эВ локализован вобласти размером L = 0,1 нм. Оценить относительную неопределенностьскорости электрона. Считать Δх = L/2.2.47. Частица массы m локализована в области размером L. Оценитькинетическую энергию Т частицы, при которой ее относительнаянеопределенность будет порядка ~ 0,01.
Считать Δх = L/2.2.48. Атом испустил фотон с длиной волны λ = 0,58 мкм за время-8τ = 10 с. Оценить неопределенность Δх, с которой можно установить2.38.57координату фотона в направлении его движения,относительную неопределенность его длины волны.атакже2.49. C помощью соотношения неопределенностей оценитьэнергию связи электрона в основном состоянии атома водорода исоответствующее расстояние электрона от ядра. Принять Δr ≈ r иΔv ≈ v.2.50. Приняв, что минимальная энергия Еmin нуклона в атомном10 МэВ,оценитьисходяизсоотношенияядреравнанеопределенностей линейные размеры ядра.2.51.
Пусть моноэнергетический пучок электронов (Т = 10 эВ)падает на щель шириной а. Можно считать, что если электронпрошел через щель, то его координата известна с неточностьюΔx = a / 2 . Оценить получаемую при этом относительную неточность вопределении импульса электрона Δp / p в двух случаях: 1) а = 10 нм,2) а = 0,1 нм. В каком случае существенно проявляются волновыесвойства электронов?2.52. Используя соотношение неопределенностейΔE ⋅ Δt ≥ h ,водорода,оценить ширину энергетического уровня в атоменаходящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии(время жизни атома в возбужденном состоянии τ = 10-8с).2.53. Состояние частицы описывается волновой функциейΨ (x,0 ) =⎛A·exp⎜⎜ −⎝2x 2a2⎞+ ikx ⎟⎟ , где аи k- положительные постоянные.⎠Найти:а) нормировочный коэффициент А;б) среднее значение координаты частицы x ;в) среднее значение квадрата координаты частицы x 2 .г) среднее значение импульса p x2.54.
Частицанаходится в состоянии, которое описываетсяволновой функцией⎛Ψ (x,0 ) = A ⋅ exp⎜⎜ −⎝⎞2x 2⎟,+ikx⎟a2⎠гдеА,а,k-положительные постоянные. Найти :а) распределениечастицыплотностиб) эффективный(ЭффективнойразмерместонахожденияРешениепрямоугольнойобластичастицы.локализацииобластью локализации считать область, на границахкоторой плотность вероятности2.55.вероятностиw(х);w(х)уравненияпотенциальнойуменьшается в е раз).ШредингераямыширинойдляLодномернойсбесконечно58высокимистенкамиможетбытьзаписановвиде:Ψ (x,0 ) = A ⋅ exp(ikx ) + B ⋅ exp(− ikx ) . Найти:а) собственные значения энергии частицы;б) нормированные собственные функции частицы.2.56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
