Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Вычислить минимальное значение энергиикванта, необходимое для освобождения фотоэлектрона из данногометалла.34Медный шарик, отдаленный от других тел, облучаютмонохроматическим светом длиной волны λ =0,2 мкм. До какогомаксимального потенциала зарядится шарик, теряя фотоэлектроны?Работа выхода для меди: А = 4,47 эВ.1.79. Плоскую цинковую пластинку освещаютизлучением сосплошным спектром, коротковолновая граница которогосоответствует длине волны λ = 0,3 мкм. Вычислить, на какоемаксимальное расстояние от поверхности пластинки может удалитсяфотоэлектрон, если вне пластинки имеется задерживающееоднородное электрическое поле напряженностью Е = 10 В/см. Работавыхода для цинка равна А = 4,0 эВ.1.80.
Какова была длина волны λ рентгеновского излучения, еслипри комптоновском рассеянии этого излучения графитом под угломθ = 60º длина волны рассеянного излучения оказалась равнойλ’ = 25,4 пм.1.81. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотонараспределяется поровну между рассеянным фотоном и электрономотдачи. Угол рассеяния θ = π / 2 . Найти энергию ε′ф и импульс р′ф1.78.рассеянного фотона.1.82.
Энергия квантов рентгеновских лучей ε = 0,6 МэВ. Найтиэнергию εе электрона отдачи, если длина волны рентгеновских лучейпосле комптоновского рассеяния изменилась на 20%.1.83. Рентгеновскоеизлучение длиной волны λ = 55,8 пмрассеивается плиткой графита (Комптон – эффект). Определитьдлину волны λ' света, рассеянного под углом θ = 60º к направлениюпадающего пучка света.1.84. Определить угол θ рассеяния фотона, испытывающегосоударение со свободным электроном, если изменение длины волныфотона при рассеянии равно Δλ = 3,62 пм.1.85. Фотон с энергией ε = 0,4 МэВ рассеялся под углом θ = 90º насвободном электроне. Определить энергию ε' рассеянного фотона икинетическую энергию Т электрона отдачи.1.86.
Определить импульс р электрона отдачи при эффектеКомптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона,был рассеян на угол θ = 180º1.87. Какая доля энергии фотона при эффекте Комптонаприходится на электрон отдачи, если фотон претерпел рассеяние наугол θ = 180º? Энергия фотона до рассеяния равна ε = 0,255 МэВ.1.88. Фотон с энергией ε = 0,25 МэВ рассеялся на свободномэлектроне. Энергия рассеянного фотона равна ε'= 0,2 МэВ.Определить угол рассеяния θ.351.89. Угол рассеяния фотона равен θ = 90º. Угол отдачи электронаравен φ = 30º.
Определить энергию ε падающего фотона.1.90. Фотон (λ = 1 пм) рассеялся на свободном электроне подуглом θ = 90º. Какую долю своей энергии фотон передал электрону?1.91. Сравнить максимальные комптоновские изменения длиныволны при рассеянии фотонов на свободных электронах и ядрахатомов водорода.1.92. Под некоторым углом θ к первоначальному пучкурентгеновских лучей длиной волны λ = 10 пм комптоновскоесмещение оказалось равным Δλ = 2,4 пм. Найти угол θ и величинуэнергии, переданной при этом электронам отдачи.равна λ = 3 пм. Какую1.93. Длина волны падающего квантаэнергию приобретает комптоновский электрон отдачи при рассеяниикванта под углом θ = 60º, 90º, 180º?1.94. В результате рассеяния кванта с первоначальной энергиейε = 0,8 МэВ на свободном электроне длина волны рассеянного квантаоказалась равной комптоновской длине волны.
Определить угол, накоторый рассеялся данный квант.1.95. Вычислить импульс комптоновского электрона отдачи, еслиизвестно, что фотон, первоначальная длина волны которого равнаλ = 5 пм, рассеялся под углом θ = 90º.1.96. Определить величину комптоновского смещения и угол, подкоторым рассеялся фотон, если известно, что первоначальная длинаволны фотона λ = 3 пм, а скорость электрона отдачи составляетβ = 0,6 скорости света.1.97. Пользуясь законом сохранения импульса и формулойКомптона, найти зависимость между углом рассеяния фотона θ иуглом φ, под которым отлетает электрон отдачи.1.98.
Определитьугол между направлениями движениярассеянного фотона и электрона отдачи при условии, чтокомптоновское смещение равно Δλ = 1,2 пм, а длина волныналетающего кванта λ = 5 пм.1.99. Найти длину волны падающего фотона, если известно, чтоэнергии рассеянного фотона и электрона отдачи равны при угле 90°между направлениями их импульсов.362.ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.Основные понятия и законыВолны де Бройля.Физические явления в микромире не описываются законамиклассической физики.
Электроны и другие микрочастицы наряду скорпускулярными свойствами проявляют и волновые свойства. Такпри падении пучка электронов на кристалл наблюдается явлениедифракции, аналогичное дифракции световой волны.По гипотезе де Бройля с частицей, движущейся с импульсом pr иэнергией Е, может быть сопоставлена волна с частотойEhrr pk= ,hω=и волновым векторомгде(2.1)(2.2)h= 1,05·10 − 34 Дж·с - постоянная Планка.2πУравнение такой волны, называемой волной де Бройля, имеет вид:h=rri( E ⋅ t − p⋅ rh)Ψ (r , t ) = A ⋅ e.(2.3)Длина волны де Бройля равнаh(2.4)λ= .pПри скорости частицы v << c (с - скорость света в вакууме)h,λ=2mTгде Т – кинетическая энергия частицы.h⋅c.В случае релятивистских скоростейλ=T ⋅ T + 2 ⋅ m0c 2Фазовая скорость волн де Бройля зависит от длины волны λ, чтоозначает наличие дисперсии. Групповая скорость совпадает соскоростью движения частицы.Физический смысл волн де Бройля раскрывается в квантовоймеханике (см.
решение задачи 2.9). Пока отметим, что они имеютвероятностный смысл: квадрат амплитуды волны в каком-либо местедает вероятность обнаружить частицу в этом месте пространства.r−()Соотношения неопределенностей.Волновые свойства частиц накладывают ограничения на точностьодновременного определения координат и импульса частицы.Выражения,связывающиенеопределенностькоординатыс37неопределенностьюсоответствующейпроекцииимпульса,называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга:h,2hΔy ⋅ Δp y ุ ,2hΔz ⋅ Δp z ุ .2Δx ⋅ Δp x ุ(2.5)Более строго эти соотношения записываются в виде:h2ุ .4(x − x ) ⋅ (p x − p x )(2.6)И аналогично для других координат.
Скобкиозначаютусреднение по ансамблю частиц, находящихся в одинаковомквантовом состоянии.Соотношениями неопределенностей в квантовой теории связанытакже некоторые другие пары физических величин. Например, есличастица проводит в некотором состоянии конечное время Δt, то ееэнергия в этом состоянии не определена точно. Неопределенностьэнергии ΔЕ связана с Δt соотношением:22h.2(2.7)ΔE ⋅ Δt ุ(2.7)Вследствие соотношениявозбужденные энергетическиеуровни атомов, имеющие ограниченное время жизни, уширены, чтоприводит к конечной ширине спектральных линий, излучаемых припереходах между этими уровнями.Основные положения квантовой механики.Волновая функция.Состояние частицы в квантовой механике rопределяетсякомплексной функцией координат и времени Ψ(r , t ) , котораяназывается волновой функцией.
Обычно волновую функциюнормируют к единице.2∫Ψ dV = 1,(2.8)где интегрирование проводится по всему пространству, в которомможет находиться частица.Квадрат модуля нормированной волновой функциигдеΨ∗ -2Ψ = Ψ*Ψ,комплексно-сопряженная функция, имеет смысл плотностивероятности. Это означает, что если точку с координатамиокружить малым объемомdV,x, y, zто вероятность обнаружить частицу вэтом объеме равна:2dw = Ψ dV(2.9)38Вероятность обнаружить частицу в конечном объеме V равна:2w v = Ψ dV(2.10)vВолновая функция должна удовлетворять стандартным условиям:быть однозначной, конечной и непрерывной и иметь непрерывныепервые производные.Уравнение Шредингера.Изменение волновой функции со временем определяетсяуравнением Шредингера:rh2Ψ=−ΔΨ + U(r , t ) ⋅ Ψt2mЛапласа, в декартовых координатах∂2∂2∂2Δ= 2 + 2 + 2.∂x∂y∂zih ⋅Здесь Δ – операторrU(r , t ) -(2.11)функция, описывающая воздействие на частицу со стороныдругих тел.Если известна волновая функция в начальный момент времениrΨ (r ,0 ) , то, решив уравнение (2.11), мы получим волновую функцию влюбой последующий момент времени.
Можно сказать, что уравнениеШредингера (2.11) играет в квантовой механике роль второго законаНьютона. В случае, когда U не зависит от времени, она имеет смыслпотенциальной энергии частицы. В этом случае решение уравнения(2.11) можно искать в виде:rrΨ (r , t ) = Ψ (r ) ⋅ e−iE⋅ th(2.12)Здесь Е - полная энергия частицы.
Решение (2.12) называетсяrстационарным. Вид координатной части волновой функции Ψ(r )определяется из стационарного уравнения Шредингера:ΔΨ +2mh2(E − U) ⋅ Ψ = 0(2.13)Из (2.12) видно, что в стационарном случае Ψ 2 не зависит отвремени, т.е. распределение по пространству вероятностиобнаружить частицу постоянно. Можно показать, что в стационарномсостоянии также оказываются постоянными и средние значения всехдинамических величин (см. 2.16).Принцип суперпозиции состояний.Принцип суперпозиции утверждает, что если в данных условияхсистема может находиться в различных состояниях, которымсоответствуют волновые функции Ψ1, Ψ2, …Ψi, то возможно также39∑ C Ψ , где Ссостояние с волновой функцией Ψ =ii–iпроизвольныеiкомплексные числа.Для примера рассмотрим суперпозицию волн де БройляразнымиблизкимиΔλ .интервалепозначениюблизкимилежащимив(2.9) плоская волна де Бройлячастицы, движущейся с постояннымПрисуперпозицииволновыхпо значению импульсамиλ = h/p)посколькуволн,сКак показано в задачеявляется волновой функциейимпульсом.длинами(2.3)(афункцийсразличнымизначит и длинами волн,образуется волновой пакет.
Ширина пакета Δхуменьшается с увеличениемΔλ ,а значит и с увеличением разбросазначений импульса частицы в пределах Δp. Частица в данном случаебудет локализована в области порядка Δх. Соответствующий расчетдаетΔx ⋅ Δp ≈ h ,что согласуется с соотношением неопределенностей(2.5).Операторы в квантовой механике и их связь с результатамиизмерений динамических величин.КаждойфизическойопределенныйвеличинеоператорQ̂ .QставитсяОператор–всоответствиеэтонекотороематематическое действие, которое производится над функцией, врезультате чего получается другая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
