Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Электроннаходитсяводномернойпрямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширинуямы, если разность энергий между уровнями с n1 = 2 и n2 = 3составляет ΔE = 0,3 эВ.2.57. Электрон находится в основном состоянии в одномернойпрямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.Ширина ямы L = 0,1 нм. Найти температуру, при которой средняякинетическая энергия молекул идеального одноатомного газа равнаэнергии электрона в основном состоянии.2.58. Частица массы m находится в одномерной прямоугольнойпотенциальной яме шириной L с абсолютно непроницаемымистенками. Найти число энергетических уровней в интервале энергий(E, E+dE), если Е значительно больше энергии основного состояния.2.59.
Электроннаходитсяводномернойпрямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками. На сколькопроцентов отличаются энергии двух соседних уровней, если а) n=3,б) n = 10, в) n = 100.2.60. Определить, при какой ширине одномерной прямоугольнойпотенциальной ямы с бесконечно высокими стенками дискретностьэнергетического спектра электрона, т.е. En+1 – En сравнима с егосредней кинетической энергией при температуре Т.2.61. Электроннаходитсяводномернойпрямоугольнойпотенциальной яме шириной L с бесконечно высокими стенками. В0<x<Lплотность вероятностикаких точках в интерваленахождения электрона на первом и втором энергетических уровняходинакова? Вычислить значение плотности вероятности для этихточек.
Решение пояснить графически.2.62. В одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной Lс бесконечно высокими стенками движется электрон. Вычислитьвероятность обнаружения электрона на первом энергетическомуровне в интервале L/4, равноудаленном от стенок ямы2.63. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной ямешириной L с бесконечно высокими стенками находится в низшемвозбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения35L < x < L.частицы в интервале8859Частица массой m находится в двумерной прямоугольнойпотенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Стороныямы a и b. Найти:а) нормированные собственные функции частицы (началокоординат взять в одном из углов ямы);б) собственные значения энергии частицы;в) координаты точек, в которых плотность вероятности местонахождениячастицы в состоянии с квантовыми числами n1 = 2 и n2 = 3максимальна.2.65.
Электрон находится в основном состоянии в двумернойквадратной бесконечно глубокой потенциальной яме со стороной l.Определить вероятность обнаружения электрона в области,ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ямы иплощадь которого составляет одну четвертую площади дна ямы2.66. Волновая функция некоторой частицы имеет вид:A⎛ r ⎞Ψ (r ) = exp⎜ − ⎟ , где r - расстояние от этой частицы до силового2.64.r⎝ A⎠центра, A и а - постоянные. Определить:а) нормировочный коэффициент А;б) среднее расстояние частицы до силового центра r .2.67. Электроннаходится в сферически симметричнойпотенциальной яме радиуса r0 с абсолютно непроницаемымистенками. Для состояний, которые описываются волновыми()функциями Ψn (x ) = 1 ⋅ sin πnr / r0 , n = 1, 2, 3, …, найти:2πr0rа) среднее значение координаты r ;б) среднее значение квадрата координаты r 2 ;в) среднеквадратичную флуктуацию σ 2 = (r − r )2.2.68.
Электронв атоме водорода находится в состоянии,описываемом волновой функцией Ψ(r ) = A (1 + αr ) exp(− β r ) , где А, α иβ - некоторые постоянные. Найти энергию электрона в этомсостоянии.2.69. Основное состояние электрона в атоме водородаописывается волновой функцией Ψ(r ) = A ⋅ exp(− r / r1 ) , где А некоторая постоянная,r1 =4πε 0 h 2me 2- первый боровский радиус.
Найти:а) распределение плотности вероятности местонахожденияэлектрона;60б) вероятность нахождения электрона в области, ограниченнойсферой радиуса r1;в) вероятность обнаружения электрона в области r > 2r1.2.70. Волновая функция электрона в основном состоянии атомаΨ (r ) = A ⋅ exp(− r / r1 ) , где А- некотораяводорода имеет вид:постоянная, r1 =4πε 0 h 2- первый боровский радиус. Найти:me 2а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядромrвер;б) среднее расстояние между электроном и ядром r ;(r − r )2в) среднее квадратичное отклонение σ =.2.71. Волновая функция электрона в основном состоянии атома⎛ r ⎞1водорода: Ψ (r ) =⋅ exp⎜⎜ − ⎟⎟ , где r1 - первый боровский радиус.⎝ r1 ⎠πr13Найти:а) среднеквадратичное значение расстоянияr2 ;б) среднее значение 1/r и потенциальной энергии электрона вполе ядра;в) среднее значение 1/r2 и кулоновской силы, действующей наэлектрон;г) вероятность обнаружить электрон в области r>r1;д) вероятность обнаружить электрон в области r<10-15м (внутриядра).2.72.
Показать, что волновая функция Ψ (r ) = A (1 + βr ) ⋅ exp(− ar )описывает стационарное состояние электрона в атоме водорода.Найти значения констант β и а и энергию данного состояния.Какому уровню энергии по теории Бора соответствует данноесостояние?2.73.
Электроннаходится в возбужденном состоянии атома⎛⎛r ⎞r ⎞⎟ ⋅ exp⎜ −⎟водорода с волновой функцией: Ψ (r ) = A ⋅ ⎜⎜1 −⎜ 2r ⎟ , где r1 2r1 ⎟⎠1⎠⎝⎝радиус первой боровской орбиты. Найти: значение нормировочнойпостоянной А.что2.74. Показать,2⎛ 27⋅ r 2 ⋅ r ⎞⎛r ⎞⎟ ⋅ exp⎜−⎟Ψ(r) = A⋅ ⎜⎜1−+⎜ 3⋅r ⎟7r1 21⋅ r12 ⎟⎠1⎠⎝⎝волноваяявляетсярешениемфункцияуравненияШредингера с кулоновским потенциалом (атом водорода). Состояние61с какой энергией она описывает? Какому квантовому числу по теорииБора соответствует это состояние?2.75.
Частица массой m находится в одномерном потенциальномkx 2поле U(x ) =в основном состоянии, для которого волновая2функция имеет вид: Ψ (x ) = A exp − β x 2 , где А - нормировочный()mωk,Найтинормированноеω=.2hmраспределение плотности вероятности местонахождения частицы.коэффициент;β=2.76.
Основное состояние частицы массойm в одномерном2kxпотенциальном поле U(x ) =описывается волновой функцией:2mω,Ψ (x ) = A exp − β x 2 , где A - нормировочный коэффициент; β =2hkω=. Найти:m()а) наиболее вероятное значение координаты частицыxвер;б) среднее значение координаты частицы x ;в) среднеквадратичную флуктуацию σ 2 = (x − x)2.2.77. Основному состоянию частицы массой m в одномерномkx 2потенциальном поле U(x ) =отвечает волновая функция2mω,Ψ (x ) = A exp − β x 2 , где A - нормировочный коэффициент; β =2hkω=. Найти среднее значение потенциальной U и кинетическойmT энергий частицы.()2.78. Частица с массойmи энергиейE движется вположительном направлении оси x и встречает на своем путибесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотыU0 . Для случая Е> U0 найти:а) коэффициент отражения барьера R.б) коэффициент прозрачности барьера D.2.79. Электрон с энергий E = 50 эВ, двигаясь в положительномнаправлении оси x, встречает на своем пути бесконечно широкийпрямоугольный потенциальный барьер высоты U0=20эВ.
Определить:а) вероятность отражения электрона от этого барьера;62б) коэффициент преломления волн де Бройля на границе этого барьера.2.80. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломленияn волн де Бройля на границе прямоугольного бесконечно широкогопотенциального барьера и коэффициент отражения этого барьера R.2.81. Определить показатель преломления n волн де Бройля припадении частиц на прямоугольный бесконечно широкийпотенциальный барьер с коэффициентом отражения R = 0,5.2.82. Найти приближенное выражение для коэффициентаотражения R от очень низкого прямоугольного бесконечно широкогопотенциального барьера U0 << E.2.83. Коэффициент отражения протонов от прямоугольногобесконечно широкого потенциального барьера равен R = 2,5·10-5.Определить, какой процент составляет высота барьера откинетической энергии падающих на барьер протонов.2.84.
Определить, во сколько раз кинетическая энергия электроновпревышаетвысотупрямоугольногобесконечноширокогопотенциального барьера, если коэффициент прозрачности этогобарьера D равен коэффициенту отражения R.2.85. Вывести формулу, связывающую коэффициент прозрачностиD прямоугольного бесконечно широкого потенциального барьера икоэффициент преломления n волн де Бройля.2.86.
Определить показатель преломления n волн де Бройля награнице прямоугольного бесконечно широкого потенциальногобарьера, если коэффициент прозрачности этого барьера D = 0,8.2.87. Определить коэффициент прозрачности прямоугольногобесконечно широкого потенциального барьера высотой U0 = 99,75 эВдля электрона с энергией Е = 100 эВ.2.88. Частицы с массой m и энергией EU(x)движутся в положительном направлении оси X набесконечноширокийпрямоугольныйll U0E lпотенциальный барьер высотой U0 > Е. Найти:а) коэффициент отражения этого барьера;xб) плотность вероятности нахождения частицза границей барьера (х > 0), если Ψ- функция нормирована так, чтоее амплитуда в области x < 0 равна единице.2.89.
Определить коэффициент преломления волн де Бройля дляпротонов на границе потенциальной ступени, если кинетическаяэнергия протонов 16 эВ, а высота потенциальной ступени Uo = 9 эВ.2.90. На пути частиц массы m, движущихся с энергией Е, находитсяпрямоугольный бесконечно широкий потенциальный барьер высотыU0 > Е. Определить эффективную глубину проникновения частиц в63область х > 0, т.е. расстояние от границы барьера до точки, гдеплотность вероятности нахождения частиц уменьшается в е раз.Рассчитать хэфф для электронов, если U0 − E = 1 эВ .2.91. Электрон с энергией Е = 5 эВ движется в положительномнаправлении оси х, встречая на своем пути прямоугольныйпотенциальный барьер высоты U0 = 10 эВ и ширины l = 0,1 нм.Определить:а) коэффициент прозрачности этого барьера D.б) во сколько раз надо уменьшить ширину барьера, чтобывероятность прохождения через него протона при тех же значениях Еи U0 была такой же, как для электрона.Указание: Воспользоваться формулой для коэффициентапрозрачности барьера конечной ширины D ป exp ⎡⎢−⎣2.92.2⋅l⎤2m(U − E )⎥ .h⎦Найти с помощью формулы для коэффициента прозрачностипотенциального барьераD⎡ป exp ⎢−⎢⎣⎤2 x2()2mU−E⋅dx⎥,h x1⎥⎦где х1 и х2 - координаты точек, между которыми U > Е, вероятностьmиэнергиейE сквозьпрохождениячастицысмассойпотенциальный барьер, если барьер имеет форму,а) показанную на рисунке а);б) показанную на рисунке б); где()U(x ) = U0 1 − x 2 / L2 .U, EU, EU0U0EE0Lа)x-L 0 Lб)x643.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
