Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Необходимая дляэтого энергия равна Ei = E − E1 . В соответствии с (3.19) дляводорода (Z = 1) имеем E1 = − Rhc , E ∞ = 0 , Ei = Rhc . ПотенциалE RhcUi = i =,Ui = 13,6 В .ионизацииeeПервому потенциалу возбуждения соответствует переходэлектрона из основного состояния (n = 1) в возбужденное состояниес наименьшей энергией (n = 2). Энергия возбуждения равнаE в = E 2 − E1 = Rhc (1 − 1 / 4 ) =Первый потенциал возбуждения равенU1 =E в 3Rhc=,e4eU1 =3Rhc .43⋅ 13,6 В = 10,2 В .4Задача 3.2. На дифракционную решетку нормально падает пучоксвета от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом.Постоянная решетки d = 5 мкм.
Какому переходу электронасоответствует спектральная линия, наблюдаемая при помощи этойрешетки в спектре пятого порядка под углом φ = 41º?РешениеОпределим длину волны наблюдаемой линии. Из условиямаксимума при дифракции на решетке следует: d sin ϕ = mλ , где m =5,d sin ϕ 5 ⋅ 10 −6 ⋅ 0,6561откудаλ=== 6,561 ⋅ 10 − 7 м .m5Полученная длина волны лежит в видимой области спектра,следовательно, относится к серии Бальмера. Серия Бальмераизлучается при переходах на уровень n = 2.
Воспользуемся формулой⎛ 111111⎞(3.20), подставив nн = 2,= R⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ , откуда= −, и2λ⎝2nв⎠nв4λR764Rλ= 3 . Наблюдаемая линияRλ − 4уровня nв = 3 на уровень nн = 2.излучается при переходе сnв =Задача 3.3. В спектре иона гелия He ll есть линия, длина волныкоторой совпадает с длиной волны головной линии серии Бальмера вспектре водорода. Какому переходу электрона в ионе He llсоответствует эта линия?Для иона HeРешениеZ = 2. Формула (3.20) для He llимеет вид:⎛ 111⎞= 4 R ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .λnв ⎠⎝ nнГоловная (наиболее длинноволновая) линия серии Бальмераизлучается при переходе с n = 3 на n = 2 и для водорода ее длинаволны определяется соотношением11 ⎞⎛ 1=R ⎜ 2 − 2 ⎟.λ3 ⎠⎝2По условию задачи левые части двух последних равенстводинаковы.
Приравниваем правые части⎛11 ⎞⎟⎛ 1 1⎞−=R⎜ − ⎟,22 ⎟nn⎝4 9⎠в ⎠⎝ нnн = 4,nв = 6.4 R ⎜⎜В результате получаем1nн2−1nв2=11−.16 36С какой минимальной кинетической энергией должендвигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударениис другим, покоящимся атомом водорода, один из них оказалсяспособным испустить фотон? Предполагается, что до соударения обаатома находились в основном состоянии.РешениеИз закона сохранения энергии T0 = T1 + T2 + Eв , где Т0 - начальнаякинетическая энергия движущегося атома; Т1 и Т2 - кинетическиеэнергии атомов после столкновения; Ев- энергия возбуждения одногоиз атомов.Поскольку в условии задачи речь идет о минимальной Т0, тозначит, Ев также минимальна. Т.е. возбуждение происходит науровень n = 2.
Найдем Ев:Задача3.4.1⎞ 3Ев=10,2 эВ.⎟ = Rhc ,4⎠ 4⎝Из минимальности Т0 следует также, что соударение абсолютнонеупругое, т.к. в этом случае наибольшая доля кинетической энергиипереходит во внутреннюю энергию, а значит, скорости атомов после⎛E в = E 2 − E1 = Rhc ⎜ 1 −77соударения равны и T1 = T2 = T . Из закона сохранения импульсаp 0 = p1 + p 2 , где р0- начальный импульс движущегося атома, а р1 и р2- импульсы атомов после соударения. Как следует извышесказанного, p1 = p 2 = p ; T0 = 2T + E в , p 0 = 2p . Откуда, используясвязь импульса и кинетической энергии p = 2mT , получаем Т=Т0/4 и3T0 = 2E в = Rhc ,Т0=20,4эВ.2Задача 3.5..
Вычислить постоянную Ридберга, если известно, чтодля ионов He ll разность длин волн между головными линиями серийБальмера и Лаймана Δλ = 133,7 нм .РешениеНапишем соотношения, определяющие длины волн головныхлиний (для ионов He ll):11 ⎞⎛ 1= 4R ⎜ 2 − 2 ⎟ ,λ13 ⎠⎝211 ⎞⎛серии Лаймана= 4 R ⎜1 − 2 ⎟ ,λ22 ⎠⎝1 51откуда= ⋅R ,= 3R ;λ1 9λ29122Δλ = λ1 − λ 2 =−=.5R 3R 15R22ОкончательноR== 1,097 ⋅ 10 7 м −1.15 ⋅ ΔλЗадача 3.6.
Определить кратность вырождения уровня атомаводорода, для которого энергия связи электрона равна E = 1,51 эВ.серии БальмераРешениеОпределим главное квантовое число указанного уровня. ЭнергияRhc()(эВ) . Откуда n2=9, n=3.Джилисвязи уровня E = RhcE=22nn ⋅eУровню с данной энергией соответствует несколько различныхсостояний, отличающихся квантовыми числами l, m, ms.
Число такихсостояний и есть кратность вырождения. При заданном n квантовоечисло l принимает n различных значений (l = 0, 1, … , n-1). Каждомузначению l соответствует 2l + 1 различных значений числа m(m = 0, ±1, ±2, …, ±l). Следовательно, разных наборов чисел l и mn −1при данном n будет (2l + 1) = 1 + 2(n − 1) + 1 ⋅ n = n 2 .l =02Состояниям с заданными n, l, m соответствуют два разных состояния,отличающихся числами ms (ms 2= 1/2, ms = -1/2). Следовательно, искомаякратность вырождения N = 2n , N = 18.78Определить энергию электрона в атоме водорода всостоянии, с волновой функцией Ψ(r ) = A(1 + ar )·e −αr , где А, а и αнекоторые постоянные. Какому главному квантовому числу nсоответствует это состояние?Задача3.7.РешениеВолновая функция, представляющая состояние с некоторойэнергией, является решением уравнения Шредингера (3.2).
Посколькуволновая функция не зависит от углов, в операторе Лапласаостанутся только производные по r:1 d ⎛ 2 dΨ ⎞ 2m ⎛⎜e 2 ⎞⎟rE⋅Ψ = 0.⋅++⎜⎟4 πε 0r ⎟⎠r 2 dr ⎝ dr ⎠ h 2 ⎜⎝Подставив сюда заданную волновую функцию и произведяпридемкдифференцирование,уравнению:⎞2a 2α ⎞ 2m ⎛⎜ e 2e 2a⎟ = 0 . (1)−++E+arE⎟+ 2⎟rr ⎠ h ⎜⎝ 4 πε 0r 4 πε 0⎠Сгруппировав члены уравнения по степеням r, получим:⎛⎜−⎝4aα + α 2 + arα 2 +⎡ h2⎢⎣ 2m(− 4aα + α )2⎤ ⎡ h2⎤⎡h2e 2ae2 ⎤ 12++ E⎥ + ⎢aα + aE ⎥ ⋅ r + ⎢ (a − α ) +⎥⋅ =04 πε 04 πε 0 ⎦ r⎦ ⎣ 2m⎦⎣mПоскольку при подстановке решения в уравнение должнополучиться тождество, соотношение (1) должно обращаться в нольпри любом r.
Это возможно только, если коэффициенты при всехстепенях r равны нулю:()e 2ah22− 4aα + α ++ E = 0.2m4 πε 0h2 ⋅ a ⋅ α2+ a ⋅E = 0.2m2h2(a − α ) + e = 0 .m4πε 0(2)(3)(4)h 2α 2, подставив это соотношение2m2уравнение (2), получим α = me 2 . Подставив это выражение8πε 0 hсоотношение для энергии (предыдущее равенство), получим:me 4me 4me 4 1E=−=−=−⋅.128 π 2 ε 20 h 232h 2 ε 028h 2 ε 20 2 2Из уравнения(3)имеемE=−вв79Сравнивая полученный результат с соотношением (3.8), находим,что найденное значение энергии соответствует уровню с n = 2.Электрон в атоме находится в р - состоянии, причемего полный момент импульса максимален.
Найти наименьший угол,который полный момент импульса может составлять с осью Z.Решениеp - состоянию соответствует значение l = 1.rМаксимальноезначениеj будет в случаеZj = l+s = 1+1/2 = 3/2.Приэтом3hr3 ⎛ 3 1 ⎞ h 152hJ=.Проекция⎜ + ⎟ =maxθminЗадача3.8.h20−3h22⎝22⎠Jmaxz = m j ⋅ h ,2гдеmj =r3 113, , − , − .2 222Следовательно, Jmax может составлятьчетыре дискретных угла с осью Z. Очевидно,3наименьшему углу θmin соответствует m j = 2 .Изрисунканаходим3 / 2h3== 0,7746h 15 / 215= arccos 0,7746 = 39,2° .cos θmin =θminоткудаЗадача3.9. Газ, состоящий из атомов водорода, находится притемпературе Т = 3000 К.
Определить отношение числа атомов,находящихся в первом возбужденном состоянии, к числу атомов восновном состоянии.РешениеПри тепловом равновесии атомы распределены по энергиям всоответствии с формулой Больцмана:−EkTN = C⋅g⋅ eN - число атомов с энергией Е, g - число различных состояний сданной энергией, С - константа.Для основногосостояния (n = 1) атома водорода g = 2,E1 = − Rhc = −13,6 эВПервомувозбужденномусостояниюg = 2n = 8 ,2(n = 2)соответствует80E2 =−E14 kTN2 8 ⋅ e==EN1− 12 ⋅ e kT3E144e kTE113,6=−эВ44= 4e−3 ⋅13,6 ⋅1,6 ⋅10-194 ⋅1,38 ⋅10-23 ⋅3000= 4e − 39,4 ป 3 ⋅ 10 − 17Задача 3.10.
В атоме заполнены К - и L - оболочки и S подоболочка в M- оболочке. Записать электронную конфигурацию.Какой это атом?Решениеоболочка и S - подоболочка в М - оболочке содержат по дваэлектрона. L - оболочка содержит 8 электронов. Следовательно,порядковый номер атома Z = 2 + 8 + 2 = 12. Элемент Mg.Электронная конфигурация:1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 .K-Задача 3.11. Определить напряжение на рентгеновской трубке сникелевым антикатодом, если разность длин волн между Кα- линиейи коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра равнаΔλ = 84 пм .РешениеПри бомбардировке антикатода ускоренными электронами врентгеновской трубке возникает, наряду с характеристическим,сплошной рентгеновский спектр. Коротковолновая граница сплошногоспектра определяется соотношениемh⋅c= e ⋅ U , где U - напряжениеλ грна рентгеновской трубке.
λгр найдем из условия Δλ = λ кα − λ гр = 84 нм .По формуле (3.22)ZNi = 28 ,а1 = 1,1=Rλ kαа2 = 7,4,⎛⎜⎜⎝2(Z − a 2 ) ⎞⎟(Z − a1 ) −.⎟24получим⎠Подставивλ kα = 1,47·10 −10 м ,hc= 19,7 кВλ гр ⋅ eλ гр = (1,47 − 0,84 ) ⋅ 10 −10 = 63 нм ;U=3.12.
Получить с помощьюформулу (3.28) для множителя Ланде.векторной модели атомаЗадачаРешениеМагнитные свойства электрона определяются величинойрисунка следует:rμ .Из81rrrμ = μ J = μL cos α1 + μS cos α 2 ,rSrα1r 2rSr 2BLr 2r 2= Jcos α1 =rμScos α 2 =rμrr 2+ SJrrrrJоткуда− 2 J ⋅ S cos α 2 ,r 2+ Lrr 2− Srr 2+ Sre rS .meADC по− 2 J ⋅ L cos α1 ,2J ⋅ Lr 2μμ =+ Lr 2Arr 2= JLrμLrμS =теореме косинусов следует:Jα2e rL ,2meИз треугольников АВС иCDrμL =где,r 2− Lr2J ⋅ S.Подставим этисоотношения в выражение дляrμeh ⎛⎜ j( j + 1) + l (l + 1) − s(s + 1) 2( j( j + 1) + s(s + 1) − l (l + 1)) ⎞⎟+⎟2m e ⎜⎝2 j ( j + 1)2 j ( j + 1)⎠rоткудаj ⋅ ( j + 1) + s ⋅ (s + 1) − l ⋅ (l + 1) ⎞⎟⎟.2 j ⋅ ( j + 1)⎝⎠выражениес(3.27),j ⋅ ( j + 1) + s ⋅ (s + 1) − l ⋅ (l + 1).g = 1+2 j ⋅ ( j + 1)⎛μ = μ Б ⋅ j ⋅ ( j + 1)⎜⎜ 1 +Сравниваяэтонаходим3.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
