Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Найтивращательное квантовое числоJ наиболеезаселенного вращательного уровня молекулы O2 при температуреТ = 300 К. Расстояние между ядрами в молекуле O2 равноd = 1,207 ⋅ 10 −10 м .3.97. В газе, состоящем из молекул I2, максимальная населенностьсоответствует вращательному уровню J = 60. Расстояние между93ядрами в молекуле йода I2 равно d = 2,667 ⋅ 10 −10 м .

Определитьтемпературу газа.3.98. Некоторый газ, состоящий из двухатомных молекул,находится при температуре Т = 384,5 К. При этом максимальнаяна вращательный уровень J = 4.населенность приходитсяОпределить для этого газа разность частот соседних линийвращательного спектра.3.99. При какой температуре газа, состоящего из молекул NO,населенности вращательных уровней J1 = 5 и J2 = 12 одинаковы?Расстояние между ядрами в молекуле NO равно d = 1,15 ⋅ 10 −10 м .3.100. Найти для молекулы HF число вращательных уровней,расположенных между основным и первым возбужденнымколебательными уровнями.

Расстояние между ядрами в молекуле HFравноd = 0,917 ⋅ 10 −10 м ,собственнаячастотаколебаний14 −1ωυ = 7,796 ⋅ 10 c . Молекулу считать гармоническим осциллятором.3.101. Оценить, сколько линий содержит чисто вращательныйспектр молекулы CO. Расстояние между ядрами в молекуле СОравноd = 1,128 ⋅ 10 −10 м ,собственнаячастотаколебаний14 −1ωυ = 4,088 ⋅ 10 c .3.102. Найти для молекулыH2 отношение энергий, которыенеобходимо затратить для возбуждения на первый колебательный ипервый вращательный уровни. Собственная частота колебаниймолекулыH2ωυ = 8,279 ⋅ 1014 c −1 , расстояние между ядрамиd = 0,741 ⋅ 10 −10 м . Ангармоничностьюколебаний пренебречь.3.103. Найти отношение энергий, которые необходимо затратитьдля возбуждения молекулы HI на первый колебательный и первыйвращательный уровни.

Собственная частота колебаний молекулы HIωυ = 4,350 ⋅ 1014 c −1 , расстояние между ядрами в молекулеd = 1,604 ⋅ 10 −10 м . Ангармоничностью колебаний пренебречь.3.104. Вычислить отношение заселенностей вращательногоуровня J = 1 и основного вращательного состояния для молекулыводорода при температуре Т = 300 К. Расстояние между ядрами вмолекуле H2 равно d = 0,741⋅ 10 −10 м .3.105.

Найти отношение числа молекул водорода на первомвозбужденном колебательном уровне υ = 1, J = 0, к числу молекул напервом возбужденном вращательном уровне υ = 0 , J = 1 притемпературе Т = 880 К. Расстояние между ядрами в молекуле Н294d = 0,741 ⋅ 10 −10 м ,ωυ = 8,279 ⋅ 1014 c −1 .равнособственнаячастотаколебаний3.106. Найти амплитуду классических колебаний и коэффициентквазиупругой силы для молекулы СО, находящейся на первомКолебаниясчитатьвозбужденномколебательномуровне.гармоническими. Собственная частота колебаний ωυ = 4,08 ⋅ 1014 c −1.3.107. Всередине колебательно – вращательной полосымолекулыCH,гдеотсутствуетлиния,соответствующаязапрещенному переходу ΔJ = 0, интервал между соседними линиямиΔω = 1,1⋅ 1013 c −1 .

Вычислить расстояние между ядрами молекулы СН.Нарисовать схему энергетических уровней и указать на нейсоответствующие переходы.3.108. Используя формулу для средней энергии квантовогогармонического осциллятора:ε =h⋅ω+2h⋅ω, вычислить⎛ h ⋅ ω⎞exp⎜⎟ −1⎝k ⋅T⎠температуру, при которой средняя колебательная энергия молекулыхлора вдвое превышает ее нулевую колебательную энергию. Длямолекулы хлора частота колебания ωυ = 1,064 ⋅ 1014 c −1 .3.109. Используяформулу для средней энергии квантовогогармонического осциллятора, найти температуру, при которойсредняя колебательная энергия молекулы кислорода совпадает сэнергией уровняυ=0,J = 5. Частота колебаний молекулы14 −1ωυ = 2,977 ⋅ 10 c ,расстояниемеждуядрамикислородаd = 1,207 ⋅ 10 −10 м .954. ОСНОВЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛАЗонная теория твердых тел.Элементы квантовой статистики.Образование энергетических зон в твердом телеК твердым телам относятся вещества, состоящие из близкорасположенных и сильно взаимодействующих между собой атомов,ионов или молекул.

Эти атомы, ионы или молекулы образуютячейкикоторойповторяютсявкристаллическуюрешетку,пространстве. Расстояние между двумя соседними атомами в ячейкеопределяет период решетки d.32223В твердом теле в 1 см находится 10 - 10 взаимодействующих–8атомов, расположенных на расстояниях d ≅ 3⋅10 см.

Рассмотрим, каккачественно влияет такое сближениеEна характер энергетического спектратвердого тела.Изолированныйатомможнопредставитьввидепотенциальнойn=3E3ямысразрешеннымиуровнямиэнергии Е1, Е2, Е3 ..., которым отвечаютn=2E2квантовые числа n1, n2, n3, (рис.4.1). Этаяма образована кулоновским полем ядраи экранирующих его электронов.E1n=1При наличии нескольких атомовпотенциал в пространстве междуРис. 4.1атомами в первом приближении можносчитать равным сумме потенциалов от отдельных атомов. Поэтому,когда атомы сближаются на расстояния характерные для-8межатомного расстояния d в твердом теле (∼ 3⋅10 см), высотапотенциального барьера, отделяющего потенциальные ямы соседнихатомов, снижается и становится на несколько электрон-вольт ниженулевого уровня энергии.

Возникает перекрытие потенциальных ямотдельных атомов и образуется периодическое потенциальное полекристаллической решетки. Это полепредставляет собой совокупностьразделенныхпотенциальныхям,барьерами конечной ширины (рис.4.2). Электроны отдельных атомоввследствие туннельного эффектамогут просачиваться через этотЧемдальшеэлектронбарьер.расположен от ядра (n велико), тембольше для него коэффициентdРис.

4.2прозрачности барьера D.96Рассмотрим вопрос о времени жизни электрона в атоме τ. Визолированном атоме электрон не покидает "свой" атом, поэтому дляизолированного атома τ = ∞. В твердом теле электроны валентныхуровней могут в силу туннельного эффекта переходить от одногоатома к другому, и время жизни электрона в атоме определяетсявыражением τ = 1/ω⋅ D, где ω - частота столкновений электрона состенками потенциального барьера, D - коэффициент прозрачностибарьера. Чем ближе электрон к ядру, тем сильнее он связан с ядром,и тем меньше вероятность просачиваться через потенциальныйбарьер, коэффициент D уменьшается, время жизни τ возрастает.Если воспользоваться соотношением неопределенности дляэнергии ΔE ⋅ Δt ≥ h ( h = h / 2π - приведенная постоянная Планка,h = 1,05 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с ) и подставить в него вместо Δt соответствующее τ,то для изолированного атома ΔE→0, т.е.

уровни энергииизолированного атома бесконечно узкие. Для твердого тела времяжизни валентных электронов τ ≈ 10-15 с, а ширина валентного уровня1,05 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ сЕ = −15≅ 1 эВ10 с ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 Дж / эВТаким образом, при образовании твердого тела каждый уровеньэнергии изолированного атома превращается в энергетическуюполосу шириной ΔE (рис. 4.3). Эта полоса называется энергетическойзоной. Чем выше энергетическийЕ Зоны в т.т.уровень электрона в атоме, темшире полоса, которая образуетсяи оиз этого уровня. Если ширинагоигнсоседних зон ΔE1 и ΔE2 меньшере нанрасстояниямеждууровнямиэ воизолированного атома E2-E1 тои ранво имежду зонами существует щель,ло мз орназываемая запрещенной зоной иу и тахарактеризуемаяширинойdзапрещенной зоны ΔEз.Каждая зона разрешенныхРис.4.3энергий состоит из N - дискретных(числодискретныхуровнейуровнейравночислусближающихся атомов).

Расстояние между уровнями в зонеприблизительно может быть оценено по формуле ΔEi = ΔE/N, где ΔE ширина энергетической зоны. Так, для валентной зоны ΔEi = 1 эВ/1022= 10-22 эВ. Эта величина ничтожно мала по сравнению с тепловойэнергией электрона Е = kT (k=1,38⋅10-23 Дж/К), которая при комнатнойтемпературе (Т=300 К) составляет 0,025 эВ.Более точно расстояние между уровнями энергии в зонеопределяется выражением97ΔЕ i =( 2πh ) 34 πV ( 2m)2 / 3 E(4.1),m - масса электрона, V - объем кристалла, Е - энергия уровня.Рассмотрим, как происходит заполнение разрешенных зонэлектронами .

Число электронов в разрешенной зоне в точности равносуммарному числу электронов, имеющихся у всех объединяющихсяатомов. Например, если для электронной оболочки с главным2квантовым числом n = 2, на которой находятся 8 электронов (2n ), ачисло атомов, из которых составлено твердое тело, N, то в зоне,соответствующей n = 2 содержится 8N электронов.гдеЗаполнение электронами уровней зоны происходит на основепринциповстатистики:квантовой1)Электронынеразличимы.2)Квантовые состояния электронов описываются четырьмя квантовымичислами.ИзменениеизменениемизэлектроноввнутриПаулитвердогодляквантовогоодногоэнергетическомзоны2-хсостоянияквантовыхподчиняетсягласит:телауровненаходиться не более4-хвзоне"Вэлектроначисел.принципутвердомразрешенныхсвязаносРаспределениеПаули.телеПринципнакаждомэнергийможетэлектронов, отличающихся направлениемспина".Так как внутренние оболочки атомов заполнены полностью, то ивнутренние зоны, которые из них образуются, также будут заполненыполностью.

Уровни, на которых располагаются внешние(валентные)электроны, образуют валентную зону. В зависимости от конкретнойситуацииэтаэлектронами ,зоналибоможетбытьчастично.либополностьюзаполненаСледующая за ней более высокаязона образована из свободныхEЗонауровней энергии изолированныхпроводимостиатомов и называется зонойЗапрещеннаяпроводимости. Для объяснениязонаEЗэлектропроводности твердых телдостаточно использовать валентнуюзону, зону проводимости и лежащуюВалентнаямежду ними запрещенную зонуЗона(рис. 4.4).В зависимости от степениРис. 4.4заполнениявалентнойзоныэлектронами и ее расстояния доследующей более высокой зоны - зоны и проводимости - все твердыетела делятся на три класса: диэлектрики, проводники иполупроводники.98Квантовая модель свободных электронов в твердом теле.Уровень Ферми. Плотность электронных состоянийЧтобы получить сведения о таких важных понятиях, как энергияэлектрона проводимости в твердом теле, энергия уровня,отделяющего заполненные электронами уровни от свободных,плотность электронных состояний, приходящихся на интервалэнергии dЕ, рассмотрим твердое тело с помощью квантовой моделисвободных электронов.Согласно этой модели валентные электроны атомов металламогут почти свободно перемещаться по кристаллу.

Кристаллявляется для электронов трехмерной потенциальной ямой.Запишем уравнение Шредингера для свободного электрона втрехмерной потенциальной яме෕ 2Ψ ෕ 2Ψ ෕ 2 Ψ 2m+ 2 + 2 + 2 EΨ = 0,෕x 2෕y෕zh(4.2)где Ψ- волновая функция, m - масса электрона, Е - энергия электрона.Ψ - функция должна удовлетворять граничным условиям, которыезаключаются в требовании, чтобы Ψ- функция была периодическойпо х, у, z с периодом L (L - длина кристалла).Периодические граничные условия:Ψ( x, y, z ) = Ψ( x + L, y, z );Ψ( x, y, z ) = Ψ( x, y + L, z )(4.3)Ψ( x, y, z ) = Ψ( x, y, z + L )Решать уравнение (4.2) будем методом разделения переменных.Решение ищем в виде произведения трех функций, каждая изкоторых зависит только от одной переменной х, у, z. Для простотыобозначим Ψ(x) = Ψx, Ψ(у) = Ψy, Ψ(z) = Ψz.Ψ = Ψ ( x ) ⋅ Ψ ( y ) ⋅ Ψ ( z ) = Ψ х ( x ) ⋅ Ψy ( y ) ⋅ Ψ z ( z )(4.4)Найдя соответствующие частные производные෕ Ψ2෕x 2= Ψy ⋅ Ψz ⋅d 2 Ψxdx 2;෕ 2Ψ෕y 2= Ψx ⋅ Ψz ⋅d 2 Ψydy 2෕ 2Ψ;෕z 2= Ψx ⋅ Ψy ⋅d2 Ψzdz 2и подставив их в уравнение (4.2) получимΨy ⋅ Ψz ⋅d 2 Ψxdx2+ Ψx ⋅ Ψz ⋅d 2 ΨydyУмножая это уравнение на2+ Ψx ⋅ Ψy ⋅d2 Ψzdz2+2mh2E ⋅ Ψx ⋅ Ψy ⋅ Ψx = 0.1, имеемΨx Ψy Ψx21 d 2 Ψx1 d Ψy1 d2 Ψz2m· 2 +· 2 +· 2 = − 2 E,Ψx dxΨy dyΨz dzh(4.5)99Обозначим2π2m2kволновойвектор=- есть постояннаяE=k,λh2величина.Каждое слагаемое уравнения (4.5) есть постоянная величина и,таким образом, уравнение (4.2) разделено на три уравнения, каждоеиз которых зависит только от одной переменной:1 d2 Ψx⋅= − k 2x2Ψx dxd 2 Ψxили21 d Ψy⋅= − k 2y2Ψy dydxd2 Ψyили1 d2 Ψz⋅= − k 2z2Ψz dz2dy2Решение уравнений(4.7)+ k 2z ⋅ Ψz = 0(4.8)d2 Ψzилиdz2ik y y, Ψz = C ⋅ eik zz ,В силу периодичности граничных условийik x x=eik x ( x + L )ik y y=eik y ( y + L )где А, В, С- константы.(4.3)ik xL= 1,k x ⋅ L = 2πn x , (n x = 0, ± 1, ± 2,...) ,ik yL= 1,k y ⋅ L = 2πn y , (n y = 0, ± 1, ± 2,...) ,e ik zL = 1,k z ⋅ L = 2πn z , (n z = 0, ± 1, ± 2,...) ,,e,eeik zz = e ikz ( z + L ) ,где+ k 2y ⋅ Ψy = 0(4.6 ÷ 4.8) ищем в видеΨx = A ⋅ eik x x , Ψy = B ⋅ ee(4.6)k 2 = k 2x + k 2y + k 2z,гдеe+ k 2x ⋅ Ψx = 0nx, ny, nz - квантовые числа, характеризующие энергию электрона.Учтем, что⎛ 2π ⎞⎟⎝ L ⎠k 2 = k 2x + k 2y + k 2z = ⎜соотношение в формулу2(n2x)+ n 2y + n 2z .Подставляя это()2m2222E = k 2 и, полагая, что n x + ny + nz = n ,2hполучим выражение для энергии электрона проводимости в металле:2h 2 ⎛ 2π ⎞2En =⎜⎟ ⋅n2m ⎝ L ⎠кристалла V = L3, последнее(4.9)Вводя объемсоотношение можно2 22h n ( 2π )переписать в виде(4.10).En =2mV 2 / 3Отметим, что четвертым квантовым числом, характеризующимэлектрон в твердом теле (в добавлении к nx, ny, nz), являетсяспиновое квантовое число ms (ms = ±1/2).

Характеристики

Список файлов книги