Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найти дляθ = 339 К, а энергиямеди, характеристическая температураФерми - 6,2 эВ отношение теплоемкостикоторойэлектронного газа к теплоемкости решетки при 600 К.РешениеСогласно квантовой теории теплоемкости металлов молярнаятеплоемкость электронного газа определяется формулой (4.71а), т.е.π2R Z ⋅ kT, где Z - число свободных электронов, приходящихсяCMe,Z =⋅Задача2EFна каждый атом металла, для медиМенделеева), поэтомуCMe,Z =Z = 1 (перваяπ2RkT.2EFгруппа таблицы(1)По условию задачи медь находится при температуре Т = 600 К, чтопревышает характеристическую температуру θCu = 339 К.
Поэтому дляопределения молярной теплоемкости решетки меди воспользуемсязаконом Дюлонга и Пти (4.53), согласно которомуСреш.m = 3R.(2)Из полученных выражений (1) и (2) найдем искомое отношениетеплоемкостейCMe,Zπ2RkTπ 2kT==.Cреш.m 2EF ⋅ 3R 6EF136Подставляя численные значенияЕF = 6,2·1,6⋅10–19 Дж, определяемk = 1,38·10–23Дж/К, Т= 600К,CMe, Z3,14 2 ⋅ 1,38 ⋅ 10 −23 ⋅ 600== 0,077 .Cреш.m6,62 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19Определить максимальную частоту колебанийатомов в решетке кристалла, характеристическая температуракоторого равна 374 К.
Оценить максимальные значения энергии иимпульса фонона –10возбуждаемого в кристалле, если расстояниемежду атомами 3·10 м.РешениеМаксимальную частоту колебаний атомов в решетке кристалланаходим из формулы (4.62):hνmax = kθ.(1)Из (1) определяем максимальную частоту упругих волнЗадача4.25.νmax =kθ 1,38 ⋅ 10−23 ⋅ 374== 7,8 ⋅ 1012Гц. (2)− 34h6,62 ⋅ 10Тогда максимальная энергия фонона равнаEmax = h ⋅ νmax = 6,62 ⋅ 10 −34 ⋅ 7,8 ⋅ 1012 = 5,6 ⋅ 10 −21 Дж.(3)Максимальный импульс фонона определяется согласно формулеа(4.59 ):pmax =hνmax;v зв(4)где v в - скорость распространения упругих звуковых волн вкристалле, которая равна vзв = λ·ν.
Максимальной частоте ν упругихволн в кристалле соответствует минимальная длина волны λ = 2d,где d - расстояние между атомами в решетке. Тогдаvзв ≈ 2dν(5).Из (2), (3), (4) и (5) определяем p = 2Еdν . Подставляя численныезначения Е =5,16·10 Дж, ν = 7,8·10 Гц, d =3·10 м, находимзmaxminmaxmaxmaxmaxmax–21pmax =12max–105,16 ⋅ 10 −21= 1,1⋅ 10 − 24 кг ⋅ м / с.−10122 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 7,8 ⋅ 10Задача 4.26. Найти отношение изменения ΔU внутренней энергиикристалла при его нагревании отСчитать Т << θ.0до0,08⋅θ к нулевой энергии.РешениеИзменение внутренней энергии кристалла при нагревании от 0 до0,08⋅θ найдем из соотношения (4.72):137mTm 0,08θΔU = ∫ Cm (T )dT =∫ Cm (T )dT.M0M 0Поскольку по условию задачи Т << θ, то молярнаякристалла определяется законом Дебая (4.69)(1)теплоемкость312 4 ⎛ T ⎞Cm =π R⎜ ⎟ .5⎝θ⎠Подставляя (2) в (1), находимm 0,08 θ 12π4RT 3 dT m 12 π4R T 4ΔU ==∫M 0M 5 θ3 45 ⋅ θ3(2)0,08 θ=0m 3 π4R=(0,08 )4 θ4 = m 3 π4R(0,08)4 ⋅ θ.3M5 θM5(3)Нулевая энергия одного моля кристалла определяется в теорииДебая формулой (4.64) Um0 = 98 Rθ , для произвольного числа молейUm0 =9mRθ .8M(4)Разделив (3) на (4), найдем искомое отношение энергий:ΔU=U3m 4π R ⋅ (0,08)4 ⋅ θ ⋅ 88 4M=π (0,08 )4 = 2,17 ⋅ 10 −3.m155 ⋅ 9 ⋅ RθMПри комнатной температуре средняя длинасвободного пробега фонона в кристалле хлористого натрия в четырераза больше постоянной его решетки.
Вычислить–10 коэффициенттеплопроводности3 такого кристалла, если d = 5,64·10м и скорость–333звука в нем 5·10 м/с, плотность ρ = 2,17·10 кг/м , М = 58,5·10кг/моль.РешениеПо теории Дебая передача тепла в кристаллах осуществляетсяфононами, т.е. фононы обеспечивают теплопроводность кристаллов.Согласно теории Дебая возбужденное состояние решетки можнопредставить как идеальный газ фононов, свободно движущихся вобъеме кристалла.
Фононный газ в определенном интервалетемператур ведет себя подобно идеальному газу, а посколькуфононы являются главными переносчиками тепла в твердом теле(строго, это справедливо для диэлектриков), то коэффициенттеплопроводности можно выразить той же формулой, чтокоэффициент теплопроводности идеального газа:Задача4.27.κ=1 'C m l v зв ,3(1)138где'Cm= ρ⋅с -теплоемкость единицы объема фононного газа,средняя длина свободного пробега,теле.
Сmнатрия.= 50, 58Дж/(моль·К)-v зв -<l>-скорость звука в данноммолярная теплоемкость хлористогоНайдем теплоемкость единицы объема фононного газа:ρ ⋅ Сm 2,17 ⋅ 103 ⋅ 50,58== 1,88 ⋅ 106 Дж / м3 ⋅ K.−3M58,5 ⋅ 10'(1) значения < l >, vзв, CmV находим коэффициентC'm = ρ ⋅ с =Подставляя втеплопроводностиκ=1⋅ 1,88 ⋅ 106 ⋅ 4 ⋅ 5,64 ⋅ 10−10 ⋅ 5 ⋅ 103 = 7,06Дж /(м ⋅ K ⋅ с ).34.28. Для меди модуль Юнга Е=129,8 ГПа, модуль сдвигаG = 48,33 МПа, плотность ρ = 8,90 г/см3. Определить температуруДебая для меди.ЗадачаРешениеТемпературу Дебая или характеристическую температуру длямеди находим из выражения (4.62):k·θ = h·ωmax(1)Максимальная частота нормальных колебаний атомов меди вкристаллической решетке определяется (4.56):ωmax = 318π 2nv II3 + 2v −⊥3(2),где n - число атомов в единице объема меди n = ρNа/М,v⊥ =- скорость распространенияv =- скорость продольной(4) в (1), находим.G,ρ(3)E,ρ(4)поперечной волны иволны в кристалле меди.
Подставляя (2), (3) иh ⋅ωmax h18π 2ρ NAh=ω== ⋅3−−33kk M(v || + v ⊥ ) k⎡⎤⎢⎥18π 2ρN A⎢⎥⋅⎢−3 / 2−3 / 2 ⎥⎛G⎞E⎞⎢ M⎛⎥+ 2M⎜⎜ ⎟⎟⎟⎜⎟⎜⎢ ⎝ρ⎠⎥⎝ρ⎠⎣⎦1/ 3.(5)Учитывая, что h = 1,05·10–34 Дж⋅с, k = 1,38·10-23 Дж/К, ρ = 8,9·103 кг/м3,NA = 6,02·1023 моль–1, М = 64·10–3 кг/моль, G = 48,33·109 Па,Е=129,8·109 Па из (5) рассчитываем значение характеристическойтемпературы θ = 334 К.139Задача4.29.
Какое количество <nmах > фононов максимальнойчастоты возбуждается в среднем при температуре Т = 400 К вкристалле, дебаевская температура которого θ = 200 К?РешениеСреднее число фононов в условиях теплового равновесияопределяется формулой (4.61)ni =1.exp( hνi / kT ) − 1(1)где νi - частота фононов, возбуждаемых в кристалле.По условию задачи νi = νmах, а максимальную частоту фононовнайдем из условия (4.62) hωmax = kθ (2), где θ - характеристическаятемпература кристалла.Определив hνmax из (2), подставляя в (1), находим среднее числофононов:ni =1=1.ekθ / kT − 1 eθ / T − 1Согласно условию задачи θ/Т = 200/400 = 0,5 и окончательно1ni = 0,5= 1,54.e −1Задачи для самостоятельного решенияЭлементы квантовой статистики.4.30.
Определить максимальную энергию и максимальнуюскорость электронов в золоте при Т = 0 К, принимая, что на каждыйатом приходится по одному свободному электрону. Плотность золотаρ = 19,3·103 кг/м3, молярная масса золота М = 197·10–3 кг/моль.4.31. Вычислить энергию Ферми и максимальную скоростьэлектронов в алюминии при Т = 0 К, считая, что на каждый атом. Плотностьалюминия приходитсяпо3 три свободных электрона3–3алюминия ρ = 2,69·10 кг/м , молярная масса М = 27·10 кг/моль.4.32. Определить отношение концентраций n1/n2 свободныхэлектронов в меди и литии при Т = 0 К, если известно, чтомаксимальные энергии электронов в этих металлах соответственноравны Еmax1 = 7 эВ, Еmа 2 = 4, 72 эВ.4.33.
Определить отношение числа свободных электронов N1/N2 всеребре объемом 5 см3 и в меди объемом 2 см3 при Т = 0 К, еслиизвестно, что энергии Ферми в этих металлах соответственно равныхE FAg = 5,5 эВ, EFСu = 7 эВ.4.34.Определить число свободных электронов, приходящихся наодин атом натрия при температуре Т = 0 К. Уровень Ферми длянатрия–3 ЕF = 3,12 эВ, плотность ρ = 970 кг/м3, молярная масса М =23·10 кг/моль.140При какой концентрации свободных электронов в кристаллетемпература вырождения электронного газа равна 0°С?4.36.
Определить граничную энергию Еmах для свободныхэлектронов в литии при температуре Т = 0 К, полагая, что на каждыйатом лития приходится по одному свободному электрону. Найтитемпературу вырождения электронного газа в литии. Плотность литияρ = 540 кг/м3, молярная масса М = 7·10-3 кг/моль.4.37. До какой температуры надо было бы нагреть классическийэлектронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказаласьравной средней энергии свободных электронов в серебре при Т = 0 К?Считать, что на каждый атом серебра приходится один свободныйэлектрон.
-3Плотность серебра ρ = 10,5·103 кг/м3, молярная массаМ = 108·10 кг/моль.вероятностьзаполненияэлектронами4.38. Каковаэнергетического уровня в металле, расположенного на ΔΕ=0,01 эВниже уровня Ферми, при температуре t = +18°С?4.39. Как и во сколько раз изменится вероятность заполненияэлектронами энергетического уровня в металле, если уровеньрасположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми и температура изменяетсяот T1=200 до T2=300 К?4.40. Как и во сколько раз изменится вероятность заполненияэлектронами энергетического уровня в металле, если этот уровеньрасположен на ΔΕ=0,1 эВ выше уровня Ферми и температураизменяется от T1=1000 K до T2=300 K?4.41.
Определить температуру, при которой в твердом проводникевероятность нахождения электрона с энергией 0,5 эВ над уровнемФерми равна 2%?4.42. Найти разницу энергий (в единицах kТ) между электроном,находящимся на уровне Ферми, и электронами, находящимися науровнях, вероятности заполнения которых равны 0,2 и 0,8.4.43.
Определить вероятность того, что электрон в металлезаймет энергетическое состояние, находящееся в интервале энергийΔЕ = 0,05 эВ ниже уровня и выше уровня Ферми для двух температур1) Т1 = 300 К, 2) Т2 = 60 К.4.44. Во сколько раз вероятность заполнения электрономэнергетического уровня, находящегося на ΔΕ = 0,01 эВ выше уровняФерми при температуре T1=1000 К, больше вероятности заполненияэтого же энергетического уровня при температуре T2= 500 К?4.45. Найти величину энергетических интервалов (в единицах kТ)между уровнем Ферми и уровнями, вероятность заполнения которыхравна соответственно 0,1 и 0,9. Дать графическую интерпретацию награфике f(Е,Т).4.46. Определить во сколько раз отличаются вероятности того, чтоэлектрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся4.35.141в интервале энергий ΔЕ = 0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровняФерми, при температурах Т1 = 290К, Т2 = 50 K.4.47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
