Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики (1013875), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Вычислить концентрацию собственных и примесныхносителей в германии, содержащем 0,001% мышьяка, при комнатнойтемпературе. Ширина запрещенной зоны ΔЕЗ = 0,75 эВ, энергияактивации ΔЕа = 0,015 эВ (mе = mр).РешениеТак как валентность атомов германия (Gе) равна четырем, амышьяка (Аs) - пяти, следовательно, мы имеем дело с донорнымполупроводником (рис. 4.12а). При комнатной температуре Т = 300 Ктепловая энергия1,38 ⋅ 10−23 ⋅ 300= 0,025эВ,1,6 ⋅ 10−19т.е.
kT > Еa и, следовательно, все атомы примеси активированы.Концентрация примесей, которые составляют 0,001% от основныхносителей, может быть рассчитана по (4.11):ρn Аs = Ge ⋅ N A ⋅ 0,001 %,MGekT =где ρGe = 5,3·103 кг/м3 , МGe = 73·10–3 кг/моль, NA = 6,02·1023 моль–1,5,3 ⋅ 103 ⋅ 6,02 ⋅ 1023⋅ 10 − 5 = 4,4 ⋅ 10 23 м− 3 .−373 ⋅ 10Концентрация собственных носителей, которая зависиттемпературы, определяется по (4.50):nАs =1 ⎛ 2mekT ⎞nGe (T ) = ⎜⎟4 ⎝ πh 2 ⎠3/2⋅e1 ⎛⎜ 2 ⋅ 9,1⋅ 10−31 ⋅ 0,025 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 ⎞⎟nGe (T ) = ⎜⎟4⎝3,14 ⋅ 1,052 ⋅ 10− 68⎠−отΔE з2kT ,3/2⋅e−0,750,05= 7,4 ⋅ 10−18 м− 3.1304.17. Приняв в чистом германии ширину запрещеннойзоны равной 0,72 эВ, найти, на сколько надо повысить температуругермания, чтобы число электронов проводимости увеличилось в двараза по сравнению с начальной температурой, равной 300 К?ЗадачаРешениеВ соотношении (4.50) постоянные величины для данного3/21 ⎛ 2mk ⎞полупроводника выразим через величину C = ⎜ 2 ⎟ , и4 ⎝ πh ⎠концентрация электронов определяется формулойn1 =C ⋅ T13 / 2⋅e−ΔEЗ2kT1(1)при начальной температуре Т = 300 К.Концентрацию электронов с увеличением температуры доТ2 = Т1 + ΔТ, выразим соответственно черезn2 = C(T1 + ΔT )3/2По условиюΔEЗ2k ( T1 + ΔT )3/2⎛ T + ΔT ⎞n2⎟= 2 = ⎜⎜ 1n1T1 ⎟⎠⎝или⋅e−2=⎛⎜1 +⎜⎝ΔT ⎞⎟T1 ⎟⎠3/2.ΔE зΔT ⎞⎟⋅⎟⎝ 2kT1 (T1 + ΔT ) ⎠⎛exp⎜⎜⎡⎢⎛ ΔЕ з ⎞⎟⋅exp ⎢⎜⎜⎟2Тk1⎠⎢⎝⎣⎤1 ⎥.Т1 + 1⎥⎥ΔТ⎦(2)При комнатной температуре изменение концентрации электроновопределяетсявосновномэкспоненциальнымзаконом.Следовательно, в первом приближении можно считать, что удвоениеконцентрации электронов происходит при нагревании кристалла наΔT <<T1.
Точное решениезадачиполучим,введяновуюпеременную ΔT/Т1 = α.Теперь (2) примет вид :2 = (1 + α )3/2Логарифмируем (3):ln 2 =ΔE з3 α⋅+2 1 + α 2kT1⎛⎜⎝(3)α3ΔE зln(1 + α ) +⋅,22kT1 1 + αтак как α << 1, то ln(1+ α) ปln 2 =ΔEЗα ⎞⎟.⋅⎟+α2kT1⎝1⎠⎛exp⎜⎜α1+ αα1+ α, и теперьln 2⎞⎟ ⇒ ⇒ α =;1 + α 3 / 2 + ΔE / 2kT⎠з1131α=1+ αРешая0,693= 0,045;0,72 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −191,5 +2 ⋅ 1,38 ⋅ 10 − 23 ⋅ 300(4) относительноΔТ = 0,047⋅300 = 14,1 Kα, получим α=(4)откуда0,047,Таким образом мы убедились, что при очень малом изменениитемпературы всего на 14,1 К концентрация электронов увеличилась вдва раза.Задача 4.18.
Образец из германия n - типа в виде пластиныдлиной L = 10 см и высотой d = 6 мм помещен в однородноемагнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл перпендикулярно линияммагнитной индукции. При напряжении U = 250 В, приложенном кконцам пластины, возникает холловская разность потенциаловUХ = 8,8 мВ. Определить: 1) постоянную Холла RХ, 2) концентрациюnn носителей тока. Удельную проводимость германия принять равнойσ = 80 См/м.РешениеПри помещении полупроводника с током в поперечное магнитноеполе в полупроводнике возникает холловская разность потенциаловUХ, которая определяется выражением (4.36): UХ = RХВjd.Отсюда можно найти постоянную ХоллаRx =UxB⋅ j⋅d(1).U.L(2)Плотность тока j найдем, воспользовавшись законом Ома вдифференциальной форме j = σ⋅E, где Е - напряженностьэлектрического поля в образце.
Считая это поле однородным, можнозаписать Е = U/L, и тогдаj=σПодставив (2) в (1), находим постоянную ХоллаUx ⋅ L.(3)B ⋅U⋅ σ ⋅ dУчитываячисленныезначенияUх = 8,8·10–3 В, L = 0,1d = 6·10–3 м, В = 0,1 Тл, σ = 80 См/м, U = 250 В, рассчитываемRx =Rx =8,8 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,1= 7,33 ⋅ 10 − 5 м3 / Кл.−30,1⋅ 250 ⋅ 80 ⋅ 6 ⋅ 10м,Согласно формуле (4.38) для полупроводника одного типа (n -типапо условию задачи) постоянная Холла3π 1,(4)8 е ⋅ nnгде е - заряд электрона (е = 1,6·10–19 Кл), nn - концентрация электронов.Rx =132Из (4) выражаем n =3π,8R x ⋅ eподставляя численные значения е, Rх, π,определяем концентрацию электроновnn =3 ⋅ 3,14= 10 23 м− 3 .−5−198 ⋅ 7,33 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10Задача 4.19. На нагревание металлического предмета массой 100г от 20 до 50°С затрачено 8300 Дж. Определить, из какого материалаизготовлен предмет, если указанный интервал температур вышехарактеристической температуры.РешениеКоличество тепла, подводимого к телу для нагрева от 20 до 50°С,можно найти исходя из формулы (4.72)T2Q = ∫ m ⋅ Cm ( T )dT(1)T1Поскольку нагрев неизвестного материала производят винтервале температур ΔТ больше характеристической температуры,то значение удельной теплоемкости Cm = СV находим, пользуясьMзаконом Дюлонга и Пти, согласно которомуСV = 3R,(2)тогдаCQ=m mMT2∫ dT=T1mCm ( T2 − T1).M(3)Из (3), зная Q и ΔТ, Сm можно найти молярную массу Мнеизвестного материала M = m ⋅ CmΔT .QПодставляя численные значения, находим0,1 ⋅ 3 ⋅ 8,31 ⋅ 30M== 9 ⋅ 10 − 3 кг / моль,38,3 ⋅ 10М = 9⋅10–3 кг/моль соответствует бериллию (4Ве9).Задача 4.20.
Вычислить характеристическую температурукристалла, если известна его теплоемкость при двух значенияхтемператур: С1 = 0,054 кал/(моль⋅К) при Т1 = 20 К и С2 = 0,18 кал/(моль⋅К)при Т2 = 30 К.РешениеПри температуре Т << θ теплоемкость определяется из законаДебая (4.69). Проверим это соотношение:312 4 ⎛ T ⎞(1)Сm = π R⎜ ⎟ ,5⎝θ⎠133где Т- температура тела, θ - характеристическая температура.3Из(1)следуетCm1 ⎛ T1 ⎞=⎜ ⎟ .Cm2 ⎜⎝ T2 ⎟⎠⎛ T1⎜⎜T⎝ 2Отсюда3⎞⎟⎟⎠=8= 0,296 ≅ 0,3;27Cm1 0,0543=≅ 0,3; Cm ∼ Т , т.е. в указанном интервале температурCm20,1820К≤Т≤30К выполняется закон Дебая, следовательно из (1) находимхарактеристическую температуру кристалла1/ 31/ 3θ=⎛ 12π 4R ⎞⎜⎟⎜ 5C⎟m⎝⎠⋅ T1 = =⎛ 12 ⋅ 3,14 4 ⋅ 8,31 ⎞⎟⎜⎜ 5 ⋅ 0,054 ⋅ 4,19 ⎟⎠⎝⋅ 20 = 408,5K.Задача 4.21.
При нагревании 15 г серебра от Т1 = 10 до Т2 = 20 Кбыло подведено Q = 1,065 Дж теплоты. Определитьхарактеристическую температуру серебра, считая, –3что Т1 и Т2 многоменьше θ. Молярная масса серебра – M = 107,86·10 кг/моль.РешениеЕсли вещество находится при температуре нижехарактеристической, то его молярная теплоемкость согласно законуДебая (4.69) равна12 π 4R 3(1)Сm =T ,35 θт.е. является функцией температуры, и поэтому количествопоглощенного тепла будем определять соотношением (4.72):m∫ Cm ( T )dT .MПодставляя (1) в (2) и интегрируя, получим12 π4R m T2 312 π4Rm( T24 − T14 )⋅⋅ ∫ T dT =Q=.5 θ3 M T15θ3M ⋅ 4Из (3) находимQ = ∫ dQ =θ=30,6 ⋅ π 4Rm(T24 − T14 );MQ((2)(3))44−30,6⋅3,14⋅8,31⋅15⋅1020−10θ = 3,143= 212K.107,86 ⋅ 10 −3 ⋅ 1,0654.22.
Определить теплоту, необходимую для нагреваниякристалла NaCl массой 50 г на ΔТ = 2 К: 1) нагревание происходит оттемпературы Т1 = θ, 2) нагревание происходит от температурыТ2 = 2 К. Характеристическаятемпература NaCl θ = 320 К, молярная–3масса равна M = 58,5·10 кг/моль.Задача134РешениеНагревание и в первом и во втором случаях происходит притемпературах, в области которых не имеет места закон Дюлонга иПти (4.53). Теплоемкость кристалла в области заданных температурявляется функцией температуры, и поэтому согласно (4.72).m T2Q=∫ Cm ( T )dT.M T1(1)Температура нагреваемого тела близка к характеристической,теплоемкость определяется соотношением (4.65)Cm =В соотношении (2)x=⎡3 θ/T⎢⎛T⎞⎢3R 12⎜ ⎟ ⋅ ∫⎢ ⎝θ⎠0⎢⎣hν,νkTθ⎞ ⎤⎟ ⎥x dx⎝T⎠ ⎥.−e x − 1 eθ / T − 1⎥⎛3⎜3(2)⎥⎦частота собственных согласованныхколебаний атомов решетки; θ = hνmax , νmax - максимальная частотаkсобственных согласованных колебаний атомов решетки.По условию задачи в первом случае: Т1 = θ; θ = 1; учтем, чтоT1θ / T1∫01 3x3x dxdx== 0,225 .∫xex − 1e−10(3)Определим теплоемкость по формуле (2) с учетом Т1 = θ и (3):⎡Cm = 3R ⎢12 ⋅ 1⋅ 0,225 −⎣Подставляя (4) в (1), находим Q1:3 ⎤= 2,805R.2,7 − 1⎥⎦(4)θ+ ΔTm θ+ Δ TmmQ1 =2,805R ∫ dT = 2,805R ⋅ ΔT,∫ C m ( T )dT =M θMMθ0,05⋅ 2,805 ⋅ 8,31 ⋅ 2 = 39,85 Дж.58,5 ⋅ 10 −3Во втором случае Т2 = 2К << θ, поэтому пользуемся соотношением(4.69), подставляя его в формулу (1), найдем искомое количествотепла Q2:Q1 =Q2 =m T2 12π 4RT 3 dT m 12π 4R( T24 − T14 )= ⋅,∫M T1M5θ 35θ 3 ⋅ 40,0512 ⋅ 3,14 48,31(44 − 24 )Q2 =⋅= 3,025 ⋅ 10 −3 Дж.3−358,5 ⋅ 105 ⋅ 320 ⋅ 4135Средняя энергия свободных электронов в металле23 ⎡ 5π2 ⎛ kT ⎞ ⎤при температуре Т равна E = EF ⎢1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥.
Найти отношениеЗадача4.23.5⎢⎣12 ⎝ EF ⎠ ⎥⎦теплоемкостей электронного газа и кристаллической решетки приТ = 300 К для серебра с концентрацией свободных электроновn = 6⋅1022 см–3.РешениеТак как Т > 9 (см. табл.4), то согласно закону Дюлонга и Пти (4.53)теплоемкость решетки Среш.m = 3R. Теплоемкость электронного газаdUeгде Ue - внутренняя энергия электронов Ue = < Е > NA:Ce =dT⎛335π2 (kT )2 ⎞⎟π2 kR 23Ue = ⎜⎜ EF + EF=+NENT ;F A2 ⎟ A551254EEFF ⎠⎝Ce =dUe π2kT CekT ⋅ 2mπ2=⋅R ⋅ ,=⋅ 2 2 2/3 ;dT2EF Cреш,m6 h (3π n)CeCреш,m3,142 ⋅ 1,38 ⋅ 10 −23 ⋅ 300 ⋅ 2 ⋅ 9,1⋅ 10 −31== 7,6 ⋅ 10 −3.− 34 22− 28 2 / 36 ⋅ (1,05 ⋅ 10 ) (3 ⋅ 3,14 ⋅ 6 ⋅ 10 )4.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
