Термодинамика и теплопередача Болгарский А.В. Мухачев Г.А. Щукин В.К. (1013761), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Иногда вместо этой функции приводится зависимость для средней безразмерной температуры стенки О =)(Ро, В|). (4.33) Расчетные соотношения для теплопроводности плоской стенки в нестационарных условиях получены для симметричных условий теплообмена на обеих поверхностях стенки. Эти соотношения могут быть использованы для одного часто встречающегося случая несимметричных условий теплообмепа, когда одна из поверхностей стенки теплоизолирована, а другая участвует в теплообмене.
В этом случае рассчитываемая стенка толщиной 6 заменяется фиктивной стенкой толщиной 26 (рис. 4.6) и к ней применяются все полученные выше соотношения. Температура в плоскости симметрии фиктивной стенки равна температуре теплоизолированной поверхности реальной стенки. Аналогичные решения задач о температурном поле и количестве переданной теплоты в нестационарных условиях теплообмена, а также графики, облегчаюшие их использование, имеются для бесконечно длинного цилиндра и для шара. В качестве характерного размера для этих тел выбран радиус. Аналитические выражения, определяющие температурные поля бесконечно длинного сплошного цилиндра и сплошного шара, имеют вид: (4.34) к ъ '~Ь~ згя ие рл со~ мп зы ил й — я~л го е ип ми ия'соз рп в я (4.35) В каждый момент времени температурное поле стенки определяется числами Ео и В), поэтому и средняя температура стенки будет зависеть только от этих чисел.
Следовательно, — =г(Ео, В(). Здесь 7, и,1, — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков; И = Й/Я,. Величины р для цилиндра и шара определяются равенствами: (4.36) 1и(И) нс(йн= ) — ВЕ (4.37) Результаты решения задач нестационарной теплопроводности для одномерного температурного поля могут быть использованы при расчете температуры некоторых тел с двумерным и трехмерным температурными полями. а), й1 Й 0 х Рис. 4.7 Рис. 4.6 В качестве примера рассмотрим охлаждение бруса бесконечной длины с прямоугольным сечением (рис.
4.7, а). Теплота передается брусом в окружающую среду через вертикальные и горизонтальные грани. Предположим, что горизонтальные грани бруса теилоизолированы (рис. 4.7, б). Тогда безразмерную температуру О, любой плоскости, параллельной плоскости 1-1, можно определить по формуле (4.3О) или по графину, аналогичному рис. 4.6. При этом в начестве характерного следует взять размер 6,. Если предположить, что теплоизолированы вертикальные грани (рис. 4.7, в), то аналогично определится безразмерная температура б, плоскости, параллельной 2-2. В этом случае характерным размером будет 6,.
Величина О, характеризует уменьшение избыточной температуры рассматриваемой вертикальной плоскости к заданному моменту времени по сравнению с начальной избыточной температурой О' благодаря теплообмену вертикальных поверхностей. Аналогично величина О, характеризует уменьшение избыточной температуры рассматриваемой горизонтальной плоскости благодаря теплообмену горизонтальных поверхностей.
Когда в теплообмене участвуют все боковые поверхности бруса, снижение температуры на линии пересечения рассматриваемых плоскостей определяется одновременным влиянием теплообмена вертикальных и горизонтальных поверхностей. Поэтому безразмерная температура на этой линии равна произведению безразмерных температур, определенных отдельно для теплообмена вертикальных и горизонтальных граней 8=8,8,.
(4.38) Таким путем может быть определена температура в любой точке параллелепипеда 1на пересечении трех плоскостей). При этом необходимо определить три безразмерных температуры, пользуясь методикой для бесконечной плоской стенки, а безразмерная температура в рассматриваемой точке будет равна их произведению. При оценке температуры внутри цилиндра ограниченной длины определяется безразмерная температура на цилиндрической поверхности заданного радиуса по закономерностям для бесконечного длинного цилиндра и для плоскости, параллельной основаниям цилиндра, по формуле температурного поля пластины, толщина которой равна длине цилиндра. Безразмерная температура на пересечении цилиндрической поверхности и плоскости равна произведению безразмерных температур для каждой из этих поверхностей.
Рассмотренный выше метод известен под названием теоремы о перемножении решений, с доказательством которой можно ознакомиться в 115) $3. Метод регулярного режима Этому равенству можно придать вид лв — = — т„М в 14.39) Выявим закон изменения температуры в теле сначала для наиболее простого случая, когда внутренним тепловым сопротивлением тела по сравнению с внешним сопротивлением можно пренебречь, и потому в каждый момент времени температуру всего тела можно считать одинаковой. Равномерность температурного поля увеличивается с ростом коэффициента теплопроводности тела и с уменьшением коэффициента его теплообмена с окружающей средой.
При Рй < 0,1 с достаточной для практики точностью температурное поле тела можно считать равномерным. Запишем для тела, имеющего объем г', поверхность соприкосновения с окружающей средой Р и равномерное температурное поле, тепловой баланс за время Ж. Избыточная температура, определяемая формулой (4.3), будет одинаковой для всех точек тела, причем при Ж ) О и 1~ = сопз1 всегда Й8 ( О. При отсутствии внутренних источников теплоты изменение энтальпии равно рассеянной поверхностью теплоте — )гр г)8 = аоГат.
Считая теплофизические характеристики тела независящими от температуры и а = сопэ1, после интегрирования уравнения (4.39) получим !п8= —, +С. Это и есть основная закономерность регулярного режима, со стоящая в том, что при теплообмене в регулярном режиме натуральный логарифм избыточной температуры связан со временем линейной зависимостью. Коэффициент пропорциональности (формула (4.40) ! определяет темп охлаждения только для тел с равномерным температурным полем. Подставив в уравнение (4.41) начальное условие (8 = 8' при т = О), найдем, что С = !п 8', и, следовательно, уравнению (4.41) можно придать вид (4.41) 1п8= — т т. (4. 42) Эта формула может использоваться в практических расчетах для тел любой формы при В! ( 0,1. Безразмерная избыточная температура определяется формулой (4.6).
Рассмотрим теперь общий случай, когда неравномерностью распределения температуры в теле пренебречь нельзя. Анализ формул (4.30), (4.34) и (4.35) показывает, что безразмерную избыточную температуру 8 можно выразить суммой произведений из трех величин 8= ~' А„У„е л=! (4А3) где А„— величина, не зависящая ни от координат, ни от времени; (/„— функции координат; т„— ряд положительных чисел, которые быстро возрастают с увеличением номера члена ряда. Такая форма записи безразмерной температуры пригодна не только для простейших тел правильной формы, но и для любых других тел, форма которых отражается на виде множителей А„и У„ [11 !.
При небольшой продолжительности процесса теплообмена температурное поле определяется не только первым, но и последующими членами ряда. Это так называемая неупорядоченная стадия процесса охлаждения или нагревания, в течение которой величина температуры в некоторых точках тела и скорость ее изменения зависят от начального распределения температур в теле. Благодаря неравенству ~я1 ~ снв ~ 'нв"' где тв — коэффициент пропорциональности, называемый сяемяом охлаждения (или нагревания) и определяемый формулой щя г" а (4,40) ср увеличение времени т приводит к тому, что каждый последующий член ряда (4.43) убывает скорее, чем предыдущий. После некоторого значения т - т* все члены ряда становятся пренебрежимо малыми по сравнению с первым.
Тогда из (4.43) с достаточной точностью можно записать (индексы опущены) О=АУе- '. (4.44) С учетом равенства 8 8/О' после логарифмирования выражения (4.44) получается !и О= — ° +С, (4.45) где С' = !и О'АЬ вЂ” функция от координат. Следовательно, при т ) т' наступает регулярный режим тепло- обмена, при котором изменение температуры во времени для всех точек тела подчиняется единому закону (линейная зависимость !п 8 от т), а начальное распределение температур в теле не оказывает влияния на форму этого закона. Из сопоставления формулы (4.44) с выражениями (4.30), (4.34) н (4.35) следует, что ий т=а —; и (4. 46) а= Кт„, (4.47) где К вЂ” коэффициент формы, зависящий от конфигурации и размеров тела.
Справедливость этой теоремы пронллюстрируем на примере шара. Из формулы (4.46) следует, что для рассматриваемого случая и а= — т. (4.48) Из (4.37) видно, что при В1 -ь оо рс!д )х -~. — сю, а величина 1~ стремится к значению, равному и. Подставив в формулу (4А8) )х = н с учетом того, что для шара ! = !х, получим О' и= — т и ЯО' (4.49) величина рпредставляет собой наименьший положительный корень уравнений (4.22), (4.36) или (4.37). Иэ формулы (4.46) видно, что темп охлаждения (нагревания) т не зависит от времени и определяется величиной критерия В1, физическими свойствами, формой и размерами тела. Теория регулярного режима дает простой и достаточно точный метод определения физических характеристик вещества (а, Л, с), коэффициентов излучения и коэффициентов теплоотдачи. Так, опоеделение коэффициента температуропроводностн а основано на первой теореме Кондратьева, в силу которой при В! — ~- оо (практичсскн при В! =ь 100) Это выражение подтверждает справедливость первой теоремы Кондратьева и позволяет получить формулу для коэффициента формы шара К= —.
(4.50) Рис. 4.8 (4.51) где й 4. Численные методы расчета температурных полей Сложная форма тела, неоднородность его теплофизических характеристик, сложный характер граничных и временных условий однозначности часто не позволяют оценить температурные поля рассмотренными выше методами. Для таких задач можно использовать численные методы расчета температурных полей. Таким образом, задача экспериментатора сводится к определению темпа охлаждения т. Для этого образцу испытуемого материала придают форму, для которой величина К легко 1иВ подсчитывается, и в одной из его точек заделывают спай В! В! термопары. Образец помещается в термостат, температура жидкости в котором выше температуры образца, а затем регистрируется раз(г ность температур тела и йиг жидкости в различные моменты времени.
Построив затем график 1п О = 1(т) и (рис. 4.8), выявляют область, ! ~г ~ в которой реализуется линейная зависимость !п О = 1(т), т. е. наблюдается регулярный режим. Если при регулярном режиме в момент времени т, и т, избыточная температура в точке замера составляет О, и Ом то в соответствии с формулой (4.45) !п О,= — тт,+С; !п О, = — ттэ+ С. Исключив из этих равенств константу С, найдем е, !и— е, т= Лг При численном методе расчета изучаемое тело подразделяется на элементы (слои или параллелепипеды), а рассматриваемый отрезок времени — на небольшие периоды.
В течение каждого периода времени теплообмен между соседними элементами материала или между поверхностью тела и средой считается стационарным. Составляя баланс теплоты дая каждого элемента тела, определяют изменение его энтальпии за каждый отрезок времени. Последовательный расчет температуры всех элементов позволяет выявитьтемпературное поле тела при нестационарном режиме. Упрощающие предпосылки численных методов расчета делают их приближенными. Для повышения точности метода необходимо уменьшать элементы тела и продолжительность расчетного периода времени, при этом объем вычислительной работы возрастает. Применение электронных вычислительных машин позволяет преодолеть этот недостаток чис- а„ Иа» Рис. 4.9 Я»» +О„= срр(1~ — 1,), (4.52) где (1 — объем элемента; 1, — температура элемента в момент времени т; 1', — та же температура в момент времени т + Лт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
