Термодинамика и теплопередача Болгарский А.В. Мухачев Г.А. Щукин В.К. (1013761), страница 53
Текст из файла (страница 53)
4.2 показано температурное поле для всех точек (точнее, изотермических по- Рис. 4.х Ри* 4.1 верхностей) однородной плоской стенки при одинаковых условиях охлаждения обеих ее поверхностей. При таком изображении поля температурное состояние можно охарактеризовать только в определенные моменты времени т. Дифференциальное уравнение энергии (2.15) в твердом телЬ без внутренних источников теплоты имеет вид д1 (дп ды д~~ т — =а — + — +— (4.1) дт ~дх' дуи дхи ~ Характер взаимодействия тела с окружаюшей средой опишем граничными условиями третьего рода (4.2) дг где ˄— коэффициент теплопроводности стенки; й- — температурный градиент в твердом теле. При равномерном температурном поле в начальный момент процесса теплообмена временные условия имеют простой вид: при т=О Обозначим избыточную температуру в любой точке тела в произвольный момент времени через 6 6 = à — Г.
(4.3) Для точек, расположенных иа поверхности и в центре стенки, 6„=1„— Г,; Е,=Г,— г,. (4. 4) Для начального момента времени Е' = Г' — 1,. (4.5) Безразмерная избыточная температура 6= —. 8' ' (4.8) Обозначим безразмерные координаты через: х — у —, г — =х; — =у, — =г, 1 где 1 — характерный размер тела.
Приведем уравнение (4.1) к безразмерному виду. Так как аг 8 ав, де 8 ая дх' Р дхй Ду' 8 Ду' а'~ 8' д'8 Д~, де — =8' —, дг~ и дгг дт Дт ' го уравнение (4.1) имеет вид Да Да Дга а — — — + — +— (4 7) Дф Дгй Следовательно, для сходственных точек, у которых х =!дет, у = 1бет и г = (беп1, безразмерная температура 6 зависит от числа Фурье Го=от/Р.
Однако связь величин 6 и Го неоднозначна, так как интеграл уравнения (4.7) зависит от формы тела, а константы интегрирования — от условий на границах. Анализ уравнения (4.2), определяюцгего условия теплообмена на границах, методами теории подобия показывает, что подобие процессов теплообмена на границе тела определяется числом Био В1 = —. (4.8) хсзр Следовательно, для конкретной формы тела температурные поля 8 = 1(х, у, г) будут подобны, а безразмерные избыточные температуры 8 в сходственных точках будут одинаковы при условии; Ро=Ыепн В1=Ыепь 293 Поэтому температурное поле при нестационарной теплопроводности определяется обобшенным выражением 0=1(го, В1, х, й, а ), вид функции в котором зависит от формы тела.
$2. Результаты аналитического решения дя д'8 — =а— дт дхх (4.10) 0 Граничные условия для обеих поверхностей при х = ~ б Рис. 4.3 хдхх щ Временные условия: при т=О 0 = 0'. Решим эту задачу методом разделения переменных. Представим искомую функцию 0 в виде произведения переменных Т (т) и Х (х), из которых первая зависит только от времени, а вторая — только от координаты 0 = ТХ. (4.12) Дифференцированием этого выражения найдем дО дТ дд дХ д*а УХ вЂ” =Х вЂ”; — =Т вЂ”; — =Т вЂ”.
дт Их дх дх дх' дхх ' Подставив эти выражения в уравнение (4.10), получим АТ дхХ Х вЂ” =аТ— дт дхх Т емпературное поле при нестационарном режиме теплообмена можно найти на основе аналитического решения задачи. Рассмотрим расчетные зависимости, полученные аналитическим методом, на примере плоской стенки, размеры которой вдоль осей й и г настолько велики, что теплообменом с торцов можно пренебречь. Будем считать условия теплообмена с обеих поверхностей одинаковыми (Г = сопз1 и сс = сопз1).
Тогда температурное поле будет симметричным относительно середины стенки, поэтому ее толшину удобно обозначить через 2б (рис. 4.3). В приложении к одномерной задаче о плоской стенке с учетом принятых ранее обозначений для избыточных температур дифференциальное уравнение (4.1) сводится к виду или 1 дт 1,*Х а Т дт Я дх' (4.18) где й' — постоянная разделения переменных. Из выражения (4.13) получается два дифференциальных уравнения: — + а'р'Т = О; Дт (4.14) — +б Х=О, 3 дх' (4.15) решения которых известны 7 — Ае — азм (4.16) (4.17) Х = В соз рх+ С з(п 'рх.
Эти формулы с учетом (4.12) позволяют записать 0 = Се — 'а" соз бх. (4.19) Значение постоянной разделения переменных найдем из граничного условия. Из выражения (4.19) при х = :Е 6 легко найти — ) = ~Сне — 'з" з!пбб; (-)— да дх) щ (4. 20) 0„= Се-'а" соз 66.
(4.21) Подставив эти выражения в условие (4.11), получим б з|п рб = — соз 'рб хст или с1нр= —, Р 01 ' (4.22) где р= рб„В(= —. ад Хет Каждому значению числа В1 отвечает бесчисленное множество корней (р,, р„р,...) трансцендентного уравнения (4.22). Это уравнение решается обычно графическим путем (рис. 4.4) и значения р при различных В1 сводятся в таблицу. 0 = (С, соз бх+ С, з(п бх) е — 'з"'. (4.!8) В силу симметрии температурного поля замена х на — х не должна отражаться на значении О.
Это условие выполняется при С, = О и потому решение уравнения (4.18) приводится к виду Каждому значению р соответствует частное решение уравнения (4.(0) в форме (4.19). Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид 0= г Сап " соз —. — к ро Рак и ! 6 (4.23) При записи этого уравнения сделана замеяа апг а орет=а — т=р' — =раГо. 6' 6' Коэффициенты ряда С„определяются из начального условия, подстановка которого в уравнение (4.23) позволяет по- лучить Ф 0' = )' С„соз — "" . (4.24) а ! Умножив обе части этого уравнения на соз — дх и прорех 6 интегрировав все члены полученного равенства в пределах от — 6 до + 6, получиме Ряс. 4.4 ь ь 0' ~ соз — г(х=С, со5 — соз — г(х + Рак г Ргх Рах 6 ',) 6 6 -'ь — ь ь +С ( соз н"а х" соз Р— ''" " хг(х+ ..+С ( соз" — "" с(х+... -ь (4.20) 296 Вычислим отдельные интегралы.
Интеграл, входящий в левую часть уравнения, равен ь СО5 — С(Х =— р„х 26 а!и р„ (4.26) Иа -ь Все интегралы, входящие в правую часть уравнения (4.25), кроме интеграла, содержащею квадрат косинуса, после вычисления ' В курсах математического анааяаадокааывается, что ряд (4.24) равномерно сходящийся, н потому операция почхенного интегрирования правомерна.
оказываются равными нулю. Интеграл, содержащий квадрат коси- нуса, определяется выражением созл"-" — ох= 6 (1+ — з!и 215„~ . ( 6 ~ 5!5л -ь (4,27) Подставив интегралы (4.25) и (4.27) в выражение (4.25), получил! 28~ 51П Нл л Ил+5!и Нл л05 Нл (4.28) С учетом этого выражения формула (4.23), отражающая распределение температуры в пластине, приводится к виду 8 20~ ~л)5~ 5!и Нл.солил* е — нл гл л 5 ил+ 51п Нл'505 Нл (4.29) или льл 5!и Нл'л05 Нл х 5 гл е — нл ил+5!я Нл сл5 Нл (4.30) где х = х/6.
Форма температурного поля, соответствующая уравнению (4.30), показана на рис. 4.3, Использование полученного уравнения на практике связано с необходимостью выполнения трудоемких расчетов. Поэтому с помощью этой формулы построены графики 8=7(Го, В1, х), (4.31) использование которых сводит расчеты к весьма простым операциям. Каждый график построен для х = сопз(. Наиболее широко в справочной литературе распространены графики при х = 0 и х = 1, которые соответственяо характеризуют температуру плоскости симметрии и боковых поверхностей стенки, но имеются также графики при х = 0,2; 0,4; О,б; 0,8 1271.
На рис. 4.5 показана такая зависимость прн х = О. Из рис. 4.5 видно, что при В! ~ 100 температура стенки перестает зависеть от условий теплообмена на границах тела. Это объясняется тем, что при этом тепловое сопротивление внешнего тепло- обмена становится несоизмеримо малым по сравнению с внутренним сопротивлением, и потому температурное поле определяется условиями распространения теплоты внутри тела. Количество полученной или отданной стенкой теплоты также определяется числами Го и В1.
Обозначим через Я' количество потерянной (или полученной) теплоты при т-л ол (когда температуры тела и среды выравниваются), а через 9, теплоту, отданную по 297 ' истечении време~ и т. Гогда для стенки с плотностью материала р и теплоеьи остью с можно записать: Я' = 26рс ((' — Гг) = 26рсй', Д,=26рс(1' — ( )= 26ра(й' — 0„), где 1 — средняя температура стенки по истечении периода вре- мени Поделив почленно второе равенство на первое, получим — =) — — =1 — й ц' о График этой функции имеется в справочной литературе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
