Термодинамика и теплопередача Болгарский А.В. Мухачев Г.А. Щукин В.К. (1013761), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Математическую формулировку частных особенностей явления называют краевыми условиями или условиями однозначности. Различают четыре вида условий однозначности: геометрические, физические, граничные и временные. Г е о м е т р и ч е с к и е у с л о в и я отражают форму и размеры тел или их поверхностей, участвующих в теплообмене. Ф и з и ч е с к и е у с л о в и я характеризуют физические свойства участвующих в теплообмеие тел. Г р а н и ч н ы е у с л о в и и определяют особенности протекания явлений иа границах изучаемой системы. В р е и е н н ы е у ел о в и я определяют начальное состояние системы и изменение граничных условий во времени. Временные условия задаются только при нестационарном режиме теплообмена.
Математическая формулировка задачи теплопроводности включает дифференциальное уравнение энергии для неподвижного тела (ш„= иь, = ш, = О). В этом случае геометрические условия однозначности определяют форму и размеры тела, участвуюшего в процессе, а физические условия — коэффициенты его теплопроводности и гемпературопроводности. Граничные условия для этой задачи могут быть заданы в трех различных вариантах. Гр ничньм условия лервого рода состоят в задании температуры иа поверхностях тела, участвующего в теплообмсне, и ее изменения во времени.
Граничные условия второго рода состоят в задании распределения плотности теплового потока на поверхностях тела и ее изменения во времени. Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры сред, омывающих поверхности тела, и условий теплообмена между средами и поверхностями (коэффициенты теплообмеиа) Система уравнений, описывающая явление теплоотдачи, включает дифференциальные уравнения энергии (для теплоносителя), теплоотдачи, массообмена, движения и сплошности. Для процессов, в которых перенос вещества имеет второстепенное значение, уравнение массообмена не рассматривается. Геометрические условия однозначности для процесса теплоотдачи отражают форму и размеры поверхности соприкосновения теплоносителя с телом, физические условия — свойства теплоносителя (теплопроводность, вязкость и др.).
Граничные условия описывают распределение скоростей, температур и концентраций на границах изучаемой системы. й 6. Основы теории подобия физических явлений Т е о р и я п о д о б и я — это учение о подобных явлениях. В приложении к физическим явлениям теория подобия применяется по двум направлениям: как средство обобшения результатов физического и математического эксперимента и как теоретическая основа для моделирования технических устройств. Таким образом, теория подобия позволяет на основании отдельных опытов или численных расчетов получить обобшенную зависимость и открывает возможность изучения рабочих процессов технических устройств на моделях. Термин «подобие» заимствован из геометрии, где изучается подобие геометрических фигур.
У подобных фигур пропорциональны сходственные линейные элементы (длииы сторон треугольника, граней призмы и т. п.). Так, из условия подобия двух геометрических фигур, изображенных на рис. 2.2, можно записать г» г» 1« г( ~2 г» г( где С, — константа геометрического подобия. Для реализации подобия физических явлений необходима пропорциональность не только геометрических элементов систем, в которых протекают явления, но и других физических харак»г теристнк, определяющих эти явления (скоростей, температур, Сг» плотностей и т.
п.). г,' с," $ Введем понятия одноимен- ных величин, сходственных то/", чек и сходственных моментов времени, которые используются Рис, 22 при изучении подобных явлений. Одноименными называются величины, имеющие одинаковый физический смысл и одинаковую размерность. Сходственными называются такие точки систем, координаты которых удовлетворяют геометрическому подобию. Сходственные момент»я времени наступают по истечении периодов времени т' и т", имеющих общее начало отсчета и связанных между собой константой подобия по времени С,: «" — =С,. т' Подобными называются физические явления, протекающие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа.
Эти постоянные числа называются константами подобия. Так, явление теплоотдачи определяется распределением температур в системе, скоростью движения теплоносителя, его физическими свойствами, формой и размерами поверхности теплообмена. Следовательно, для подобия двух явлений теплоотдачи необходимо выполнить условия; Следует заметить, что подобными могут быть только явления одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналитическими зависимостями. Так, формулы для плотности теплового потока при теплопроводности (закон Фурье) н для плотности массового потока при молекулярной диффузии (закон Фика) имеют одинаковую структуру. Ио явления теплопроводности и диффузии качественно различны и потому не могут быть подобными Явления, описываемые одинаковыми уравнениями (или системой уравнений), но имеющие различную физическую природу, называются аналссгичныли. Параметры, определяющие физическое явление, связаны между собой, поэтому и константы подобия также взаимосвязаны, Связь между параметрами, определяющими физическое явление, выражается одним или несколькими уравнениями, отражающими закономерности протекания процесса.
Эти уравнения могут быть использованы для выявления связи между константами подобия. Воспользуемся дифференциальным уравнением теплоотдачи (2 22) для выявления связи между константами подобии. Запишехс это уравнение для сходственных точек двух подобных между собой явлений: для первого явления (2.'.)с'1 для второго явления (2. 37) Константы подобия имеют одинаковое значение для параметров и их приращений. С учетом этого обозначим; а" Х" лс' с" »' Са= —,1 Сх= —,1 Сс= —,= —,, 'Сс= —,= —,. (238) Здесь 1 — характерный размер системы.
Из определения констант подобия следует, что а" = С„сх'1 Х" = Сх Хс; ЛС" = Сс Ис; С" = Сс С'1 и" = С, сс'. Подставив эти выражения в равенство (2.37), переставив члены н сократив на С„ получим (2.39) Уравнения (2.36) и (2.39) тождественны, так как они выражают связь между параметрами процесса, обусловленную дифференциальным уравнением теплоотдачи, для одной и той же точки первой системы. Из условия тождественности уравнений следует, что — — -- 1.
(2.40) с, с, вбу Это и есть связь между константами подобия, обусловленная уравнением (2.22). Заменим константы подобия в уравнении (2.40) из (2.88). Тогда уравнение (2.40) можно переписать в виде а'г а" т' х х" (2.41) Следовательно, существуют такие безразмерные соотношения параметров, характеризующих процесс, которые у подобных явлений в сходственных точках имеют численно одинаковые значения.
Эти безразмерные соотношения называются числами лодобия. Число подобия, записанное уравнением (2.41), называется числом Нрсселыпаа и обозначается Хц. Следовательно, равенство (2.4!) можно переписать в виде Хц = — = Ыетаа. Число Нуссельта получено из дифференциального уравнения теплоотдачи методом констант подобия. Числа подобия можно также получить путем приведения уравнения к безразмерному виду.
Число подобия может представлять собой отношение двух величин одинаковой природы (например, отношение длины трубы к ее диаметру). В этом случае оно называется силеллекпом. Произведение чисел подобия и частное от их деления также представляют собой числа подобия. Таким образом, для характеристики подобия явлений можно использовать константы подобия и числа подобия.
Константы подобия сохраняют числовое значение только для двух подобных явлений, цо они остаются одинаковыми для всех сходственных точек рассматриваемых систем. Числа подобия сохраняют свое значение в сходственных точках всех подобных между собой систем, сколько бы их ни было, но в различных точках одной и той же системы числа имеют разные значения. Поэтому константами подобия удобно пользоваться при моделировании технических устройств, когда необходимо получить подобие только между двумя явлениями, а числами подобия — при обработке опытных данных или численных расчетов, когда на основании изучения единичных явлений необходимо получить обобщенную зависимость, пригодную для всех подобных между собой явлений.
Числа подобия получаются из уравнений связи между величинами, характеризующими явление. Если для исследуемого явления таких уравнений нет, то числа подобия можно получить на основе анализа размерностей. Этот метод дает менее надежные результаты. Основу теории подобия физических явлений составляют три теоремы, Лве первых теоремы исходят из факта существования подобия и формулируют основные свойства подобных между собой яв- ' Числя подобия принято называть именами нрупнмх ученых. '* гбеп1 заменяет слова аодно и то же аначениеа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
