Термодинамика и теплопередача Болгарский А.В. Мухачев Г.А. Щукин В.К. (1013761), страница 47
Текст из файла (страница 47)
дх ду дг ! (2.1 2) Дифференциальное уравнение сплошности для несжимаемых жидкостей имеет вид* дых див Жег — х + — + — = О. дх ду дг С учетом этого уравнение (2.12) приводится к виду ' Это уравнение рассмотрено в $ 4 настоннгей главы. 253 дг + дг, дт + дг в + яу (2(З) дт * дх " ду дг рср дат дат даг Л где Чв1 — — + — +; а коэффициент темпедх' дув дгв ср р рат ура проводиости. В общем случае ! = 1(х, у, г, т). Поэтому, используя понятие полной производной, можно записать д1 д~, д! дх д! ду, д! дг — = — + — — + — — + — —. дт дх дх дт ' ду дт дг дт Эту производную называют субстпнциальной и обозначают осои бым символом —.
ж д! д! д! дг — = — + ш — + ю — + гь дт дх дх ду дг (2.14) — =аЧ г+ —. д.г усу В цилиндрической системе коордипат в дифференциальном уравнении (2.15) величина Чг! имеет следующее значение: (2.15) дг ~ ! д~ ! дг ! дг г (2. 16) — — + — -г г + д. ° д» . дз г дг~ При значительном изменении температуры в системе и существенной зависимости Х от температуры упрощающая предпосылка о постоянстве коэффициента теплопроводности может привести к существенной погрешности. При Х = ! (!) выражение (2.9) имеет вид — = !ю„( гьх — + ! — *) — — ~)~ — ). (2.17) дх Я 1 * дх дх ) дх 1 дх Аналогичную форму будут иметь выражения (2.!О) и (2.!1).
В этом случае дифференциальное уравнение (2.15) запишется так: рс„— = — ~). — ) + — (Х вЂ” ) + — (Х вЂ” ) +д, (2.18) Рассмотренные выше аиды дифференциального уравнения энергии пригодны как для ламинарного, так и турбулентного погоков. В последнем случае в уравнения входят мгновенные, или так называемые актуальные, значения температур и скоростей, изменение которых во времени носит пульсационный характер. Дифференциальное уравнение энергии можно также записать с использованием осредненных во времени значений температур и скоростей. Интервал времени для осреднения актуальных параметров турбулентного потока выбирается таким, чтобы осреднеиное значение ие зависело от величины интервала.
При выводе уравнения энергии в осредненных параметрах плотность теплового потока можно оценить с помощью закона Фурье, если коэффициент тепло- 259 Заменив левую часть равенства (2.13) значением из уравнения (214), получим дифференциальное уравнение энергии проводиости Х заменить на сумму Х+ Х„где Х, — коэффициент турбулентного переноса теплоты.
Величина Х, зависит от расстояния до стенки; вблизи от стенки Х,— х О, а вдали — ), может во много раз превышать Х. При использовании осредненных параметров потока уравнение (2.18) приводится к виду Гн д д11 д д~ дт дх дх) ду ~ ду д Г д1 г дх~ дг 1 В этом уравнении под ( и в понимаются осреднеиные на небольших интервалах времени величины температуры и скорости. $2. Дифференциальное уравнение теплоотдачи ~~я) (2.20) Этот же тепловой поток можно определить формулой Ньютона ~й~ = а (1 ~ — ! ) цР = ай бР. Приравнивая правые части равенств (2.20) и (2.21), после перестановки членов уравнения получим д1 т (2.22) Ы 1да) Это и есть д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е т е плоотдачи.
5 3. Дифференциальное уравнение массообмена Дифференциальное уравнение массообмена получается на основе закона сохранения вещества для 1-го компонента газовой смеси и закона Фика. Для неподвижного элементарного параллелепипеда баланс массы компонента газовой смеси позволяет записать ~(01 + '(бх = ~(ба (2.23) Дифференциальное уравнение теплоотдачи выводится на основе анализа явления теплообмена в месте соприкосновения теплоноси.
теля со стенкой. Тепловой ноток через элементарную площадку поверхности твердой стенки цг" можно выразить по закону Фурье через температурный градиент в пристепочном слое жидкости и коэффициент теплопроводности жидкости А: о0,= яд и'» Йт. (2.25) Изменение концентрации Ьго вещества в объеме х()» за время Ж составит — Ит. Поэтому дс~ дт „)г аС~ „ дх (2.26) Подстановка выражений (2.24), (2.25) и (2.26) в уравнение баланса массы (2.23) приводит к уравнению (2. 27) Массовые потоки вещества обусловлены концентрационной диффузией и вынужденным движением смеси.
Так для и,' можно записать Э а» х»з+ к» но»в Использовав закон Фика для диффузионной составляющей массового потока, перепишем это равенство в виде и» = »а» С~ — Рс— дс~ дх Дифференцирование этого уравнения при Рс = сопз( позволяет получить — '= .— +С,— * Р. * дс~ дм» дх С~ (2.28) дх * дх дх дх» 2б! где Ий, — разность между массой компонента, вошедшей и вышедшей из элементарного объема за время пт; йỠ— масса компонента, появившаяся или исчезнувшая в этом объеме за время ~(х в результате действия источников или стоков массы; йбх— изменение массового содержания компонента за время пт в том же объеме.
Для определения йб, используется такая же методика, как для определения й~, з ~ ! настоящей главы, а в результате получается выражение, аналогичное формуле (2.5) Г дд' да" да*, т дб, — — '+ — » + — *) Нг йт, (2.24) ) дх да дх ) где д», д»' и д,' — составляющие плотности потока массы по осям координат. Величина»(бх определяется мощностью внутренних источников вещества пдп измеряемой в кг/ (мх ° сек) Аналогичные формулы получаются для — и —. Подстановка их дуй дух' ду дг' в уравнение (2.27) после несложных преобразований приводит к дифференциальному уравнению массообмена — +ц~х — '+~ау — '+ ~гг ~ =Ос 7'С,+д' . (2.29) Воспользовавшись .понятием субстанциальной производной 0С; дС~ дС; дС; дС; — = — + иl — '+Ы~ — + Ы дт дт " дх ду * дх приведем д и ф фе р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е м а с с оп б м е н а к окончательной форме — =Ос'7 С,+д*. 1Х~ дт Уд (2.
30) При использовании этого уравнения для турбулентного потока в него должны подставляться актуальные значения концентраций и скоростей. Плотность массового потока вещества может быть выражена через градиент осредненной во времени концентрации, но в этом случае в законе Фика коэффициент молекулярной диффузии Ос надо заменить на Ос + Ост, где Ос, — коэффициент турбулентного переноса вещества. В этом случае дифференциальное уравнение массообмена для турбулентного потока приводится к виду — = — ~ ( Ос+ Ос, ) — ' ~+ — ~(Ос+ Ос,) — ~+ 0С, д дС~ 1 дт дх д ~ ду1 ду + — Г(Ос+Ос) — '1+0 .
д Г дС; 1 (2.3) ) дх дх ( Здесь С; и ы — осреднеиные во времени значения концентрации и скорости. 5 4. Дифференциальные уравнения движения и сплошности 2б2 Дифференциальные уравнения энергии и массообмеца содержат скорость среды, участвующей в теплообмене. Поэтому при математическом описании явлений теплообмена приходится использовать гидродинамические уравнения. В классической гидродинамике уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости записывается в форме дифференциального уравнения Навье — Стокса, которое получается на основе второго закона Ньютона.
Выбрав для оси г направление, параллельное массовсй силе Г, для изотермического движения несжимаемой жидкости при постоянном динамическом коэффициенте вязкости (р = сопз() проекции уравнения движения на оси координат можно записать в виде": )Р( „ +, +гн, дмк йех гаях 1 дх ду * дг ) = — — +)гЧ гр др дх +Р ~гаг +гну — +гаев дюа дюя два дх " ду дг др = — — +)ьь шп, ду '"ег дмг дге» +Р ~тнх +вру +таз - ) дк ду ' дг ) + )ь ~ гнг' др дг дкг а) Р—" дт б) р — ' дт (2.32) а) Р— * дт Здесь г" = )Р— массовая сила, отнесенная к единице объема; ) — ускорение, определяющее массовую силу.
Ограничимся случаем, когда массовая сила обусловлена ускорением силы тяжести и, Тогда Е = рр. При отсутствии вынужденного движения градиейт давления вдоль оси г определяется плотностью основной массы жидкости р,: = й'Ро др др ЮР =ЯР— ЫРа = ЫРРод дг (2.33) Здесь М вЂ” разность температур, определяющая величину подьемной силы. Коэффициент объемного расширения записывается формулой () Ре Р раг Кроме того, при свободном движении жидкости др др — = — =О, дх ду При описании турбулентных потоков в этих уравнениях яспользу~отся актуальные значения скоростей и давления.
263 Поэтому при свободном движении два первых члена правой части уравнения (2.32, в) запишутся так Для турбулентного течения несжимаемой жидкости проекции уравнения движения на оси координат можно записать через параметры осредненного движения: двг / дв„ двх двг Х Р ' +Р ~св» * +сву * +свг дс с " дх " ду ' дг — + РЧ' „-с- Х, дх двс ' дву Ввг дву Р—,-+Р ~свг ' +исг +со» дс ) Лх ду ' дг = — — +рЧ сэу+)х, ду ду дв, Г двг дв, дв, ~ Р— — +Р~'~~г — +вг — +ш, — ) = дс (, ' дх ду ' дг ) = Р— ~ + )сЧ'сох+ 2.
ду (2.34) Здесь р и сс — осредненные во времени значения давления и скорости, а члены Х, У и 2 отражают потерю энергии в результате переноса количества движения объемами жидкости, перемещающимися в результате турбулентных пульсаций скорости. Для стационарного двумерного параллельного оси х потока, в котором —,* с(; —,, два последних члена уравнения (2.34) для оси х приводятся к виду „.. +,= ° ((„+„,) д-.1, где Р, — коэффициент турбулентного переноса количества движения.
Закон сохранения массы позволяет получить д и ф ф е р е нциальное уравнение сплошности для несжимаемой жидкости в виде дв дсву дв, — ' + — + — = — О. дх ду дг (2.35) б б. Математическая формулировка задач теплообмеиа и виды краевых условий гб4 Дифференциальные уравнения описывают целый класс физических явлений одинаковой природы. Решение дифференциальных уравнений содержит константы интегрирования и потому не является однозначным. Для оценки этих констант необходимо задать частные особенности изучаемого явления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
