Термодинамика и теплопередача Болгарский А.В. Мухачев Г.А. Щукин В.К. (1013761), страница 52
Текст из файла (страница 52)
в 7, Теплопроводиость тел с внутренними источниками теплоты Рассмотрим температурное поле в телах простейшей формы при объемном тепловыделении для случаев, когда внутренние источники теплоты равномерно распределены по всему объему. Задачи такого вида приходится решать при расчете тепловыделяюших элементов атомных реакторов, при нагреве тел токами высокой частоты и в других случаях. Пусть неограниченная плоская стенка толшиной 26 имеет объемное тепловыделение с мощностью внутренних источников теплоты дг и одинаковые температуры на поверхностях г (рис. 3.[0).
Коэффициент теплопроводности, одинаковый для всей стенки, Х. При стационарном режиме теплообмена дифференциальное уравнение энергии (2.[5) запишется для этого случая выражением — + — =О. (3.40) дхэ 284 Первое и второе интегрирования этого уравнения дают: д~ — = — — к+С, ах Л (3.4 !) х' 1= — — — +С к+Сх. Х 2 (3.42) Если начало координат размещено на оси симметрии стенки, то в силу одинаковости условий теплосъема с обеих сторон стенки температурная линия имеет в начале коорд~ динат максимум и, следовательно, — = О.
Их Из формулы (3.41) видно, что пр к = О й и — = О первая константа интегрироваИх ния также обращается в нуль. Так как при х=-)-б 1=1, то из формулы (3.42) получается дн 6' С,= + х 2 Рас. 330 Подстановка значения С, в формулу (3.42) приводит к следующему выражению, определяющему температурное поле плоской стенки с объемным тепловыделением: 1=1 + —" (бх — к'). (3.43) Температурное поле изображено на рис. 3.1О. Максимальная температура на оси симметрии стенки может быть подсчитана по формуле (3.44) которая получается из формулы (3.43) при к = О. Плотность теплового потока на наружных поверхностях стенки определяется мощностью внутренних источников теплоты сн б' (3.45) Оценим теперь температурное поле в круглом стержне радиусом г, и неограниченной длины при объемном тепловыделении (рис.
3.11). Коэффициент теплопроводности также будем считать постоянным. Согласно закону Фурье через изотермнческую поверхность радиусом г пройдет тепловой поток д~ — — — Х вЂ” 2пг. Й (3.4б) аг Величина этого теплового потока определится мошностью внутренних источников д Ц = 4„, Яг'.
(3.47) Подставив выражение (3,47) в (3,4б) и разделив переменные, по- лучим Чк и( = — — г Йг. гх После интегрирования этого равенства найдем г= — — г +С. 4 4Х (3.48) Так как при г = г, Г = г„„то из выра. жения (3.48) получается С=Е + — гэ. 'Ь ю 4Х 0 (3.49) Подстановка формулы (3.49) в выражение (3.48) лает окончательное выражение для температурного поля и . зл~ Форма температурного поля показана на рис. 3.11, Максимальная температура на оси стержня (при г = 0); 4Л (3.
51) Тепловой поток через боковую поверхность стержня равен Чс = лгал 2 (3.52) й 8, Теплопроводность плоской стенки при двумерном температурном поле 286 Рассмотренные выше задачи теплопроводности имеют достаточно простые решения потому, что все они сформулированы для одномерного температурного поля. На практике встречаются задачи и с более сложными краевыми условиями, когда температурное поле становится двумерным или даже трехмерным. Рассмотрим в качестве примера теплопроводность пластины прн двумерном температурном поле (рис, 3.!2). Двумерность температур.
ного поля в пластине имеет место при теплоизоляции торцов пластины, перпендикулярных оси г, и однородности условий тепло- обмена вдоль этой оси. При отсутствии внутренних источников теплоты и 1 = сопз1 дифференциальное уравнение энергии (2.!5) приводится для этой задачи к виду дч дос — + — =О, дк' дуо (3.53) х=( (3.541 д=О д=6 Введем новую переменную Т = 1 — 1,, Тогда уравнение (3.53) и граничные условия перепишутся в виде: — + — = О; (3.55) дко дуо х=О х=Е (3.56) д = О д = 6 Ркс. 3.12 Решим уравнение Лапласа (3,55) методом разделения переменных, Зададим решение уравнения в виде произведения двух функций Х=Х(х) и У=У(д) Т= ХУ. (3.57) Продифференцировав это уравнение, получим дТ дХ д'Т доХ д'Т доУ вЂ” ==У вЂ”, — =У вЂ” и — = Х— дк дк ' дк' дко ду* ду' Подстановка этих выражений в (3.55) приводит к уравнению доХ доУ У вЂ” +Х вЂ” =О, дк' ду' или 1 доХ 1 доУ (3,58) Х дк У дуо Это равенство возможно только в том случае, когда его правая и левая части порознь равны постоянной величине.
гат Рассмотрим температурное условиях: х=О Т=О, Т=О, Т=О, Т = / (х) — 1 = г" (х). поле при простейших граничных 1 = 1о 1 — го 1=!,, 1=)(х) Обозначим постоянную разделения переменных через рз. Тогда из уравнения (3.58) получается: Л»Х вЂ” + рэХ-О, Дх» (3.59) — — „У=о. Лэу дрэ (3.60) Решения этих уравнений известны; Х=С,соз)»х+Сэз(п рх, 'г' — С ек» 1 С е — э» Следовательно, в соответствии с выражением (3.57) общее решение имеет вид Т=(С„сов рх+С з!прх) (С ак»+С я-к»), (3,61) »я ая I » — »'1 Т= ~~~ С„~е — е ) з!п — х= г лп »=1 ! =2 ~ С„з(ч — у яп — х, ля .
лв и 0 ! (3.62) где гиперболический синус равен пя -» лк е — а 8Ь вЂ” у= ! 2 эя — — я ! (3.63) * Решение, соответствующее я=о, язляется тривиальным, так как з этом случае при любых значениях аргумента» О. Поэтому оно исключено нз рассмотрения. 288 Константы интегрирования, входящие в это уравнение, определяются на основе граничных условий (3.56). Условие Т = О прн у = О выполняется при С, = — С,, Чтобы при х = О выполнялось равенство Т = О, необходимо иметь С, = О. Условие Т = О при х = 1 требует, чтобы р = —, где а = 1, 2, 3...'.
С учетом найден. иых констант интегрирования на основании уравнения (3.61) можно записать бесконечное число частных решений уравнения (3.55), Общее решение этого уравнения может быть записано как сумма частных решений Последнее граничное условие используется для определения константы С„. Подставив его в уравнение (3.62), получим Р(х) 2 ~~ С„зЬ вЂ” "ба)п"— х= л ! (3.64) где А„= 2С„з)! — 6. (3.66) Выражение (3.64) представляет собой разложение функции Е(х) в ряд Фурье по синусам (предполагается, что такое разложение возможно). Коэффициенты этого разложения определякт!ся известной формулой А„= — ( г"(х) з1п ~~ х!!х.
(3.66) Сопоставляя выражения (3.65) и (3.66), найдем С = Г а — аи ! г (х) з1 п — х !(х. 1зь — б ! (3.67) С! учетом этого равенства выражение (3.62), определяющее температурное палев рассматриваемой задаче, приводится и окончательному виду: аи зь — у 2 чь Ч ! . аи Г . пи 7 = — ~ — 5!п — х р(х) 3!п — х !(х. Д~ аи зь — в а ! (3.68) — =О, !т! дх д! — =О, дх 1= а(х), 1= ((х). х О х=! (3.69) !о зак зз Рассмотрим теперь ту же задачу при более сложных граничных условиях: предположим, что два торца пластины теплоизолированы, а две остальные поверхности характеризуются произвольным распределением температур, т.
е. Решение дифференциального уравнения в этой задаче остается прежним (переменную 1 здесь удобно оставить без замены) 1= (С, соз )4х+ Сл з!п рх) (С еле+ С4 е-Яе). (3.70) Следовательно„ вЂ” = р (С, соз рх — С, з)п 14х) (С, еле+ С4е-ле). (3.71) д! дх Так как при х = О должно быть д1/дх = О, то С, = О; условие д! лл — = О при х = 1 удовлетворяется при р = —,, где п = О, 1, 2, 3, (здесь п = О не приводит к тривиальному решени!о). Общее решение представим как сумму частных решений 1=1.+ 2) 1.. л 1 (3.
72) С учетом найденных выше констант интегрирования в ~.= л (А..-.~.В.,=)...,. л ! л 11, (3. 73) При л = О из уравнений (3.59) и (3.60) следует, что Хо = Рх + Е и )'о = бу + Н Следовательно, 14- ХлУ4 = (Рх+ Е)(Оу+ Н). (3.74) Чтобы величина д1/дх, определенная по формуле (3.72), при х = О превращалась в нуль, необходимо условие 14 чь !р (х). Поэтому Р = О и уравнение (3.74) можно переписать в виде 14 Аоу+ Вл (3.75) Подставив выражения (3.73) и (3.75) в уравнение (3.72), получим ! = Ал у+ Во+ Х (Ал еил+ В„е — ле) соз рх. (3.76) л з(х)лл В,+ ~, (Ал-(-В„)сов~ х.
(3.77) л лл 4 —,41 1(х)=А„6+Вл+ ~~~, ~ Але' +В„е ' ~соз — х. (3.73) л=! 290 Согласуем это решение с двумя оставшимися граничными уело. виями. Подстановка этих условий в (3.76) с учетом формулы для р приводит к выражениям: Сравнивая эти выражения с формулами разложения функций в ряд Фурье по косинусам, найдем: ( )а( ! Г ! а Аа+Вл = — ~ а(х)соз — а(х; 2 Г ая ! а ! А, б + В, =- — ( ~ (х) с(х; ! пл ла ( — а 2 А„е' +В„е ' = — ) г(х)соз"— "-а(х.
а ! Зги четыре уравнения позволяют вычислить коэффициенты А „ В„А„и В,. Найденное таким образом распределение температур позволяет определить тепловые потоки, проходящие через поверхности рассматриваемой пластины или через элементы этих поверхностей. Так местная плотность теплового потока к нижней горизонтальной поверхности пластины (рис. ЗА2) определяется формулой ,7„= — Х ( — ) = Ф(х), !д1т (3.79) ду у а в которой температурный градиент вычисляется с помощью уравнений (3.7б) или (3.68).
Тепловой поток через нижнюю поверхность Я= й ~ Ф(х)а(х, (3.80) а где Ь вЂ” ширина пластины. ГЛАНА !Ч теплопноводность пнн нестлционАРном Режиме Нестационарные режимы теплообмена так же широко распространены в технике, как и стационарные. Из технических задач, требующих расчетной оценки нестационарных режимов теплообмена, в качестве примеров можно назвать: определение температурного состояния стенок ракетного двигателя твердого топлива за период его работы для оценки их надежности', определение температуры ракетного аппарата при входе его в плотные слои атмосферь: с той же целью; определение времени прогрева деталей до заданной температуры прн термообработке, которое необходимо для наладки технологического процесса. 22! !о* й 1.
Условия подобия температурных полей при нестационариой теплопроводности При оценке нестационарного режима теплообмена цель расчета состоит в определении температурного состоянии тела и количества полученной или отданной телом теплоты по истечении определенного периода времени. Зависимость температуры не только от координат, но и от времени затрудняет графическое изображение даже одномерного температурного поля. На рис. 4.1 изображено температурное поле для двух точек нагреваемого тела, которое перед нагревом имело однородное температурное поле. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
