Термодинамика Бурдаков В.П., Дзюбенко Б.В., Меснянкин С.Ю., Михайлова Т.В. (1013734), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Согласно свойству полного дифференциала вторая смешанная производная от функции не зависит от порядка дифференцирования. Применительно к внутренней энергии (уравнение 5.35) можно записать Глава б. Объединенные выражен не для первого н второго законов термодинамики или (5.49) а а ~(3Т), (5.50) или (5. 51) Уравнения (5.45), (5.47), (5.49) и (5.51) получили наименование дифференциальных соотношений взаимности или соотношений Максвелла. Приведенные соотношения широко используются в термодинамических преобразованиях, и в частности для нахождения связи между теплоемкостями реальных газов и при определении местной скорости звука.
С их помощью можно выразить одни макроскопические свойства системы через другие, а также использовать экспериментальные исследования одних свойств для выявления других, т. е. можно заменить исследование одного процесса исследованием другого при соответствующих условиях и обеспечить получение одного и того же результата. Необходимо отметить, что известно много термодинамических функций, однако среди них можно выделить основные, через которые наиболее просто выражаются термодинамические параметры.
Пусть известна функция ъг = Г(Я, Ъ'). Задаваясь Я и Ъ; рассчитываем Н по уравнению (5.31). С помощью дифференциальных соотношений (5.43) находим Т и р. Теперь нам известно пять параметров (Ег, Я, Ъ', Т, р), С помощью известных выражений термодинамических потенциалов Н = Р + рР; Р = ьг — ТЯ; ъг = Н вЂ” ТЯ находятся и другие термодинамические параметры системы. Как видим, функция ъг при определенных условиях сопряжения ТС с окружающей средой (заданных 8 и Ъ') полностью характеризует состояние системы, и поэтому она называется характеристической.
Аналогичная ситуация возникает и при задании функций Н, Р, ъ (5.36) — (5.38). 134 5.3, дифференциальные уравнения состояния В соответствии с этим можно сформулировать следующее определение: характеристическими называются термодинамические функции, которые сами по себе, а также их частные производные, в явной степени выражают термодинамические свойства системы. Или более строго: характеристическая функция — зто функция состояния ТС, позволяющая при соответствующем выборе независимых переменных (при определенных условиях сопряжения с окружающей В * средой) выражать через свои производные наиболее просто и в явном виде термодинамические параметры, характеризующие свойства системы. Необходимо еще раз отметить, что функции или потенциалы (5.35) — (5,38) являются характеристическими только при указанных для каждой нз них аргументах.
При других аргументах эти функции характеристическими не являются. Как видно, одни и те же функции (т, Н, Р„ьу могут выступать как в роли термодинамических потенциалов, так и в роли характеристических функций. В первом случае они используются в процессах со сложными системами при воздействии одной силы и фиксированных независимых параметрах, во втором — для простых систем при определенном выборе независимых параметров. 5.3. Дифференциальные уравнения состояния Для различных рабочих тел, будь то идеальный газ, реальный газ, жидкость или твердое тело, существует связь между параметрами состояния видар = Т(Т, Ъ').
Продифференцируем данное выражение бр= ® бТ+ ® (5. 52) (5.53) 135 Если принять условие р = сопев, что справедливо для неподвижного рабочего тела и твердого тела, то соотношение (5. 52) приобретает вид Глава б. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики Откуда следует для р = сопзг (5.54) или (5.55) р; р т Т; Т р Связи частных производных термодинамических параметров справедливы при определенных условиях сопряжения ТС с окружающей средой. При этом в качестве проверки можно убедиться„что все три переменные присутствуют и ни разу не повторяются в числителе, в знаменателе и в подстрочном индексе каждого сомножителя. Каждая термодинамическая характеристика, входящая в уравнение (5.55), имеет свой физический смысл. При расчетах удобнее использовать величины, полученяые делением каждой характеристики на Ъ' или р, а именно: ° коэффициент термического (объемного) расширения (5.56) Э коэффициент термической упругости г р (дТ)„' (5.
57) ° коэффициент изотермической сжимаемости 136 Уравнение (5.55) получило наименование дифференциального уравнения состояния, а входящие в него частные производные — термодинамические характеристики рабочего тела. Общий вид уравнения (5.55) легко запомнить, если обратить внимание на то, как оно построено. Следует обращать внимание на чередование термодинамических параметров функция — аргумент — фиксированный параметр, т. е. 5.3. дифференциальные уравнения состояния Знак «минус» в выражении (5.58) вводится для того, чтобы обеспечить положительное значение ~)т, так как при сжатии сП" < О.
Подстановка выражений (5.56) — (5.58) в уравнение (5.55) показывает, что все коэффициенты связаны между собой соот- ношением у т0 тР ' По аналогии с выражением (5.58) вводится понятие коэффициента адиабатной сжимаемости (5.59) (5.60) Для практических расчетов удобнее использовать производные от логарифмических параметров. Из математики известно, что для любой величины справедливы соотношения — с1х = с( ()п х), и с)х = хс( (1п х). 1 х (5.61) Переписав (5.61) — (5.63) в виде (5,62) У Т(31в Т) (5.63) Р(31пР~, (5.64) получаем также ссТ = 'ргрууТ.
(5.65) Это соотношение удобно тем, что парные произведения пТ, 'р р, у Т безразмерны. С использованием соотношения (5.61) можно получить дифференциальную форму записи уравнения состояния: 137 Необходимо отметить, что в уравнениях (5.55) и (5.66) вместо трех введенных параметров состояния р, и, Т можно включить набор из трех любых термодинамических параметров состояния. Глава 5. Обведи пенные вырвкения для первого и второго законов термодинамики 5.4. Соотношения между изобарной и изохорной теплоемкостями Ранее было показано, что основными параметрами простой термодинамической системы являются р, Ъ", Т, но из них только два являются независимыми для однородных тел, какими считаются газы и перегретые пары. Поэтому любая пара из них— р и Т, Ъ'и Т, Т ир — определяет все остальные параметры.
Если выбрать в качестве независимых параметров т'и Т, то для функции состояния энтропии можно записать В = 8(к", Т). (5.67) Полный дифференциал (5.68) (5.69) Домножим каждую составляющую последнего уравнения наТ: (5.70) Поскольку Т оЯ = бек, а истинная теплоемкость фиксиро- ГИ'1 ванного процесса С = ( — ~, запишем выражение для изо(бт)„' ' барной теплоемкости с =с +т(М) (аат) (5. 71) С учетом того что энтропия является энергетической величиной и неудобна для расчетов, так как измерить ее невозможно, воспользуемся соотношением Максвелла (5.49) и выполним замену (а) ), (ат), 138 Разделив приведенное выражение на ЙТ и положив р = соне(, получим 5.4. Соотношения между изобарной и изокорной теппоемкоотями Тогда получим (5.72) С помощью дифференциального уравнения состояния (5.55) заменим произведение по зкстенсивному параметру к' (5.78) и перепишем уравнение (5. 72) в виде С =С вЂ” Т (ат), (а,), (5.
74) Поскольку для практических расчетов удобнее использовать производные от логарифмических параметров (5.61), выполним замену (5. 75) (5.76) Подставляя (5. 75) и (5.76) в (5.74), будем иметь рт (а1а т) т (а1пт ) ' (5. 77) Пользуясь определением термических козффициентов (5.56) — (5.58), можно получить еще одно выражение для нахождения соотношений между С и С„,: Ртр Рт (5.78) 139 Для реального газа (см. равд. 1.10) с учетом уравнения состояния рЬ'= зпВТ Глава 5.
Обьединенные выржение длв первого и второго законов термодинамики будем иметь С„= С„+ зпВ - (ат)2 Р ° (5.79) Для идеального газа выполним замену частных производных в выражении (5.74). Для Т = сопев из уравнения состоясовет нияртг= иВТ следует, чтор = 1г, и тогда Для р = сопя( получаем 1г = сопев ° Т и соответственно ( — ),—— д1'1 д Ъ' — ) = — (сове( ° Т) =- сопя( = — . дТ), дТ ' т. Теперь будем иметь 2 (5.80) но ртг= пВТ = тВТ. Следовательно С = С,,+ ггтВ (5.81) С учетом того что прямое измерение С оказывается более простым и надежным, чем измерение С, соотношения (5.74), (5. 78), (5.82) очень часто используются в термодинамике. 5.5.
ДифФеренциальные уравнения внутренней энергии, энтальпии и энтропии Дифференциальные уравнения термодинамики устанавливают связь между различными физическими свойствами веществ, вытекающими из первого и второго законов термодинамики. В случае, когда часть параметров оказывается известной, остальные параметры могут быть определены интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений.
140 или, поделив на массу, получим уже знакомое уравнение Майера с — с„= В. (5.82) 5.5, Дифференциальные уравнения внутренней энергии, энтальпии и энтропии и=и(о, Т), а полный дифференциал удельной внутренней энергии опре- делится как (5.83) Частные производные, входящие в это выражение, можно найти через термодинамические параметры и их производные. По определению (З.о) удельная изохорная теплоемкость (о.84) Объединенное выражение первого и второго законов термодинамики для простой системы и обратимых процессов (5.31) при Т = сопИ имеет внд (5.
85) т)пт = Т т)зт Р т)от откуда ~'— '") =т® -р (5.86) или с учетом соотношения Максвелла (5.49) (~ — ") =Т® -р. (5.87) В данном выражении явно показана зависимость удельной внутренней энергии от свойств вещества, при этом следует помнить, что ~ —, ) характеризует термическую упругость вегдрт щества (5. 57). Особенно важным является нахождение частных производных от внутренней энергии ввиду того, что все дальнейшие уравнения и формулы получаются как прямые следствия частных производных внутренней энергии, Учитывая, что значение внутренней энергии определяется движением частиц и связями между ними, важнейшими параметрами, определяющими внутреннюю энергию, будет любая пара параметров— и, Т;р, Т;р,и. При выборе в качестве независимых параметров и и Т можно записать Глава б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
