Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Б. Сквайра [тес), поскольку он особенно прост и непосредственно связан с приближенным методом Польгаузена для расчета динамического пограничного слоя (глава Х). Для того чтобы вычислить интеграл в левой части уравнения (12.91), введем безразмерные ординаты — для динамического пограничного слоя, у б Чт= — для температурного пограничного слоя у бт и примем, что распределение скоростей и распределение температуры аппро- ксимируются следующими полиномами: и = Г/(х) (2т) — 2т)'+ т)') = Н (х) г" (т)), (12.92а) Т вЂ” Т = (Тю — Т ) (1 — 2т)т+2т)т — Чт) =(Тм — Т-) Ь(Чт) (12 92б) — [бтГ/Н (Л)[ = 2— (12.93) где Н (Л) есть универсальная функция от Л = бт/б„равная Ю Н= ~ У(Ч) Т(ЧТ) бЧТ. е (12.94» т) Не смешивать с уравнением (8.38). Полипом (12.92а) совпадает с полиномом (10.23), примененным в приближенном способе Польгаузена для расчета динамического пограничного слоя на пластине.
Полинам для распределения температуры подобран так, чтобы при бт — — б профиль скоростей и профиль температуры совпадали, как это имеет место при обтекании пластины при числе Прандтля Рг = 1 [см. соотношение (12.64)). Подставим выражения (12.92а) и (12.92б) в левую часть уравнения (12.91) и введем для сокращения записи обозначение Л = бт/б. Выполнив интегрирование, мы получим 291 вынужденное конвективное течение 1 71 Выполнив квадратуру, мы найдем 2 Л 3 Лб+ 1 15 140 180 3 3 1 2 1 3 1 1 1 н(л)= — — — — + — — — — — + —— 10 10 Л 15 Лх 140 Лб 180 Лб при Л(1, при Л) 1.
Некоторые значения функции Н (Л), вычисленные В. Динеманом (в), даны в таблице 12.4. Таблица 12.4. Значения функции ц (Л) 0,9 1,0 1,2 1,4 0,8 0,7 0,1492 0,0980 0,1175 0,1345 0,0873 Проинтегрировав уравнение (12.93), мы получим х (бтЮН)а=4а ') 5гНг(х. (12.95) о Применив формулу (10.37) н учтя, что на основании формулы (10.24) г) 6Юб = 315!37, мы найдем толщину 6 динамического пограничного слоя: х 6'=34 о,о ) У~г(х.
(12.96) =о Разделив равенство (12.95) на равенство (12.96), мы получим 77 г)иНа ЛаН(Л) = — ' —,' И (5гбдх о Так как Н (Л) известно нз таблицы 12.4, то уравнение (12.97) позволяет определить Л (х). Вычисление лучше всего вести способом последовательных приближений, причем в качестве первого приближения ваять Л = = сопз1. Это дает (12.97) х Г7 ) Ггдх л н(л)= —— 4 1 о 34 Рг (12.97а) 77б дх о Вычислив отсюда Н и подставив найденное значение в правую часть уравнения (12.97), мы сумеем определить более точное значение Л.
Обычно вполне достаточно двух итераций. Для местного потока тепла получаем д(х) = — Х1 — ) =2(҄— Т ) —; г дТ аиду о Ьт' следовательно, местное число Нуссельта, составленное для длины б', равно д (х) о)ц*= Т Т Т=2 5 (12. 96) г) Для простоты мы будем всюду предполагать, по рассматривается дииамическив пограничный слой ка пластине, для которого й = О. 19».
292 темпеРАТУРные погРАничные слОи В лАминАРнОм течении [Гл, хп Таким образом, расчет температурного пограничного слоя н, в частности, определение местного числа Нуссельта вдоль заданного тела производится следующим образом: 1) из уравнений (12.97) и (12.97а) определяется А (х); 2) из уравнения (12.96) определяется 6 (з); 3) по известным А (х) и б (х) определяется бт (х), после чего по формуле (12.98) вычисляется местное число Нуссельта. Пластина, обтекаемая в продольном направл е н и и.
Применим изложенное приближенное решение к продольно обтекаемой плоской пластине и сравним его с точным решением. Для продольного обтекания плоской пластины О' (х) = О', и из уравнения (12.97) следует Приближенным решением этого уравнения, отличающимся от точного решения не более чем на 5%, является А = Рг Мз. Из уравнения (12.96) находим толщину пограничного слоя 6 = 5,83 7/ — ". [[ Зная А и 6, определяем по формуле (12.98) местное число Нуссельта, состав- ленное для текущей длины х пластины: Мах — — 0,343Ргьа Р' йе„.
(12.99) Точное решение, получаемое из уравнения (12.97а), вместо численного множителя 0,343 имеет множитель 0,332. Кроме только что изложенного способа расчета температурного пограничного слоя предложены многие другие приближенные способы. Упомянем, например, о способах Э. Эккерта Р'1, Э. Эккерта и Дж.
Н. Б. Ливингуда Рз зЧ, В. Динемана Р), Г. И. Мерка Р'), Марии Скопец РЧ, а также А. Г. Смита и Д. Б. Сполдннга Рз). В этих способах, в противоположность способу Г. Б. Сквайра, используются результаты подобных решений, полученные в предыдущем пункте настоящего параграфа для обтекания клина. Зто улучшает точность расчета. В работе Д. Б. Сполдинга и В. М. Пэна Рэ] дан критический обзор различных приближенных способов и, в частности, сравнена их точность с точным решением Н. Фрбсслинга для круглого цилиндра. По-видимому, из простых способов наиболее точны способы Г.
И. Мерка РЧ и Смита — Сполдинга РЧ. В последней работе показано, что при числе Прандтля Рг = 0,7 для подобных решений, получаемых при обтекании клина, с хорошим приближением соблюдается следующее соотношение: Е (б') А2 = 46,72 — 2,87 — т — . (12.100) При р = 0 (пластина) и р = 1 (критическая точка) это соотношение выполняется точно. Если предположить, что соотношение (12.100) имеет вполне общий характер, то сразу получается простая квадратурная формула для определения толщины Ьт температурного пограничного слоя: хя ( — — ~) — = ' ~ ( ) ' [( ( — ) (Рг=0,7), (12.Ю1) [[„' о где с[ и 1 суть постоянные величины, характерные для рассматриваемой задачи.
Эта формула соответствует квадратурной формуле (Ю.37) А. Вальца 293 вынужденное кониективное течение для толщины потери импульса. Вычислив по формуле (12.101) бт, можно определить местное число Нуссельта по-прежнему по формуле (12.98). В критической точке имеет место соотношение (12 102) '(й 1( (Х) = и»Х»» (расчет динамического пограничного слоя для такого распределения ско- ростей внешнего течения был выполнен Д. Р. Хартри, см. з 1 главы )Х).
Температурный пограничный слой, возникающий при обтекании клина, исследован также в работе А. Н. Тиффорда [гн). 4. Температурные пограничные слои на телах с любым распределением температу- ры. Выше, за исключением и. 2, в котором были рассмотрены подобные решения при обте- кании клина, предполагалось, что разность температур между телом и внешним течением, вызывающая поток тепла, постоянна. Расчет температурного пограничного слоя и тепло- передачи при переменной вдоль стенкв температуре Тм (з), конечно, зна- г~оноаа %нана«ееного чительно труднее, особенно потому, (((х1 === оаг(гоно«нага алая что теперь местный поток тепла зависит не только от местной разности Т граю температур Т (х) — Т„, но также, и притом весьма сильно, от«предварвтельвой исторви» пограничного слоя.
5 — — — -х аа юенлешогуянагалоела оюалг елея Распространение способа расчета, основанного на разложевив в ряд Блазиуса,на произвольные распределения температуры на стенке, было выполнено К. Р. Гухой и К. С. Иихом Ри), а также Н. Фресслингом [»"). Соответствующее обоб- щеиие способа расчета, использую- Рзс. 12.1в. Раз»итие дивзиич«ского и температурного щего ряд Гертлера, было сделано пограничных слое» при скзчксоврззвсм взи«в»сии теи- Э. М. С а о [»«) Г. А. Хассаном пер»туры стевин з точке з = з«(стандартная задача).
[41). Частный случай, когда профили скоростей в пограничном слое аппроксимируются степенной функцией, а температура на стенке — степенным рядом, исследован Д. Р. Дейвисом и Д. Э. Бурном[1). Приближенные способы для расчета температурного пограничного слоя при переменной температуре стенки были предложены Д. Р.
Чепменом и М. В. Рубезиным ['], И. Клейном и М. Трибусом [»1), П. Л. Доноугом и Дж. Н. Б. Ливингудом [»), М. Дж. Лайтхиллом ["), Г. Шу [з'), Г. С. Амброком [Ч, Д. Б. Сполдингом ['4), Э. Эккертом, Дж. П. Хартветтом и Р. Биркебаком [»«), Б. Ле-Фюром [4'], [4') и Г. Шлихтингом ["]. Весьма упрощенные способы расчета как для плоского, так и для осесимметричного случая даны в работах Х. Дж. Аллена и Б. К. Лука [1] и Э. Эккерта и В.
Вайзе [1»]. Расчет распределения температуры в пограничном слое с учетом тепла, возникающего вследствие трения и сжатия, выполнен Э. Эккертом и О. Древитцем [14]. В общем случае при течении газа количество тепла, возникающего вследствие сжатия, по своей величине одного порядка с количеством тепла, возникающим вследствие трения. Поэтому дифференциальное уравнение для распределения температуры уже нельзя привести к уравнению первого порядка, как это было возможно при обтекании плоской пластины.
Это обстоятельство значительно затрудняет вычисления. В частности, Э. Эккерт н О. Древитц провели расчет температурного пограничного слоя для случая обтекания клина, когда распределение скоростей потенциального течения определяется уравнением 294 темпиРАтуРныи пОГРАничныи слОи В лАминАРном ткчении (Гл хп Т(х, у,хс) — Т, Тв — Т (12.103) то при произвольном распределении температуры Тв (х) иа стенке решением будет Т (х, у) — Т„= ~ 0 (х, у, хе) г[Тв (хе), о (12.104) Совершенно аналогичным образом из распределения потока тепла у(х. хо) = у (х хо) (Тв Т ) стаидартяой задачи (рис. 12.16) получается поток тепла при произвольном распределении температуры Тв (х) на стенке: х у(х)=~ у*(х хс)3Тв( о). (12Л05) о В правые части обоих соотношений (12.104) и (12.105) входят иитегралы Стилтьеса. При непрерывном распределении Тв (х) (х ) О) соотношение (12.104) можно переписать в более простом виде: Т (х, у) — Т„= ~ 0 (х, у, хс) — бхэ.
г)Т (12Л06) "хо о Аналогичным образом можно переписать и соотиошение (12.105). Полученные результаты позволили М. Дж. Лайтхиллу [гг[ получить из соотяошеиия (12.48) следующую формулу для потока тепла яа стенке с распределением температуры Тв (х): х д(х) =0 5384 ( — ) \/то(х) ~ ( ~ [/то (г) вг) ЙТв (хе). (12Л07) о хг Строго говоря, эта формула применима только в предельиом случае Р г — ог. Более хорошее совпадение с точными подобными решениями в области 0 < 3 < 1 получается, как указал М. Дж. Лайтлилл [гг[, если заменить численный множитель 0,5384 ва 0,487.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
