Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 72
Текст из файла (страница 72)
50в) (12.51) где Ф=2(( — ) +( — ) )+( ~~+ оп) 1. Речение Куэтта. Особенно простое точное решение системы (12.50) и (12.51) получается для течения Куитта, т. е. для течения между двумя параллельными плоскими стенками, из которых одна покоится, а другая движется в своей собственной плоскости с постоянной скоростью ГТ) (рнс. 12.5). При отсутствии градиента давления в направлении х гидродинамические уравнения имеют решение и(у)=ТТ,—, ив = О, р=сопз1. р 28 г. шлнхтяпг Ниже,на основании рис. 12.14, будет показано,что зта формула дает хорошее приближение также при средних числах Прандтля.
Для течения в окрестности критической точки соответствующая формула имеет вид йн„= 0,661 )Т)ге„Рг')в (Рг — ос). (12.496) 274 темпеРАтугные пОГРАничные слои В лАминАРнОм течении ггл. хгу Очень простое решение для распределения температуры получается при следующих граничных условиях, определяющих температуру на стенках: Т=Тэ при у=О, Т=Т2 при у=й, (12.52ат или, после замены производной с)ий)у ее выражением П,/й, Згт Ь',2 А — = — )г— суг Ьг Это уравнение имеет следующее решение, удовлетворяющее граничным условиям (12.52а): т — т, у Риг у ~ у Тг — То Ь + 2Ь(тг — Тэ) Ь ( Ь ) Введя обозначение Т, — Т, = (ТгТ)„представим безразмерный параметр РЦ2 Ь (т,— т,) в виде произведения П1 усу Нг ь(т,-т,) ь .,(Ат), Следовательно, этот параметр может быть выражен через число Прандтля и через число Эккерта (см. равенства (12.26)).
Таким образом, в рассматриваемом случае, в котором конвекция тепла отсутствует, температурное поле зависит только от проиаведения РГ ЕО. Если ввести для сокращения записи обозначение у/й = Ч, то окончательно для распределения температуры мы получим уравнение т — т =Ч+ 2 РГ*ЕОЧ (1 — Ч). (12. 53) Мы видим отсюда, что распределение температуры складывается из двух частей: линейной и параболической. Линейная часть соответствует обычному распределению температуры в состоянии покоя жидкости, когда никакого тепла вследствие трения не возникает.
На эту линейную часть налагается параболическое распределение, зависящее от тепла, возникающего вследствие трения при движении жидкости. Распределение температуры для различных значений безразмерного параметра ЕО .Рг изображено на рис.
12.6. Примечательно следующее обстоятельство: если заданная равность температур обеих стенок Т, — Т, ) О, то теплопередача от верхней стенки т. е. при постоянном значении температуры вдоль каждой стенки. Так как для течения Куэтта диссипативная функция равна Ф = (ди/ду)г, то уравнение для распределения температуры принимает вид Рс(и у +Р з ) й( 2+у г )+)2( з ) ' [(12.526) Это уравнение при граничных условиях (12.52а) дает для распределения температуры решение, не зависящее от х. Поскольку и = О, а Т не зависит от х, вся левая часть уравнения (12.526), представляющая перенос тепла посредством конвекции, отпадает.
Следовательно, возникающее при течении поле температур обусловлено только теплопроводностью в поперечном направлении и теплом, образующимся вследствие трения. Отбросив в уравнении (12.526) члены, равные нулю, мы получим Игт 2 И„гг й — = — р луг ( Еу (12.52в) у о1 точныв ркшвния для рхспрвдвлвния твмпврлтуры 275 к жидкости происходит только при условии, что скорость движения Ут верхней стенки остается меньше определенного значения. Скорость движения, при которой теплопередача на верхней стенке меняет свое направление, определяется из условия равенства нулю градиента температуры на верхней стенке. Из уравнения (12.53) следует, что р Ф' при кгте = Т1 — То. Таким образом, если — ч Тс — То или Рг Ес(2, (12.54а) о ' т-'т т-т, то тепло переходит от верхней стенки к жидкости, т. е.
происходит охлаждение верхней стенки; если же ~~' ) Тс — То или Рг Ес )2,(12.54б) Рис. СКЕ. Распределение температуры в течении Куетта яля случая неолинаковой температуры обеих стенок и с учетом тепла, вовяикающего вследствие трения <то — температура нижней стенки, Те — температура верхней стенки). Т() — Т = о ох Ь 'т я ) изображенное на рис. 12.5, б.
Максимальное повышение температуры вследствие возникновения тепла при трении получается в середине между обеими пластинами и равно Т вЂ” Т = — ' игу а 8с. (12. 55) Полученное решение пригодно также для сжимаемой среды при условии, что не учитывается зависимость вязкости от температуры. В этом случае максимальное повышение температуры в середине между обеими пластинами можно представить в следующем безразмерном виде: тт то к 1 р (()) т 8 (12.55а) где Ма = Уг/со есть число Маха, а со — скорость звука, соответствующая температуре Т,. Примечательно, что максимальное повышение температу- ры не зависит от расстояния между обеими пластинами. Это вполне понятно, 18в то тепло переходит от жидкости к верхней стенке, т.
е. происходит нагревание верхней стенки. Рассмотренный пример показывает, что тепло, возникающее вследствие трения, оказывает существенное влияние на охлаждающее действие жидкости, обтекающей стенку. При больших скоростях течения может даже наступить такое состояние, когда более теплая, чем жидкость, стенка будет не охлаждаться, а, наоборот, нагреваться теплом, возникающим в текущей жидкости вследствие трения.
Это явление имеет фундаментальное значение для проблемы охлаждения обтекаемой стенки при большой скорости течения. Мы с ним вновь встретимся ниже, при рассмотрении других случаев температурного пограничного слоя. Если при течении Куэтта обе стенки имеют одинаковую температуру (Те = Т,), то, как это следует иэ уравнения (12.53), возникает симметричное относительно средней оси параболическое распределение температуры 276 темпеРАтугные пОГРАничные слОи В лАминАРном течении 2гл хп так как в данном случае тепло, возникающее вследствие трения, отводится к неподвижной и движущейся стенкам равными долями.
Рассмотренное распределение температуры наблюдается при течении смазочного масла в щели между цапфой и подшипником и играет здесь важную роль. Это течение подробно исследовано Г. Фогельполем (222). При малых размерах щели и большой вязкости смазочного масла такое течение получается ламинарным. Тепло, возникающее в смазочном слое вследствие трения, вызывает значительное нагревание даже при умеренных скоростях движения, как это показывает следующий численный пример. Вязкость смазочного масла при умеренной температуре (примерно при 30' С), согласно таблице 12.1, равна (2 = 0,4 кг/м сек, коэффициент теплопроводности масла равен Л = 0,14 дгк/м сек град. Подставив эти значения в формулу (12.55), мы найдем, что Т,„— Т, = 9' С, при Г/1 = 5 м/сек при Г/, = 10 м/сек Т„Т, = 36'С.', е/2 2 Р21 Т(у) — Т,=р — '(1 — — ) 2Л ( А2/' (12.57) изображенное на рис.
12.5, в. Следовательно, происходит повышение температуры нижней стенки на величину Р е/2 7" (О) То 7е 7о— Температура Т, также называется равновесной температурой стенки (или соответственно пластинчатого термометра). Сравнив формулы (12.58) и (12.55), мы увидим, что максимальное нагревание жидкости в середине канала для случая, когда обе стенки имеют одинаковую температуру, составляет четвертую часть равновесной температуры стенки, т. е.
Те То = 4 (Тт 7'о) (12.59) Выше мы привели критерий (12.54) охлаждения верхней стенки для случая, когда обе стенки имеют разные температуры. Использовав значение равновесной температуры, определяемое формулой (12.58), мы можем сформулировать этот критерий в следующей простой форме: охлаждение Т, Т,~Т,— Т~ ) верхней стенки. (12.60) нагревание ) Следовательно, повышение температуры масла получается столь значительным, что уже нельзя не учитывать зависимость коэффициента вязкости от температуры. Обобщение указанного выше решения на случай переменной вяакости выполнил Р.
Наме (оо!. Распределение скоростей по ширине щели теперь уже не получается линейным. Из уравнения (12.51) можно получить другое важное решение для распределения температуры, если поставить в качестве условия, что все тепло, возникающее вследствие трения, передается только на одну из стенок, на другой же стенке никакой теплопередачи не происходит (теплоизолированная стенка).
Пусть непроницаема для тепла нижняя, т. е. неподвижная стенка, тогда граничными условиями для температуры будут Т= То при у=4, — =0 при у=О. ат (12.56) ЕР При этих граничных условиях уравнение (12.51) дает распределение тем- пературы 2 81 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 277 Распространение этого решения на течение Куэтта с коэффициентом вязкости, зависящим от температуры, дано Г. М. де Гроффом [8Ч, а на течение сжимаемой среды с учетом теплопередачи — К.
Р. Иллингвортом [ааа[ и А. Дж. А. Морганом ["'[. 2. Течение в канале. Другое весьма простое точное решение для распределения температуры получается в случае плоского течения в канале с параллельными стенками (рис. 12.7). Такое течение, согласно Пуазейлю, г=т, имеет параболическое распределение скоростей ~У и (у)=иж (1 — — "2 ); следовательно, уравнение (12.52в) принимает вид яхт 4Риа '" „г 3рг = Аа Рно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
