Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 68
Текст из файла (страница 68)
14а) 2с, где гв есть скорость набегающего на тело потока в бесконечности (рис. 12.2). В частности, повышение температуры в критической точке (лг = О) равно ж, Т,— Т =(бт) '=— 2с, Теззпература То, которую текущая среда принимает при скорости, равной нулю, называется температурой торможения или температурой покоя. Разность (р«Т)ал = То — Т между температурой торможения и температурой набе7бб гающего течения называется повышением бб темперагпуры вследствие адиабатичвского сжатия.
Уравнение (12.14а), которое также мож- Рбр но назвать уравнением Бернулли для сжимаемого течения, выведено в предположении, что движение в потоке обратимо, т. е. энтропия остается постоянной вдоль линии тока. В действительности уравнение (12.14а) имеет более общий характер, чем зто может показаться на первый взгляд; а именно, в оно применимо к любому одномерному течеб нию, например к течению через узкое сопло б (при условии, что отсутствует теплообмен с внешней средой), независимо оттого, остает- 1 ся знтропия постоянной или нет.
Уравне- ббйг Я.67 Л77 бй7 Я7 ние (12.14а) можно рассматривать приблигв Ф/Аз' ЖЕННО КаК ПРаВИЛЬНОЕ тахжЕ ВДОЛЬ ЛИНИИ Рис. Ш.З. Повышение темпера»токтар« г алиазатичссиом сжатии и мратич«сиоз тока стационарного трехмерного течения ). „,чие иаи аоалтта ио с«ритма Пзлмг Для воздуха, удельная теплоемкость кото- ср = Свез «вж) р«в. рого равна ср — — 1,006 кдж!Ег град, повышение температуры вследствие адиабатического сжатия при скорости тече- ния ш = 100 м!сек составляет 100з (стТ)ад~2 1 006.10зии5,0'С. (12 14б) Ш б б График уравнения (12.14) для воздуха изображен на рис.
12.3. Значения удельной теплоемкости ср, коэффициента теплопроводности 7« и некоторых других физических характеристик для воды, ртути, моторного масла и воз- духа даны в таблице 12.1. 9 3 Теория подобия в теплопередаче з) Ср. с уразвеявем' (10) иа стр. 761 книги «Мойегп 1)ете1орешепс 1п Р)п)й 1)упаш)сз. Н16Ь вЂ” Ереей Р1ом» ей!зей Ьу 1,. НочгагЗЬ, С!агепйоп Ргезз, 1953. (Имеется русский перевод: Х о у а р т Л., Созремеяяое состояние аэродивамиии больших скоростей, т. 1, 11, ИЛ, Москва 1956. — Прим.
ларса.) 17» Если при движении жидкости разности температур приводят к появлению разностей плотности, то к активным массовым силам, входящим в уравнения движения, необходимо присоединить архимедову подъемную силу, возникающую вследствие изменений объема, свяаанных с нагреванием. 260 темпеРАтурные погРАничные слои в лАминАРнОм течении [гл. хп Пусть р есть коэффициент кубического расширения, который для соверптенного гава равен р = 1)Т, и 0 = Т вЂ” Т вЂ” повышение температуры нагретой частицы жидкости по сравнению с температурой частиц, оставшихся ненагретыми. Тогда относительным изменением объема нагретой частицы будет ртг и, следовательно, архимедова подъемная сила на единицу объема будет равна рдрб, где р есть плотность жидкости до нагревания, а у — вектор ускорения свободного падения с составляющими д„, ду, д,.
Будем учитывать в уравнениях Навье — Стокса только эту массовую силу, а коэффициент вязкости будем считать постоянным. Тогда уравнения Навье— Стокса (3.29) и уравнение неразрывности (3.30) для стационарного сжимаемого течения примут вид д (ри) д (ро) д (рю) дх ду дз + — + — =О, (12Л5) р (и — +и — +и1 — ") = — ++рд„~0+)ь ~Ли+ — — йт)э~ . ) до до до др Г 1 д Р ( ы.~- — -~- 1 )- — к.~.м м.~-Р[ь"-~т а е ь), ~ (12 1в дм дм дм 1 др Г 1 д ~(.—:-.— ~- — )- — — ~-~ь1ь~-~[а ~ — — о.ь). ~ дл ду дз ) = дз г 3 дз К этим уравнениям следует присоединить уравнение энергии (12Л2), которое при постоянных физических характеристиках ср, Х и )1 принимает вид дТ дТ дТ дзТ дзТ дзТ Рср(ид+д+д)(да+да+да)+ +и д +Р д +ю д +)ьФ, (12.17) причем диссипативная функция Ф по-прежнему определяется равенством (12.8).
Наконец, для газов следует еще добавить уравнение состояния =- ЛТ. (12Л8) р Таким образом, в общем случае сжимаемой среды мы имеем систему из шести уравнений (12Л5) — (12Л8) с шестью неизвестными и, п, и~, р, р, Т '). .Для несжимаемых сред (жидкостей) последнее уравнение, а также члены и др/дх и т. д., учитывающие в уравнении энергии работу сжатия, отпадают, и остаются пять уравнений для пяти неизвестных и, п, и1, р, Т. Прежде чем перейти к рассмотрению известных решений системы уравнений (12.15) — (12Л8), остановимся сначала на некоторых соображениях о подобии (зз), которые покажут нам, от каких безразмерных параметров зависят решения этих уравнений.
Для этой цели введем в уравнения (12Л6) и (12Л7) безразмерные величины совершенно таким же путем, как мы это сделали в 3 1 главы 1'т' при выводе закона подобия Рейнольдса из уравнений Навье — Стокса. Длины отнесем к некоторой подходящим образом выбранной характерной длине 1, скорость — к скорости ь( набегающего потока, давление — к удвоенному динамическому давлению р О', а плотность — к плотности р~ набегающего течения. Разность 0 = Т вЂ” Т между температурой в какой-либо точке потока и температурой'на большом 1) Так как мы приняли коэффициент вязкости постоянным, то полученная система уравнений пригодна только для теченнй с умеренной разностью температур. Нрв больщвх разностях температур (свыше 50') следует учитывать завнсвмость р от температуры.
В этом случае уравнения Навье — Стокса сохраняют свой полный внд (3.23) н к полученной системе нз шести уравнений следует присоединить еще змпнрнческнй закон р (Т) (см. урввненне (13.3)). Тогда мы будем иметь семь ураввеннй для семи невзвествых и, о,ю,р,р, Т,р. 261 теОРия полония в твплопвгвдлчв 1з) расстоянии от тела сделаем беаразмерной, рааделив ее на разность температур тела и жидкости на большом расстоянии от тела, т.
е. на (ЬТ)о = Тм— — Т . Для полученной беэраамерной температуры (Т вЂ” Т )~(КТ)о введем обоаначение бе. Такой же звездочкой отметим и все остальные безразмерные величины. Тогда, если мы ограничимся плоской задачей, первое из уравнений движения (12.16) после замены в нем д на д соэ а и уравнение энергии (12.17) примут вид диа а диа 1 дда У61(ЬТ)о р* (и* — +пе — ) = — — + р*б*соаа+ дзе дуа ) даа Ув +, (лт) (и" ~", +и'д— ", )+р с"~~,д, ) Ф*.
(12.20) В последнем уравнении через Фе обозначена безразмерная диссипативная функция, определяемая равенством (12.8): Ф'=2(( да) +(да) )+(да+де) — З(да+да). Из уравнений (12.19) и (12.20) мы видим, что их решения аависят от следующих пяти безразмерных величин: Р„Уа,г ур1 Мо . л, яУ Уз ' р,„,срУ,,1 ' ар(ЬТ)о рсзо (ЬТ)е Первая из этих величин есть уже известное нам число Рвйнольдса. Четвертая и пятая величины отличаются одна от другой только множителем гтЕ, следовательно, всего мы имеем только чегныре различных безраамерных величины.
Вторая иэ них может быть представлена в виде произведения двух множителей: у()1 (з Т)о ург (ЬТ)з Уг ог Уз гг " нвг Первый множитель, т. е. величина убгз (аТ)о ог (12.21) где а=— (12.22) р, с, есть коэффициент темпвратуропроводности (мгГсен). Безразмерная величина Рг= — = — Р (12.23) называется числом Нрандтля ') и зависит только от физических характе- г) П теории теплопроводности используется также безразмерное число У„г Ре=— а называемое числом Пекле и сзяаанное с числом Прзндтля соотношением Ре = Рг йв. называется числом Грасзофа. Третья иэ указанных безразмерных величин также может быть представлена в виде произведения двух сомножителей: а а о 1 1 р,срУ,1 У 1 о У,1 Рг )те 262 теагпеРАтУРные погРАничные сло и В лАминАРном течении (гл хн ристик среды.
Для воздуха Рг ж 0,7, а для воды при 20'С Рг ж 7. Для масел, вследствие их большей вяакости, число Прандтля аначительно больше и достигает 1000 (см. таблицу 12 1). Наконец, четвертая из указанных выше безраамерных величин непосредственно связана с повышением температуры, вызываемым адиабатическим сжатием и вычисленным в предыдущем параграфе (формула (12 14)].
В самом деле, н (Ат) „ с (ЬТ ) (ЬТо) Безразмерная величина ЕО называется числом Эккергка. Величина ЕО = = (/о /с (гоТ)о сохраняет смысл и для несжимаемых жидкостей, однако наглядное ее толкование в связи с повышением температуры, вызываемым адиабатическим сжатием, теперь отпадает. Отсюда вытекает следующий вывод: выделение тепла вследствие трения и сжатия существенно для температурного поля только в том случае, когда скорость набегающего потока Т/ столь велика, что повышение температуры (ЛТ)„а, вызываемое адиабатическим сжатием, по своей величине одного порядка с наперед заданной разностью температур (/АТ)о тела и потока вдали от тела.
Число Эккерта Ес свяаано с числом Маха Мн. В самом деле, согласно уравнению состояния идеальных гааов мы имеем ЙТ» Т (ср со) срТ где х = ср/с„есть отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме. Отсюда для скорости звука получаем соотношение Т ср (х 1) рао Поэтому (/о (Ат), (/,'.
т„ Т~ з Тсс срт (Ьт)о (х — 1) —,— = (х — 1) Мя' —, со (Ат)о (Ат)о ' следовательно, (Г„1 числа Рейнольдса (те =— т рср Рг= — =— а Оф(з (Ат)о (Зг = т числа Прандтля числа Грасгофа числа Эккерта (12.26) (/о Ес= с (Ат)о 1) Отношение двух температур 2 (Ат)ад/(Ат/о иногда называют оиссом Шмидта. Ес=(х — 1) Мн' ( ", (12.25) где Мн = // /с есть число Маха. Таким образом теплота, возникающая вследствие трения и сжатия, играет существенную роль только в тех случаях, когда скорость набегающего потока и скорость звука сравнимы по своей величине и заданная разность температур по порядку величины такая же, как абсолютная температура окружающей среды, что имеет место при полете ракет на очень большой высоте. Иа приведенных соображений о подобии следует, что поля скоростей и температур, получаемые в качестве решений системы уравнений (12.13)— (12.18), зависят от следующих четырех безразмерных величин: ч з] теОРия пОдОБия В теплопеРедьче .Если (ЛТ), ж Т, то число Эккерта определяется согласно равенству (12.25) только значением числа Маха Мн = У /о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
