Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 67
Текст из файла (страница 67)
А1АА Х. 6, 1075 — 1084 (1968). 113. В»ч у е г Н. А., Яо1иМоп о1а СЬгее-ййпепв1опа1 Ьоипйагу-1ауег Посв тч!СЬ|верагаС!оп. А1АА Х. 6, 1336 — 1342 (1968). Г лава ХП Температурные пограничные слои в ламинарном течении" з 1. Составление уравнения энергии Явление теплопередачи между твердым телом и жидкой или газообразной текущей средой представляет собой проблему механики потоков. В этом явлении на механическое течение налагается тепловой поток, и в общем случае оба зти потока влияют один на другой Для того чтобы найти распределение температуры, необходимо связать гидродинамические уравнения движения с уравнением теплопроводности.
Из чисто наглядных соображений понятно, что распределение температуры около нагретого тела, обтекаемого жидкостью, часто должно обладать особенностями, характерными для пограничного слоя. В самом деле, вообразим тело, помещенное в поток жидкости и нагреваемое так, что его температура остается все время выше температуры жидкости. Если скорость течения более или менее велика, то очевидно, что повышением температуры, вызываемое нагретым телом, будет распространяться только на тонкий слой в непосредственной близости от тела и на узкий след позади тела (см.
рис. 4.2). Преобладающая часть процесса выравнивания температур между нагретым телом и более холодной окружающей средой будет происходить в тонком слое в непосредственной близости от тела. Этот слой, по аналогии с пограничным слоем течения, называется температурным или тепловым пограничным слоем. Очевидно, что в процессе такого выравнивания температур гидродинамические явления и явления теплопроводности оказывают друг на друга сильное влияние.
Прежде всего мы должны составить уравнение теплового баланса для движущейся частицы жидкости и присоединить это уравнение к гидродинамическим уравнениям движения. В несжимаемой жидкости тепловой баланс движущейся частицы определяется ее внутренней энергией, теплопроводностью, конвекцией тепла посредством течения и возникновением тепла вследствие внутреннего трения. В сжимаемой среде к перечисленным слагающим теплового баланса следует присоединить работу расширения (или работу сжатия) при изменении объема. Кроме того, в любом случае всегда происходит излучение тепла, однако при умеренной разности температур оно не играет существенной роли, и поэтому в дальнейшем мы не будем его учитывать. Уравнение теплового баланса составим с самого начала для сжимаемой среды. Рассмотрим объем Л г' = Нх е(у Иг, масса которого равна ш=рлу, и проследим за этим объемом при его движении вместе с остальной жидкостью.
Количество тепла 11(), подводимое к этому элементу объема в проме- г) За переработку атой главы я благодарен К. Герстену. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 255 жуток времени Рс, расходуется, с одной стороны, на увеличение полной энергии РЕС, а с другой стороны, на выполнение работы РА, следовательно, имеет место соотношение «у«ат « + — «от ео «гл б« (12.2) Р() ЕТ г" РС т дп ]г где 3«(джlм сек град) есть коэффициент «У теплопроводности. Знак минус показывает, что поток тепла считается положительным в направлении, в котором температура уменьшается.
Следователь- елен™ен~те оба«я~а, но, через левую грань элемента объема ЛУ = г]хе]у Ыз (рис. 12А), перпендикулярную к направлению х, в объем ЛУ в единицу времени поступает количество тепла — Л вЂ” с]у аз, дТ де а через правую грань, перпендикулярную к направлению х, из объема ЛУ в единицу времени уходит количество тепла () ',Т+ —,' (Л вЂ” ',Т ) Ь) дуд.. Таким образом, в элемент объема ЛУ подводится вследствие теплопроводности в промежуток времени Р] в направлении х количество тепла Р()„=Р]дхдудз — ()« — ) . д дТ Полный подвод тепла вследствие теплопроводности в элемент объема ЛУ в промежуток времени Рс равен Хф=Р]Л ] ~ (Х з )+ ~ (Л е )+~ (Х е )).
(12.3) Изменение полной энергии РЕО, если пренебречь изменением потенциальной энергии, обусловленным полем тяжести, состоит из изменения внутренней энергии РЕ = р ЛУРе, где е есть удельная внутренняя энергия, и изменения кинетической энергии Р ( — р ЛУВ]т), где в](и, и, иг) есть вектор скорости. Следовательно, мы имеем — =рЛУ вЂ” + — — (и +ив+ ш~)~ . РЕО г Ре 1 Р '(Ре З Рт а) В качестве еднннцы работы н энергнн здесь н в дальнейшем мы будем пользоваться джоулем; 1 джоуль (дн«) = 1 ньютонметру (и я). — = — + — (дж/сек) т). РР РЕО РА (12.1) энергия работа Все входящие в это соотношение производные — субстанциальные.
В общем случае они распадаются на локальные и конвективные составляющие. Так как мы условились не учитывать излучение тепла, то подвод тепла возможен только вследствие теплопроводности. Согласно Фурье, поток тепла д (дж)масел) через площадь Р, иными словами, количество тепла, проходящее через единицу площади в единицу времени, пропорционален градиенту температуры в направлении,перпендикулярном к площади г", т. е. 256 темпеРАтуРные погРАничные слОи В лАминАРнОм течении Вл. Хп Для определения работы РА подсчитаем сначала работу, выполненную в элементе объема йе' в единицу времени, например, нормальным напряжением О„.
Согласно рис. 12.1 мы получим .РАв = — йуйз[ — ион+ (и+ д" йх) (о„+ — 'йх)) = — хК д (иох). (12.5) Знак минус поставлен потому, что на основании соотношения (12А) работу, подведенную к газу извне, следует считать отрицательной. Следовательно, полной работой, выполненной в элементе объема йр в промежуток времени Рс всеми нормальными и касательными напряжениями, будет РА = — Ое [ д (ио" +стхр+ исхх)+ д (итре+сне+юге~)+ г д д + д (нс,.+от.~+~О*)~ (126) В этом выражении а„, О„,..., т,„означают напряжения, определяемые равенствами (3.20) и (3.25). Внеся выражения (12.3), (12.4) и (12.6) в уравнение (12.1) и приняв во внимание уравнения (3.11), после промежуточных преобразований получим р р +рйгч1в= — (Л вЂ” )+ — (Л д )+ д (Л вЂ” )+рФ, (12.7) где функция Ф равна и называется диссипатаивной функцией.
Уравнение (12.7) имеющее общий характер, для большей части практических случаев может быть преобразовано к соответствующему специальному виду. При этом, однако, необходимо проводить строгое различие между случаем идеального газа и случаем несжимаемой жидкости. Последняя не может рассматриваться как предельный случай идеального газа. В самом деле, для идеального газа изменение внутренней энергии и изменение энтальпии равны соответственно Ре = с РТ и Рд ='срРТ, в то время как для несжимаемой жидкости эти величины равны соответ- ственно Ре = с РТ и Ре = — с РТ+ — Рр. 1 Р Для идеального газа, если учесть уравнение неразрывности (3.1), взяв его в форме (12.9) и, кроме того, принять во внимание, что ср Р7" = се РТ +.Р ( — ) (12.10) уравнение,(12.7) принимает после некоторых преобразований следующий вид: рср р = ре +[в (Лд )+д (Лд )+д (Л вЂ” д))+(АФ.
рТ Рр д дТ д дТ д дТ 12 11) 1 21 повышкник ткмпврлтрры вслкдствик лдилвлтичкского сжатия 257 Это уравнение называется уравнением энергии. Входящая в него величина ср (дж7кг град) носит название удельной теплоемкости при постоянном давлении, отнесенной к единице масси. В общем случае ср зависит от температуры.
При постоянном коэффициенте теплопроводности Л уравнение (12 11) упрощается и принимает вид РТ Рр г дтТ дтТ дтТ рс — = — +Л ( — + — + — )+рФ. Рг Рг 1 дхт дуа двв ) Для несжимаемой среды й1т 'ю = О. В этом случае луе = с 11Т и уравнение (12.7) при постоянном Л принимает более простой вид: РТ дтТ дтТ даТ р. — =Л ( —,+ —,+ —,)+~Ф. (12 13) в 2. Повышение температуры, возникаю1цее вследствие адиабатического сжатия дт Ир Рергс — == 1С— Не дг Это уравнение устанавливает связь между изменением температуры и изменением давления вдоль линии тока; э есть координата, измеряемая вдоль линии тока, а и1 (г) — скорость вдоль линии тока. Разделив обе части полученного уравнения на риг и проинтегрировав вдоль линии тока, мы получим е р Г 1 др Г Нр ср (Т Т ) ) аг ) а / Для сжимаемого течения в соответствии с уравнением Бернулли мы имеем ю2 — + ) — = сопэ1.
2 э р 17 г. ш.шттинг В тепловом балансе сжимаемого течения важную роль играет повышение температуры, вызываемое динамическими изменениями давления. Для выполнения последующих расчетов целесообразно сравнить разность температур, возникающую вследствие выделения тепла при трении, с разностью температур, возникающей вследствие сжатия. Поэтому прежде всего вычислим повышение температуры, возникающее вследствие та а~а-д сжатия при течении без трения. Если в та- ,а,7' аа Та ком течении давление и скорость вдоль линии тока изменяются, то вдоль этой линии тока изменяется также температура. С целью Рис.
12.2. К вычвсненвю повышения упрощения исследования примем, что изме- температуры, воаннкаюшего в критинение состояния происходит адиабатически. Это вполне допустимо, так как в общем случае вследствие малой теплопроводности и большой скорости, с которой происходят изменения состояния, не возникает сколько-нибудь заметного теплообмена с окружающей средой.
В частности, вычислим повышение температуры (йТ)ан — — Т, — Т возникающее при адиабатическом изменении состояния в передней критической точке обтекаемого тела вследствие повышения здесь давления от р до ро (рис. 12.2). Предположим, что течение стационарное и происходит без трения. Тогда, если пренебречь теплопроводностью, уравнение энергии (12.11) сильно упрощается и принимает вид 259 1 з) теория пОдОБия В теплопеРедяче Внеся значение интеграла в предыдущее уравнение, мы найдем повышение температуры, возникающее вследствие адиабатического сжатия: Т Т 1 ( ) (12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
