Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 71
Текст из файла (страница 71)
А именно, такой формой будет ,", =1 ( —; ° — ", Уйе, Рг) (12.37в) Поэтому для плотности потока тепла на основании равенства (12.28) мы получим выражение 7= — ) ( в ),= —,(Т вЂ” Т ) Уйе 75( — *,, Рг), (12.37г) следовательно, местным числом Нуссельта будет (5(и= Х(, ~', —— Угте 75 ( — ",, Рг) (12.38) Это весьма важное соотношение показывает, что если пренебречь теплом, возникающим вследствие сжатия и трения, то для всех ламинарных пограничных слоев число Нуссельта пропорционально корню квадратному из числа Рейнольдса. Таким образом, упрощения, на основе которых выводятся уравнения пограничного слоя, приводят к тому, что вместо общей связи (12.30) между числом Нуссельта и числом Рейнольдса, имеющей место для полных уравнений Навье — Стокса, получается более простая связь (12.38).
На основании соотношения (12.37а) местное касательное напряжение на стенке равно (12.38а) следовательно, местный безразмерный коэффициент трения равен сг = — '= — Л( — ) Р ггг ')lце 2 (12.386) (12.39) В этой наиболее общей форме аналогия Рейнольдса имеет место, как уже было сказано, для всех ламинарных пограничных слоев. Скомбинировав соотношение (12.38) с соотношением (12.386), мы получим 270 темпеРАТРРные погРАничные слОи В лАминАРном течении [гл хы Если, в частности, имеют место подобные решения, т. е. если рассматриваются внешние течения вида У(х) = и,х, то, согласно сказанному в 1 1 главы 1Х, распределением скоростей будет (12.39а) (12.396) В этом случае из уравнения температурного пограничного слоя сразу сле- дует, что (12.
39в) Если ввести местное число Нуссельта, составленное для координаты х, то по аналогии с равенством (12.38) мы получим йи. = — = У йе Р (т, Рг), (12.40) где йЕ =х6Г(х)/Р. Какой вид имеет функция Г (т, Рг), мы увидим ниже, в и. 2 $7 настоящей главы [см. соотношение (12.87) и рис. 12 14). Между числом Нуссельта и местным коэффициентом трения с~„—— то 1 =2, Р,(т) — '[~(*и 2 существует общая связь 1 йи = — сг„йе Р(т, Рг), (12.41) аналогичная связи (12.39). Рассмотрим особенно простое течение: продольное обтекание плоской пластины (т = О).
В этом случае, если число Прандтля равноединице,получается полное совпадение дифференциальных уравнений (12.366) и (12.36в), определяющих скорость и температуру. Это означает, что тождественно совпадают и решения этих уравнений, т. е. имеет место тождество Рз (уфà —, 1) = — г1(у[г — ') (т=-О). [(12.41а) Отсюда следует Р (О, 1) = 1, и поэтому для продольно обтекаемой плоской пластины из соотношения (12.41) мы получаем йи„= — с)„йе„(т=0, Рг=1). (12.416) Это и есть простейшая форма аналогии между коэффициентом теплопередачи и коэффициентом трения, указанная ещегО.
Рейнольдсом. Предыдущие рассуждения применимы сначала только к ламинарным несжимаемым течениям при постоянной температуре стенки и при пренебрежении теплом, возникающим вследствие трения. Однако полученные результаты можно распространить также на другие случаи, например на обтекание плоской пластины с учетом тепла, возникающего и вследствие трения [см. соотношения (12.81) и начало стр.
285), и вследствие сжатия (см.зз 3 главы Х111). Однако наиболее существенно то, что аналогия Рейнольдса находит применение также при турбулентных течениях и играет там важную роль при расчете теплопередачи (см. главу ХХП1). 1 Н ОБщие сВОИстВА темпеРАтурных пОГРАничных слОеВ 271 4. Влияние числа Прандтля.
Из предыдущего изложения следует, что число Прандтля является наиболее важным параметром для температурного пограничного слоя и для теплопередачи, причем как в случае вынужденных, так и в случае свободных конвективных течений. Согласно определенвто число Прандтля Рг = т/а представляет собой отношение двух величин, характеризующих свойства, связанные с переносом импульса (вязкость) и переносом тепла (теплопроводность). Если способность вещества к переносу импульса, т. е. вязкость, особенно велика, то влияние стенки, уменьшающее импульс (условие прилипания), также велико, следовательно, это влияние проникает далеко внутрь течения, иными словами, толщина динамического пограничного слоя получается сравнительно большой.
Аналогичное имеет место и для температурного пограничного слоя. ггге) й1х) Т Из сказанного понятно,что при г вынужденных конвективных течениях число Прандтля является непосредственной мерой отношения толщин обоих пограничных слоев, на что уже указывало соотношение (12.34). Тм Частный случай, когда Рг = 1, а) Рг-дгжидлил металлы) д)рл- Гжидлиелгн,лилле) т. е. когда оба пограничных Рис. 1ЗА. распределение скоростей и распренеление слоя приближенно одинаково теп)ературм в пограничнмт слоях при очень малом толстые (при обтекании плоской и очень оольшом числах пранатля. пластины они в точности одинаково толстые), был подробно рассмотрен выше.
Однако представляют интерес также оба предельных значения числа Прандля, т. е. очень малое и очень большое числа Прандтля. Оба эти случая схематически представлены на рис. 12.4. Мы видим, что в случае Рг — ~ О, приближенно имеющем место для жидких металлов (например, для ртути), при расчете температурного пограничного слоя можно пренебречь динамическим пограничным слоем и заменить профиль скоростей и (х, у) скоростью 1) (х) невязкого внешнего течения, зависящей только от координаты х.
Тогда уравнение энергии (12.36в) принимает особенно простой вид: дТ,Ш дТ даТ 1) (х) — — у —, — = а — (Р г -ь О). дл ,'дл ду дут (12.42) Следовательно, в этом предельном случае температурный пограничный слой не зависит от динамического пограничного слоя. Для продольного обтекания плоской пластины [Т) (х) = П = сопв1) с постоянной температурой стенки Тм сразу получается дифференциальное уравнение (5.17), с которым мы уже встретились В главе тГ. Его решением будет Т вЂ” Т =(Т вЂ” Т ) (1 — — ( е-час(ц), ~Я д~ (12.43) где Отсюда, использовав равенство (12.29), найдем число Нуссельта йс,= —,„= )/ — == 1г (тел Рг (Рг-~-0).
(12.44а) 272 темпеРАтУРные пОГРАничные слОи в лАминАРКОм течении 1гл хп Для течения в окрестности критической точки (1/ (х) = и,х) получим (ч)п =)/ — Угте Рг (Рг-+.0), / 2 (12.44б) (12.45) хо где хо есть точка стенки, в которой происходит скачок температуры (см. рисунок 12.16), и при пренебрежении теплом, возникающим вследствие трения, можно преобразовать уравнение энергии к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению: ыт лт — — Зтг — =О. эчг При помощи неполных гамма-функций это уравнение можно решить в зам- кнутой форме. Для числа Нуссельта получается выражение х ()п.= "'*~.
= 08930 У вЂ” "~9а) )/ "(х~ ' (Рг- -) (12.47)') или х Р(0„=0,5384Ргм~ х хо 7/ — о( ( 7/ — ' — ) (Рг- сс). (12.48) В частном случае продольно обтекаемой пластины при хо = 0 мы имеем, согласно формуле (7.31), то = 0,332)ганг и поэтому Мих = 0,339 Рг г~г)/гтех (Рг -е. сс). (12. 49а) 1 г) 0,8930= ( — ) ), 0,5384= 9 "о~ (-) ) ) ' причем г! = Г (г + 1). где Йе„ = Пх/т. Другой предельный случай, Р г -+- сс, уже давно был исследован М. А. Левеком (ое) на основе весьма правдоподобного предположения, что весь температурный пограничный слой лежит внутри области, в которой скорость в динамическом пограничном слое зависит от у еще линейно.
Такой случай может иметь место также при средних числах Прандтля, а именно тогда, когда развитие температурного пограничного слоя начинается в такой точке х = хо обтекаемой стенки, в которой имеет место скачок температуры (см. рис. 12.16), и притом уже после того, как динамический пограничный слой немного развился. Предположим, что в уравнении энергии (12.36в) для распределения скоростей и можно взять выражение и = (то/)г) у, и кроме того примем, что зависимость профиля скоростей от х пренебрежимо мала по сравнению со значительно более быстрым развитием температурного пограничного слоя.
Тогда, как показал М. А. Левек (см. также работы (ео) и (ег)), при помощи преобразования б е) ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 273 Аналогичные простые асимптотические приближенные формулы получаются также для свободного конвективного течения около вертикальной плоской пластины; см.
работу (ее), а также формулы (12.118а) и(12.1186). 3 6. дачные решения для распределения температуры в вязком течении Перейдем к расчету температурного поля в различных вязких течениях. Из большого многообразия возможных случаев выберем такие, которые допускают наиболее простое теоретическое решение. Выше изложению способов расчета пограничного слоя мы предпослали некоторые у l Т=Т Т и примеры точного решения уравнений Навье-Стокса (глава Ч).
Аналогичным образом поступим и ТТ,) теперь: остановимся сначала на игу) ~, Ти некоторых случаях точного опре- Тгу) деления распределения температуры, указанных Г. Шлихтингом и) =и (те). Будем рассматривать стационарные плоские течения несжимаемой жидкости в горизонтальной плоскости, которую совместим с плоскостью ху. Физические характеристики жидкости примем постоянными. Для такого течения система уравнений (12.15) — (12.17), т. е. система, в которой никаких упрощений с целью перехода к уравнениям пограничного слоя еще не сделано, принимает вид Рпо.
12.5. Раопределенпе енороотей и температуры в теченвп Куетта: а) распределение олороетей; б) раепределеппе температуры о учетом тепла, вовнпнаю щего вследствие тревпя, для случая, когда обе етеннп имеют оппнановую температуру; е) раепределеппе температуры о учетом тепла, воейпнающего веледотвпе трения, для случая, ногда нпжпяя стенка теплопволпровапа. дп ди — + — =О, ил ду (12.50а) (12.50б) (12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
