Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Случай п = 0 соответствует постоянной температуре стенки, случай и = = (1 — т)/2 — постоянному потоку тепла д. Выполним аффинное преобра- зование, введя для этого новую переменную [см. уравнение (9.8а)[, а для определения безразмерной температуры 6 = = (Т вЂ” Т ) (Т,„— Т ) — уравнение бе+ — Рг 16' — п Рг 1'0= — Рг Ес.х' 2 (12.84г с граничными условиями 6=1 при В=-О, 0=0 прит[=ос, В уравнении (12.84) ЕО = и',!ер Т~ есть число Эккерта для рассматривае- мой задачи. Тогда для определения скорости и = ГГ (х) г' (г[) мы получим уже известное нам уравнение Г'"+ 77'"+ т (1 — /'з) = 0 (12.83): 287 Вынуждвнное конвективное течение Из уравнения (12.84) видно, что если пренебречь теплом, возникающим вследствие трения, то правая часть уравнения становится равной нулю и решение задачи приводит всегда к подобным профилям. Если же сохранить правую часть уравнения, т.
е. учитывать тепло, возникающее вследствие трения, то подобные решения будут существовать только тогда, когда правая часть уравнения не будет зависеть от х. Это будет только в том случае, когда 2т — и = О, т. е. при неизменной связи между распределением скоростей внешнего течения и распределением температуры на стенке. Следовательно, при постоянной температуре стенки подобные решения могут быть только в случае плоской пластины (т = и = 0).
Если условие 2т — и = 0 выполнено, то для каждой пары значений т и Рг существует определенное число Ес„при котором не происходит никакой теплопередачи [д' (0) = 0[. В этом случае распределение температуры на стенке, которая опять называется равновесной температурой Т„имеет вид (12.85) Значения функции Ь|(т, Рг) вычислены Э. Бруном [Ч.
Для частного случая т = 0 они даны в таблице 12.2. Если не учитывать тепло, возникающее вследствие трения, то уравнение (12.84) принимает, как уже было сказано, более простой вид д" + — Р ~д' — и Рг ~'0=0. (12.86) Решения этого уравнения при различных значениях параметров т, и и Рг исследованы многими авторами ["'[ РЧ ['з! РЧ [4Ч РЧ [ "Ч Р1Ч Как показал Э. Эккерт [1Ч, при и = 0 местное число Нуссельта равно ч =Р(т, Рг)= ( ~ ехр ~ — Рг ф/ ~ 1(т[)г[Ч~Ыт[), (12 87) причем йа = — ",, = — [/ д' (0) = — Уйе„д' (0).
(12.88) График функции Р (т, Рг) для различных значений параметра = 2т/(т + 1) построен на рис. 12.14 по численным данным Г. Л. Эванса [за[. На том же рисунке изображены асимптотические приближения для очень малых чисел Прандтля [по формуле (12.42)) и для очень больших чисел Прандтля по формуле (12.47); см. также работу РЧ). Для продольного обтекания плоской пластины (т = 0) вместо формулы (12.88) получаются в предельных случаях Рг -~ 0 и Рг — ~ оо формула (12.44а) и соответственно (12.49а), а для течения в окрестности критической точки (т = 1)— формула (12.44б) и соответственно (12.49б).
В частном случае профиля с отрывом пограничного слоя (т = — 0,091) при Рг-э оо имеет место, как показано в работе РЧ, другое асимптотическое приближение. 3. Температурные пограничные слои иа телах любой формы с постоянной температурой стенки. Расчет распределения температуры в ламинарном пограничном слое на теле любой формы выполнен Н.
Фресслингом РЧ как для плоской, так и для осесимметричной задачи. В этом расчете тепло, возникающее вследствие трения и сжатия, не учитывается. Распределение скоростей Г7 (х) в потенциальном течении около рассматриваемого тела представляется в виде степенного ряда по длине дуги х, измеряемой вдоль контура тела (ряд Блазиуса, см. з 3 главы [Х), т. е. в виде ряда у = и,х + иэх' + изхз + 288 'темпеРАтуРные погРАничные слОи В лАминАРнОМ течении (Гл хп Для соответствующего распределения скоростей в пограничном слое берется ряд и (х, у) = и(х/1 (у) + и»т'/в (у) +- а для распределения температуры — аналогичный ряд Т (х, у) = Т, + хТ, (у) + х'Т, (у) + ..
Далее, таким же способом, как и в $ 3 главы 1Х, для Т((у), Та(у), ... выводятся обыкновенные дифференциальные уравнения, в которые входят коэффициенты-функции /1, /„..., определяющие распределение скоростей, /4 б ггЕЛ б урги пе е//еближиииыи (рербгббгебг /б / 45 4 -4/4 4/гг / //г -4(им' 449/г 4/ 44/ г 'б4/ г бб/ г б б /4 г б б /44 ре Рнс, 12.14. Зависимость местного числа Нуссельта от числа Прандтля и параметра вг внещвего течения с распределением сноростеа О (х) н(хгп мгхб/Ы вЂ” В) (обтекание нлнна).
температура стевин предполатаетсн постоянной; тепло, воввивающее вследствие трения, не учитывается. Асвмптотнче. свое приближение при Рг 0: и се '4 / 2 1/2 при Рг г и В ~ — 0,199 — па Формуле (12.47В при Рг а В = — 0,199 — по формуле = 0,224рг1/4 (/я ем Асямптотичесвае поиближевие Приближенве при средних числав Прандтля и В 0 — по формуле (12.71а). но эависящие теперь также от числа Прандтля. Н. Фресслинг определил путем численного интегрирования первые функции Т„(у) как для плоской, так и для осесимметричной эадачи, но только для числа Прандтля Рг = 0,7. Конечно, такой способ расчета температурного пограничного слоя столь же кропотлив, как и аналогичный способ для динамического пограничного слоя.
Особенно он утомителен для тонких тел, так как в этом случае для получения необходимой точности требуется брать в степенных рядах большое количество членов. В частном случае, когда Ру = 1 и когда тепло, возникающее вследствие трения, не учитывается, для распределения температуры в пограничном слое на цилиндре произвольной формы получается такое же дифференциальное уравнение, как и при косом обтекании цилиндра для поперечной составляющей скорости (т. е. для составляющей скорости в направлении образующей «скольэящего» цилиндра), в чем легко убедиться, если сравнить уравнения (12.63в) и (11.58). Эту связь, на которую было укаэано 289 ВЫНУЖДЕННОЕ КОНВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ уже в 3 3 главы Х[, Д.
Голанд [аь! использовал для определения распределения температуры в пограничном слое на цилиндре особой формы. Соответствующее обобщение ряда Гертлера на расчет температурных пограничных слоев (см. з 5 главы 1Х) выполнено Э. Враге ["е) и Э. М. Спарроу [зт[. Оба метода применимы к любым распределениям температуры на стенке (см. следующий пункт настоящего параграфа). Сравнение расчетов температурного пограничного слоя на основе ряда Блазиуса и на основе ряда Гертлера выполнено Н.
Фресслингом ['а[. Вблизи критической точки цилиндра распределение скоростей потенциального течения имеет вид Г! (х) = и)х (т = р = 1). Здесь, если пренебречь теплом, возникающим вследствие трения и сжатия, для местного числа Нуссельта, определяемого соотношением (12.87), получается формула Яе — Р(р., 1) — А(Р ). (12.89) График функции А (Ру) изображен на рис. 12.14 для случая р = 1, а некоторые ее численные значения даны в таблице 12.3 (стр. 290).
Для круглого цилиндра С) (х) = 2Г7 эш с),е поэтому и! = 4 — „., следовательно, ыпх Р 2 ь У В Рис. !2.10. Местный ноаффицнент теплопередачи для нруг- 1 р)по лого пилиндра. Сравнение измерений с теорией. Число — = А ([эу) (12 90) нуссельта кор и число Рейнольлса составлены для дяамет)' кео ра цилиндра Р = 100 лл. Измерения по э.
шмидту и к. Веннеру РЧ. теория по Фресслингу РЧ н В. ДияемаПри малых числах Рейнольд- ну Р). кажущееся влияние числа Рейнольдса оэъясняегся изменением турбулентности во внешнем течении прм нзмеса подсчеты по этОЙ форму- ненни числа Рейнольдса !см. и. 7 0 7 настоящей главы). ле дают хорошее совпадение с измерениями Э. Шмидта и К. Веннера [зз) (рис.
12.15). С другой стороны, эти измерения показывают, что отношение Й1)В)[у Йед систематически зависит от числа Рейнольдса, и эта зависимость не учитывается теорией. Так, например, при числе Рейнольдса ЯВ = 1,7 100 измеренное значение числа Нуссельта в критической точке на 10 — 15% выше теоретического значения. К этому обстоятельству мы вернемся в п. 7 з 7 настоящей главы, где будет показано, что эти отклонения вызываются турбулентностью внешнего течения и ее изменением с числом Рейнольдса.
Для численного расчета температурного пограничного слоя вместо рассмотренных точных способов значительно проще приближенные способы. Эти приближенные способы сходны с приближенными способами расчета динамического пограничного слоя, основанными на использовании теоремы 19 г. Шлиатинг 290 темпеРАтУРные погРАничные слОи в лАминАРнОм течении )гл. Хтг Табл ица 12.3. Значения функции А, необходимые для расчета теплопередачи вблизи критической точки цилиндра, для разных чисел Прандтля. По Скеайру )1ез) Рг 0,6 0,8 0,7 0,9 1,0 7,0 10 15 А 0,466 ,0,521 0,546 0,570 0,495 0,592 1,18 1,34 1,54 импульсов и подробно изложенными в главе Х.
Пренебрежем теплом, воз- никающим вследствие трения и сжатия, и проинтегрируем уравнение рас- пределения температуры (12.35в) от у = О до у = оо; мы получим уравнение. потока телла — ~ [и(Т вЂ” Т )[ду= — а ( — ) о (12.91) где а = Х/рср есть коэффициент температуропроводности [см. равенство (12.22)[. Это уравнение, называемое иногда также уравнением энергии т)„ соответствует уравнению импульсов (8.35) для динамического пограничного слоя. Из многочисленных способов решения уравнения (12.91) остановимся на способе Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
