Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 73
Текст из файла (страница 73)
12Л. Раепределенпе екороетей н температуры прн теченнн в канапе о учетом тепла, возникающего веледотвве тревня. (12. 62) Если мы опять потребуем, чтобы обе стенки имели одинаковую температуру, т. е. чтобы было Т = То прн у = +Ь, то решением этого уравнения будет ~(у) — Т.= — ', — "'," ~~ — ( — „")'~. (12.61) Таким образом, распределение температуры изображается параболой четвертой степени (см. рис. 12.7). Максимальное повышение температуры получается в середине канала и равно риаж Тж — Т,= — —. 3 а Обобщение этого решения на случай вязкости, изменяющейся с температурой, получено Г. Хаузенблазом [ав). Соответствующее решение для трубы с круглым поперечным сечением дано у. Григулом [во[. у Точное решение уравне- л ~,7 щ=.а ний температурного погранич- о — - -7р =.
77 ю =-и' ного слоя получается также 7 р= " г, ~ о Г для течений в суживающемся и расширяющемся ка- 4 — -г — -р77 налах. Эти течения были рассмотрены в П.12 2 2 главыЧ. З Ф ~ чэ l Указанное там решение Г. Ха- [ ~ Рр, /' меля для динамического по- l граничного слоя было рас- ~ — ' йг — -[— пространено К. Миллсапсом и К. Польгаузеном [от[на температурный пограничный Т слой. На рис. 12.8 изображе- Рпо.
12.8. Раопределевпе теащературы в суживающемся ка- нале е углом раствора 2и = 1О' прв равлнчных числах но распределение температу- прандтля. число Рейнольдоа равно 1842. саответотвуюпгее раопределевме окореотей нвоб ымево ва рве. 8.14. ВследРы Ри Разлнчньгх числах отаве дноонпапнн, которая оооскевно велика вслнан отенок.
Прандтля для течения в су- получаютоя проймлн температур о чен о выраженным харантером пограннчного слоя. По К. Мнллоапоу в живающемся канале. Вслед- К. Польгауаену НЧ. ствие диссипации, которая особенно велика вблизи стенок, профили температур имеют характер, свойственный пограничному слою, причем этот характер выражен тем сильнее, 278 темпеРАТРРные пОГРАничные слОи В лАминАРИОМ течении 1Гл.
Х11 чем больше число Прандтля. Для сравнения на тот же рис. 12.8 перенесен профиль скоростей с рис. 5.14. Некоторые другие решения уравнений Навье-Стокса и уравнения энергии, принадлежащие к классу подобных решений, указаны Б. Л. Ривзом и Ч. Дж. Киппенханом ['в). з 7. Температурные пограничные слои при вынужденном конвективном течении В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров температурного пограничного слоя при вынужденном конвективном течении, причем используем уравнения пограничного слоя (12.36). Расчет температурного пограничного слоя на теле любой формы так же, как и расчет динамического пограничного слоя на произвольном теле, связан с довольно большими трудностями. Поэтому сначала мы остановимся на более простом случае температурного пограничного слоя — на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении.
1. Плоская пластина, обтекаемая в продольном направлении. Рассмотрим течение несжимаемой среды с постоянными, т. е. не аависящими от температуры, физическими характеристиками. Поместим начало координат на передней кромке пластины, ось х расположим в плоскости пластины, а ось у направим перпендикулярно к пластине. Если мы примем архимедову подъемную силу равной нулю и учтем, что градиент давления с[рЯх = О, то уравнения пограничного слоя (12.36) примут вид [11), ['в[ ди ди — + — =О, дх ду ди ди деи (12.63а) (12.63б) (12,63в) Граничными условиями будут или — =О при,у=О, дг ду и=о=О, Т=Т„ Т=Т при у = оо.
р срр или, что то же самое, у = а, т. е. число Прандтля Рг = 1. В таком случае уравнение (12.63в), если заменить в нем Т на и, тождественно совпадет с уравнением (12.63б). Но при пренебрежении теплом, вовникающ м вследсгпвие гпрения, температурное поле может существовать только при условии, что температуры стенки и внепшего течения различны, например, Т вЂ” Т ) О (охлаждение). Таким образом, мы пришли к следующему важному результату: при малых скоростях продольного обтекания плоской пла- Поле скоростей не зависит от температурного поля Поэтому сначала можно решить гидродинамические уравнения (12.63а) и (12.636) и полученный результат использовать для определения температурного поля.
Уравнения (12.63б) и (12.63в) сразу позволяют обнаружить важную связь между распределением скоростей и распределением температуры. В самом деле, пренебрежем в уравнении (12.63в) членом [А (ди/ду)', т. е. теплом, возникающим вследствие трения, и, кроме того, предположим, что между физическими характеристиками жидкости существует соотношение 279 1 71 Вынужденное конВектиВное течение стины распределение скоростей и распределение температуры в пограничном слое совпадают, если число Прандтля равно единице.
В этом случае мы имеем т т ( Р г 1 ) (12.64) Этот результат соответствует соотношению (12.37в), на основе которого была выведена практически очень важная аналогия Рейнольдса между теплопередачей и сопротивлением трения. Для решения гидродинамических уравнений Г. Блазиус ввел, как мы знаем из $ 5 главы ЧП, новые переменные тт=у1/ —, ту= (7 ух(7' )(т)) (см. формулы (7.24) и (7.25); тр есть функция тока). Следовательно, составляющими и, и скорости течения будут = -~'(ц), = —,' Р "'" М'-~). .Для определения функции / (тт) получается, как было показано в 4 5 главы ЧП, обыкновенное дифференциальное уравнение Ц" + 2/"' =- О с граничными условиями 1=~'=О при т)=О, ~'=1 при т)=ос.
Решение этого уравнения дано в таблице 7 1 (стр. 134). Подставив указанные значения и и и в уравнение (12.63в) и сохранив второй член правой части, учитывающий тепло, возникающее вследствие трения, мы получим для распределения температуры Т (т)) дифференциальное уравнение и г рг нт и„ вЂ”,+ — ~ — = — Рг — (' Ывт 2 (Й) 2о (12. 65) Общее решение этого уравнения целесообразно искать в виде г„ Т(т)) — Т =СО,(т))+ — О (тт), (12.
66) т. е. в виде наложения двух решений, из которых первое, дт (т)), представляет собой общее решение однородного уравнения, а второе, дт (т)),— частное решение неоднородного уравнения. Граничные условия для функций "От (т)) и дт (т)) целесообразно подобрать так, чтобы функция дт (тт) давала решение задачи об охлаждении пластины (при заранее заданной постоянной разности температур Т вЂ” Т стенки и внешнего течения), а функция От (т)) — решение задачи о теплоизолированной стенке.
Таким образом, функцию дт (т)) следует определить из уравнения д,+ — Рг (О,=О (12.67) с граничными условиями дт = 1 при 7) = О, д, = О при 77 = оо, функцию 62 (я) — из ураВнения О,"+ 2 Рг7д;= — 2Рг~"' 1 (12.68) с граничными условиями От =О при т) =О, дт =О при 280 ткмпкглтугнык погглничнык слои в ллминлвном твчвнии (гл. хп Имея значение дз (О), можно определить постоянную С, входящую в уравнение (12.66), так, чтобы было удовлетворено граничное условие Т = Тм при т) = О. Мы получим с=т„— т — — 6,(0). Ьгз (12.68а) Задача об охлаждении.
Решение уравнения (12.67) впервые было дано Э. Польгаузеном (тз) и может быть представлено в виде (12.69) поэтому при Рг = 1 мы имеем и бг (т)) = 1 — 7 (Ч) = 1 —— К» — ( — ') =а, (Рг) = 60з (О 332)рс 7(7 (с))'"Зс о (12. 70) Таким образом, величина а, есть функция только числа Прандтля Рг. Некоторые значения этой величины, вычисленные Э. Польгаузеном, даны Т а б л и ц е 12.2. Значения безразмерных величин а, н Ь, определяемых формулами (12.70) и (12.75), для плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении 10,0 15,0 0,6 Рг 0,7 0,8 0,9 1,0 0,835 3,535 0,276 0,770 0,307 0,895 0,320 0,950 О, 332 1,000 О, 344 1,050 0,645 2,515 0,730 2,965 0,293 0,835 аз Ь в таблице 12.2. Для средних чисел Прандтля они могут быть интерполиро- ванн с хорошим приближением посредством формулы а, = 0,332 уз' Рг (0,6 < Рг(10). (12.71а) Для очень малых чисел Прандтля в соответствии с формулой (12.44а) полу- чаем аз = 0,564 )Г Рг (Рг-з- О), (12.716) а для очень больших чисел Прандтля в соответствии с формулой (12.49а) находим а1 = 0,339 ф' Рг (Рг — оо), (12.71в) Следовательно, при Рг = 1 распределение скоростей и распределение температуры, в соответствии с ранее полученным уравнением (12.64), тождественно совпадают.
Ваяв производную от дз(г), Рг), вычислив ее значение на стенке (т) = О) и имея в виду, что )" (О) = 0,332, мы найдем градиент температуры на стенке: 281 ВынужденнОе конВектиВное течение Распределение температуры, вычисленное по формуле (12.69), изображено на рис. 12.9 для ряда значений числа Прандтля Ру.
Кривая, соответствующая значению Р у = 1, дает, на основании сказанного выше, одновременно и распределение скоростей. Для чисел Прандтля Рг)1 дг Щ-у Рю-Т па аг гг [г гг ДР ~г гг Дг ~и ~=ф рис. 12.9. Распределение температуры в ламинарном пограничном слое на нагретой плоской пластине, обтекаемой с небольшой снорсстью в продольном направлении, при равличных числах Прандтля 1бев учета тепла, вовнинаюшего вследствйе тренияв г г и"'фг я1 /х" 'уРР Рг 4 гг г гг г ггг~р г р г~®~~ РР Рис. 12.19. зависимость равновесной температуры т, ненагретой плоеной пластины, обтекаемой со сноростью гг в продольном направлеини, от числа прандтля Рг. по е. Вннерту и О.
дреаитпу 00 и Д. Менсину и'1. При больших числах Прандтля, согласно Менсину 1е'1, Ь = 1,9 Ргхув. Задача о теплоизолированной стенке. Применив к уравнению (12.68) метод вариации постоянных, найдем его интеграл Б 02(у[, Рг)= 2Рг '] [/" (В)]~" (~ [7'"(т)] ~'дт) д$. (12.72) $=п 9 При Рг = 1 решение (12.72) принимает вид 02 (и) = 1 — 1" (н). (12.73) температурный пограничный слой тоньше динамического пограничного слоя. Так, например, для масла с числом Прандтля Ру = 1000 толщина температурного пограничного слоя составляет примерно только одну десятую толщины динамического пограничного слоя. 282 темпеРАТУРные пОГРАничные слОи В лАминАРКОм течении (Гл.
хп Таким образом, тепло, возникающее вследствие трения, вызывает повышение температуры стенки до величины Т,, определяемой, в соответствии уравнением (12.66) и решением (12.72), формулой цз ҄— Т,.=Т,— Т = — Ь(Рг), 2с (12.74) где д (Рг) = дг (О, Рг). (12.75) Температуру Т, также можно назвать равновесной температурой опенки.
.Формула (12.74) показывает, что при постоянном значении числа Прандтля разность между равновесной температурой стенки и температурой потока на большом удалении от стенки пропорциональна повышению температуры У'/2ср, возникающему в критической точке вследствие адиабатического сжатия и уже вычисленному в з 2 настоящей главы (рис. 12.3). Некоторые значения величины Ь (Рг) даны в таблице 12.2. Для не слишком больших Рг они могут быть интерполированы с хорошим приближением посредством формулы Ь = )сРг. .Значения Ь для более высоких чисел Прандтля вычислены Д. Мексином ("') и могут быть взяты из рис.
12.10. В предельном случае Рг — 1- оо получает- ся формула Ь (РГ) = 1,ОРГ1/з Примечательно, что при Рг = 1 величина Ь в точности равна единице. Следовательно, при продольном обтекании плоской пластины газом с числом Прандтля Рг = 1 и со ууу скоростью 1/ тепло, возниТе-Т е оо кающее вследствие трения, У /'бар Е е нагревает пластину так, что ууа температура ее повышается адм о а агеауаа на величину, равную повышению температуры в крийбу — тической точке вследствие —.аамавадвв' агуубуленвньв — адиабатического торможения течения от скорости (/ до нуля. На рис. 12.11 изображены результаты измерений Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
