Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 104
Текст из файла (страница 104)
В частности, если 571 = сопз1, то даже большие амплитуды осциллирующего внешнего течения не могут вызвать никакого изменения осредненного профиля скоростей. Из графика функции г" (у/бс) на рис. 15 10 видно, что наибольшее относительное изменение профиля скоростей происходит вблизи стенки, потому что там функция г (у/бо) принимает свое наибольшее значение гч (0) = 1.
Так как ускорение частиц, близких к стенке, сравнительно мало, то именно здесь дополнительный градиент давления проявляет себя сильнее. 402 НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ [Гл. Хч' Для внешнего течения более общего вида У(х,()=(7(х)+ ~ У[А(х)в[п(йе() ()с=1,2,...) дополнительная функция равна (15.68) (15.69р где боь ' р' Аи / 2ч 3. Внешнее течение с небольшим периодическим колебанием. Ряд работ посвящен расчету нестационарных пограничных слоев при внешнем течении, совершающем слабые периодические колебания. При этом было использовано разложение в ряд по степеням воамущающего параметра, приведенное в п.
3 1 1 настоящей главы. Пусть внешним течением будет [Г (Х, Г) = й (Х) + С[71(Х) Ееис. (15.70) Раньше обычно вычислялись только линейные составляющие решений, т. е. значения и„ ио То входящие в выражения (15.30). М. Дж. Лайтхилл [ее) предложил приближенный способ решения уравнений (15.32) при произвольных функциях й (х) и [7, (х). Случай, когда обе функции заданы в виде степенных рядов, рассмотрен Э. Хори [м). Течения, при которых [У(х) и [Ге (х) являются степенными функциями х, исследованы Н. Роттом и М.
Л. Роаенцвайгом [зз]. Частными случаями таких течений являются рассмотренное М. В. Глауэртом Ре) и Н. Роттом [зе) течение в окрестности критической точки и рассчитанное А. Гошем И') и С. Джиббелато [и), ['е) продольное обтекание плоской пластины. А. Гош [ы], а также П.
Г. Хилл и А. Г. Стеннинг [ее) выполнили измерения нестационарных пограничных слоев. При внешнем течении вида [7 (х, г) = схт (1 + се'ее) = й (1 + се[ее) (15.71) из уравнений (15.31) получаются известные дифференциальные уравнения для подобных. решений )"'+ — ))" +т (1 — йз) =О, т.+ 1 2 — О" + — [О' = О, т+1 Рг 2 (15.72г (15. 73) где сх ™]' (е0 = ис, 0(~)= Г Г ~г/ й [ср. с уравнениями (9.8) и (9.8а)). Положив ие ее[се[УФ (5, е)) т,— т„ =еегпеО($ е)) Г,— Г (15.74) (15.75Р Из сказанного выше очевидно, что среднее положение точки отрыва; в общем случае зависит от внешнего течения и что точка отрыва сама совершает колебания. Наконец, из самого способа расчета Ц.
Ц. Линя следует, что колебания во внешнем течении вызывают в пограничном слое. колебания с более высокой частотой. 403 ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 1 э] где (15.75а) мы получим из уравнений (15.32) следующие уравнения в частных производных для апре- деления Ф ($, т)) и В ($, 1)): т+1 т+1 Фччч + 2 119пэ — (В+ 2тг) Фч+ 2 1"Ф— — (1 — т) ЯФчз+ (1 — т) 1"$Ф1+З+ 2т = О, (15 76) — 0 ч+ — 10п — (1 — т) Газ — $0= — — Фд' — (1 — т) $ФЗО' (15.77) 1 т+1 т+1 Рг чч 2 2 с граничными условиями Ф=Фч — — Ф4=0=0 при т)=0, Фч — — 1, 0=0 при 0=со. (15.78) Решение этих уравнений в частных проиаводкых производится в общем случае путем разложекия в ряды, один раз при малом э, другой раз при очень большом 5.
Если принять, что предполагаемое решение имеет вид 0 Фа,ц)=~э 5 ь(ц), Ва,ц)=~ йьб (ц), а=о а=с (15.79) то при малом Ц для определения функций Фд(т)) и да(т)) получаются обыкповевкые диффе- ревцвальиые уравнения. Составив производные от этих функций при т) = О, мы иайдем местное касательное напряжение на стеикеу — су [гйе = ==7 (8)+зешг ~~ зэк(0) 6'(г [гг ~ ь=с (15.80) и местное число Нуссельта Уйех ~0'(0)+зегэг Я фаба (0)~ (15.81) Отсюда Ф.
К. Мур [зе) (см. также работы А. Гоша [") и С. Джиббелато ['з[) для продольно обтекаемой пластины нашел — сг "[/йех= 0 332+ за юг [ О 498+0 470 — + ... +1 О 849,— +... ) ~, 5(пх г г эх та = =0,296+ '"' [ 0,148+0,125 [,— ) + ". (15.82) Г (0,021 " [ ... ) ~ (Рг= 0,72). (15.83) При п = 0 получается кваэистациопарное решение, т.
е. такое решевие, которое в каждый момент времени ведет себя так же, как стационарное решение, соответствующее мгвовеияому внешнему течению. То обстоятельство, что при э ~ 0 в правые части формул входят мнимые члевы, оаяачает, что в пограничном слое имеет место сдвиг фаз отиосителько виешкего течеяия, причем различпый для распределевия скоростей и для распределения температуры. В то время как максимумы касательного напряжения опережают максимумы скорости вяешнего течения (в предельном случае пх)сг -ь со фазовый угол равен 45'), максимумы коэффициекта теплопередачи отстают (в предельном случае ях/Гг ~ ос фазовый угол равен 90').
Кроме того, при больших ях/У„амплитуда колебаиий касательного напряжения с увеличением пх/Гг сколь угодно сильно возрастает, амплитуда же колебания теплопередачи с увеличением ях!у„, наоборот, постепеиио уменьшается до нуля. 404 (гл. хч нестАционАРные погРАннчные слои При решении системы уравнений (13.33), определяющих; функции и, (х, ю г), иэ (х, у, с) и Г, (х, у, с), в общем случае получается периодическая составляющая с двойной частотой и, кроме того, не зависящая от времени стационарная составляющая, которая изменяет основное течение н может быть истолкована как вторичное течение такого же рода, как и в п.
1 настоящего параграфа. Для течения в окрестности критической точки, прн котором (Г, (х) = сопэц все функции ию ит и другие члены более высокого порядка, как показал М. В. Глауэрт ["'), исчезают. В этом случае основное течение вместе с функциями и„щ является даже точным решением полных уравнений Навье — Стокса (см. также работу [м)). Посредством преобразования координат из этого решения можно получить решение также для течения в окрестности критической точки на осциллирующей стенке ["), [м), [э).
Тесно связано с этими решениями решение, укаэанное Дж. Т. Стюартом ['э) и обобщенное Дж. Ватсоном [еэ] на случай обтекания бесконечной плоской пластины с отсасыванием и при периодическом внешнем течении. Продольное обтекание плоской пластины при внешнем течении, воамущаемом бегущей волной, подробно исследовано И. Кестяном, П. Ф. Медером н Г. Э. Вангом [м). Трехмерное нестационарное течение вблизи критической точки круглого цилиндра, осциллирующего параллельно своей обрааующей, рассмотрено В. Вюстом [м]. 4. Осциллирующее течение в трубе.
С другим примером периодического пограничного слоя мы сталкиваемся прн колебаниях жидкости в трубе, вызванных периодическим изменением перепада давления. Такие колебания могут быть осуществлены попеременным движением поршня то в одну, то в другую сторону. Теория этого явления разработана Т. Зекслем [ы! и С. Утидой [ее). Рассмотрим длинную трубу с круглым поперечным сечением. Пусть х есть координата в направлении оси трубы, а г — радиальное расстояние от середины трубы. Можно принять, что рассматриваемое явление не зависит от координаты х, следовательно, не зависит от х и составляющая и скорости в направлении осн трубы.
В таком случае остальные составляющие скорости, следовательно и конвективные члены в уравнении движения для направления, совпадающего с осью трубы, исчеанут, и вместо трех уравнений Навье — Стокса (3.36) мы получим без каких бы то ни было упрощений только одно уравнение ди 1 др гдэи 1 ди'1 — = — — — +э[ — + — — ) (г5.84) дГ р дх )дга г дг г' с граничным условием и = 0 при г = В (т. е. на стенках трубы). Пусть градиент давления, вызываемый движением поршня, изменяется по гармоническому закону, следовательно, — — — = К соз и(, 1 др (г5.85) р дх где К есть постоянная. И в этом случае целесообразно ввести комплексную форму для записи уравнения (15.85); тогда мы получим — — — = Ке' 1 др р дх причем физический смысл имеет, конечно, только вещественная часть комплексной величины.
Далее, примем для скорости и следующее выражение: и(г, 1) = ) (г) е'"'. Подставив это выражение и в уравнение (15.84), мы получим для распреде- ления амплитуды ) (г) дифференциальное уравнение ш к 1" (г)+ — ~' (г) — — ~(г) = —— 405 ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Решив это уравнение, мы найдем распределение скоростей lю (и )/ — ) и(г, 1) = — 1 — е .К си п (15.86) 1+ — гю и(г, 1)= — 1 — ееи 1— 1+,. Ню, (15.87) или, перейдя опять к вещественной записи, и (г, И = — ею"ю (Лз — гю) = — (Лю — гю) соз п1. Следовательно, при медленных колебаниях давления колебания скорости совершаются в одинаковой фазе с колебаниями давления, причем амплитуда колебаний скорости изменяется вдоль диаметра трубы по параболическому закону, т.
е. так же, нан при стационарном течении. Если же безразмерная величина 1/п/РЛ очень велика (очень быстрые колебания), то, выполнив асимптотическое разложение функций Бесселя и имея в виду, что ."ю(г) -э. 1/ — е"1-Ыз -/ 2 пю мы получим и (г, 1) = — — еси (1 — )// — ехр ( — (1-)-1) )// — (Л вЂ” г)() или, перейдя к вещественной записи, и (г, 1) = — ( з(п п1— К г — )// — ехр ( — 1//г —" (Л вЂ” г) ) з1п '(п1 — '1/ —" (Л вЂ” г) ) ) . (15.88) Для больших значений )/и/~Л второй член в фигурных скобках при увеличении расстояния Л вЂ” г от стенки быстро уменьшается, поэтому вдали от стенки играет роль только первый член, не зависящий от расстояния от стенки.
Следовательно, решение (15.88) обладает свойствами„характерными для пограничного слоя. На большом расстоянии от стенки колебания жидкости происходят без трения и притом в фазе, сдвинутой относительно фазы колебаний возбуждающей силы на половину периода. На рис. 15.11 изображены профили скоростей осциллирующего течения в трубе при средней частоте (ф'и/~Л = 5) в различные моменты времени периода колебаний.
Из сравнения с вычерченной внизу кривой изменения где Хю есть функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Вследствие линейности уравнения (15.84) решения (15.86) могут налагаться одно на другое. Исследование решений (15.86) в общем случае, т. е. для любой частоты п, довольно затруднительно вследствие присутствия функций Бесселя с комплексным аргументом. Зато предельные случаи очень малой и очень большой частоты исследуются совсем просто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
