Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Шу [4») и Т. Гайс Рз) указали все те решения, для которых возможно сведение к одной-единственной независимой переменной т), т. е. решения, имеющие вид «[ = — ° у )Ч(х, 4) ' и(х, у, 1) =1Т(х, 1) Н(т)), где (15.35) Такие регпения получаются, например, при внешних течениях вида сг (~, 1) = —, а также при внегпних течениях 1( (х, () = С(и, (15.15) с граничными условиями из=из= Т,=О прн у=о, и =)т =О прн у = оо. Уравнения более высокого порядка построены аналогичным образом.
Эти системы уравнений могут быть решены последовательно, причем все они, за исключением системы нулевого порядка, линейны. Если уравнения (15.1) — (15.3) имеют точные решения вида (15.30) до члена с ео включительно, то решения, найденные изложенным здесь способом, отличаются от точных решений в общем случае членами порядка еэ+г. Приложения этого способа к исследованию периодических пограничных слоев будут рассмотрены в п.
3 1 5 настоящей главы. Аналогичное разложение в ряд по степеням хь д" У 1 (х 1" дзТх (15.34) (т+ д«Ь ' тм — т 1(Г~ дгь 2 21 Внезлпное ВозниннОВение дВижения о которых будет сказано в з 3 настоящей главы. Подобные решения, полу- чающиеся при внешнем течении ы' где а и Ь суть постоянные, исследованы К. Т.
Янгом [оЧ. Если посредством подходящего преобразования удается свести три переменные х, у, 2 к двум переменным, то в таком случае говорят о «полуподобимх» решениях [»Ч. В частном случае, когда переменные х, у, «удается свести н переменным у и хй, решения называют также «псеедостационарными> (см. работу П)). Одно такое решение для внешнего течения Ц (г, 1) = П вЂ” 7 с постоянными По и Т было указано И.
Тани ['Ч. Более широкий класс полу- подобных решений рассмотрен Г. А. Хассаном РЧ, см. также работу [22). 6. Приближенные способы. Решение полных уравнений пограничного слоя при произвольном распределении скоростей П (х, 1) во внешнем течении приводит к очень большим трудностям. Это заставляет поступать тан же, как при расчете стационарных течений, т. е.
прибегать н приближенным способам, сходным, например, со способом Кармана — Польгаузена, изложенным в главе Х. Такие приближенные способы для несжимаемых нестационарных пограничных слоев предложены Г. шу [«2), л. А. Розиным РЧ и К. Т. Янгом [«Ч. В последнем способе рассматривается также температурный пограничный слой, причем исходным пунктом служат интегральные соотношения (15.9) и (15 10). Для апнронсимации профилей скоростей используются либо полиномы, либо подобные решения. Тан кан интегрирование по толщине пограничного слоя приводит к исключению только одной координаты (координаты у), то при применении приближенных способов все же не удается избежать решения уравнения в частных производных.
й 2. Развитие пограничного слоя при внезапном возникновении движения Рассмотрим сначала разгонное движение, т. е. движение, возникающее из состояния покоя. Решение этой задачи можно упростить, если, следуя Г. Блазиусу ['!, принять, что тело, внезапно приведенное в движение в по- коящейся жидкости, достигает окончательной, постоянной скорости очень быстро, следовательно, оно приводится в движение рывком. В таком случае в введенной выше системе координат, жестко связанной с телом, скорость потенциального течения будет равна П(х, г) =О при 2(0, П(х, 1)=П(х) при г)0, (15. 36) причем П (х) есть скорость потенциального течения около тела при стацио- нарном движении. Так кан в соответствии с принятымупрощением дП/де = О, то в первом приближении мы получим вместо дифференциального уравнения (15.12) более простое уравнение дио д»ио — — — =О, (15.
37) причем граничными условиями будут ио — — 0 при у=О, и,=П(х) при у=оо. Уравнение (15.37) тождественно совпадает с уравнением одномерного рас- пространения тепла, уже решенным в п. 4 з 1 главы У с связи с исследова- 25 г. шли>тииг 386 «ГЛ. ХР нестАционАРные погРАничные слои нием течения, возникающего при движении плоской пластины в своей пло- скости в первоначально покоящейся жидкости.
Там для решения этого урав- нения мы применили преобразование подобия (5.19), введя новую безраз- мерную переменную з 2 Р'т« В рассматриваемом случае это преобразование приводит к решению ч ие(х, у, «) =(«(х) ь;(т)) = Г«(х) ~ е — ч'««т) =Г«(х) ег1т~, 2 У~ (15. 38) (15.39)т (15.40~ следовательно, составляющие и = дтрlду и э = — дф/дх скорости будут и = с' Ьо+ «с«,. 1~ + д«« — Р = 2 у' ч«( — Ье+ «[( — ) + Г« —,,т 1 Ь, +...
) . Подставив эти выражения в уравнение (15.12), мы получим для определения первого приближения ьэ дифференциальное уравнение ~,"'+ 2Ч~", = 0 (15.42) с граничными условиями ье=ь'= 0 при т)'= О, ь'= 1 при т|= оо. Уравнение (15.42) совпадает с уравнением (5.21) и дает для ь; решение (15.39) График зависимости 1о от ц изображен на рис. 15.1. Для определения второго приближения ь1 (ц) мы получим нз уравнений (15.13) и (15.40) дифференциальное уравнение 1;+ 2т)1", — 41; = 4 (1" — Ы." — 1) причем граничными условиями будут ьт=ь;=0 при т)=-0, ь;=0 при ц=ос. которое в качестве первого приближения справедливо как для плоской, так и для осесимметричной задачи.
Если скорость Г«внешнего течения не зависит от х, т. е. если с« = Пэ — — сопз«; (продольное обтекание плоской пластины)„ то решение (15.39) является точным решением уравнения (15.2). В самом деле, в этом случае в уравнении (15.13) нонвективные члены и член, содержащий давление, исчезают, и поэтому и, = О.
Однако найденное таким путем решение еще не является полным решением задачи. Более того, это решение. применимо только на достаточно большом расстоянии вниз по течению, где возмущающее влияние передней кромки уже не дает <всебе знать и где, следовательно, течение ведет себя тан же, нак при обтекании бесконечно длинной пластины. Строго говоря, полное решение должно удовлетворять еще дополнительному условию и (О, у, «) = 0 при всех у и во все моменты времени «.
Подробности о полном решении можно найти в работе [м). В общем случае, когда скорость П (х, «) внешнего течения изменяется вдоль контура тела, плоская и осесимметричная задачи требуют отдельного рассмотрения, так как уравнение неразрывности в обоих случаях имеет разный вид.
1. Плоская задача. Рассмотрим сначала плоскую задачу. Примем, что функция тока выражается в виде следующего ряда по степеням времени «: ВНЕЗАПНОЕ ВОЗНИКНОВЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ Решение этого уравнения, найденное Г. Блазиусом, имеет вид г е-и'с(т)) + — е-тпа+ 4; = — т1е-па ) е-пай)+ — (2т)т — 1) ( аа1 + — т)е и*— 4 е — и'т(т) — — е ч'+ Зя +(=+ ) [т1е-ч'+(2т)а+1) ) е и'й1~.
(15.43) Графин зависимости ь; от тт изображен на рис. 15.1 в виде кривой 4;, (см. также таблицу 15.1). Начальные наклоны кривых ь; н Щ (= — ~;,) равны 1;(О) = — ' 7,ь" (15.44) 43 2 ( 4 ) Эти значения нам понадобятся для определения момента начала отрыва. Следующий член разложения (15.40) функции тока в ряд по У степеням 1 точно вычислен С.
Голдстейном и Л. Розенхэдом [та). До рис. Жл. етввпня 1', 4! = 41 и Сть, определен!- этого с меньшей точностью он был жве распределение свсрссте» нестапионарнего погравичнсгс слоя прн внеаапнсм приведении в двиопределен Э. Больтце (е) при жение 1фсрмтлм Н5А1) и 1!5.5Е)1. решении осесимметричной задачи (см. ниже). Однако для вычисления момента начала отрыва вполне достаточно знания числену~х значений только первых двух членов разложения функции тока в ряд по степеням времени. Ниже мы покажем выполнение такого вычисления на примерах обтекания круглого и эллиптического цилиндров. Таблица 15Л.
Значения функций Ь' и Ь'ь для нестационарного раагонного течения. По Э. Больтце (е) 5!ь с!ь 4еь а1а 51 а 5!с 0,099 0,103 0,102 0,099 0,092 0,083 0,072 0,367 0,340 0,307 0,269 0,231 0,191 0,158 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0,126 О, 099 0,075 0,056 0,041 0,029 0,021 0 0,061 0,050 0,040 0,031 О,МЗ 0,016 0,011 0 0 О, 017 0,034 0,051 0,066 0,080 0,091 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 0 0,1 ' 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 0,142 0,246 0,318 0,362 0,382 0,382 Условием отрыва пограничного слоя, как мы знаем, является выполнение равенства ди!ду = О при у = О.
Составив такую производную от составляющей скорости и, определяемой первым из уравнений (15.41), и обозначив момент начала отрыва через 1„р, мы получим уравнение ~; (О) + ~; (О) 1.„ †"„" = О ннстАционАРнын погРАничнык слОи 1гл ху или, после замены ь; (О) и ь",(О) их значениями (15.44), +(~+ф ф~.„=~. (15. 45) х эУ У х' г/(х) = 22/ в1п — и — = 2 — сов —, В х В В 1 где Л есть радиус цилиндра, а х — длина дуги, измеряемая от передней критической точки. Следовательно, для круглого цилиндра градиент скорости имеет наибольшее абсолютное значение в задней критической точке, где л// у„ — = — 2 —.
ох В Таким образом, при обтекании круглого цилиндра отрыв пограничного слоя начинается в задней критической точке, и момент начала отрыва, в соответствии с формулой (15.45), равен В и 2(1+ 4 ) (15.46) Путь, пройденный цилиндром до момента начала отрыва, составляет вотр = 1отр(/„= 4 эх 0,351гг. В 2 (1+ — ) Пример: эллиптический цилиндр (гв), (2).
Определим теперь момент начала отрыва пограничного слоя на эллиптическом цилиндре. Пусть полуоси эллипса равны а и Ь, причем а может быть и больше и меныпе Ь. Отношение полуосей Ь/а обозначим через Е Начало осей координат поместим в центре эллипса, а оси х и у совместим с осями эллипса, следовательно, уравнением эллипса будет х2 р2 — + — =1. ав Ьв Далее, обозначим черве ю угловую координату, определяемую равенствами х р — =огни, — =21в~р. а Ь Пусть цилиндр вневапно приведен в движение в направлении оси в со скоростью //„. Распределевие скоростей потенциального течения вдоль контура эллипса определяется формулой и(.) 1+2 У» У1+22 егозю где в есть длина дуги, измеряемая от передней критической точки.
Градиент скорости в направлении течения равен а А// (1+А) Ьв сов и У вв (21ввх 1 Ьвсоввф)2 ' Это уравнение позволяет вычислить тот момент времени, в который в заданной точке х контура тела впервые начинается отрыв пограничного слоя. Очевидно, что отрыв вовможен вообще только там, где градиент скорости с)У/гвх отрицателен.
Кроме того, отрыв возникает раньше всего в той точке, в которой производная дс//г/х имеет наибольшее абсолютное значение. Ниже на примере обтекания эллиптического цилиндра мы увидим, что такая точка отнюдь не всегда совпадает с задней критической точкой. Пример: круглый цилиндр. Для круглого цилиндра, на который набегает поток со скоростью г/ мы имеем ВНЕЗАПНОЕ ВОЗНИКНОВЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ Нетрудно убедиться в том, что этот градиент имеет наибольшее эиачеиие в критической точке только в том случае, если йа < 4/3. Если же йа ) 4/3, то иаибольшее эяачеиие градиент скорости имеет в точке с угловой координатой р = срэм определяемой из соотношения созз 1 3 (йэ 1) Соответствующие максимальные значения градиента скорости будут при й ( —, 4 3 Ь / 3(/) 3 )/З йэ(1+й) с/с /яс 16 (15.47) 4 при йэ ) 3 Подставив значения (15.47) следующие звачевия: [с Гетр а в уравнение (15.45), мы получим для момента начала отрыва п ри й ( —, 4 при й )~ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
