Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Между прочим, эффектом подобного рода объясняется образова- ние пылевых фигур Кундта. 397 ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Пусть при стационарном обтекании рассматриваемого цилиндрического тела потенциальным плоским потоком скорость равна бсо (х); тогда при гармоническом колебании тела с частотой и скорость потенциального течения будет изменяться по закону У (х, с) = Г7о (х) соз пс. (15.59) Если мы введем систему координат, жестко связанную с телом, то для расчета пограничного слоя сумеем воспользоваться уравнениями (15.1) и (15.2), в которых следует положить р = сопз$.
К уравнениям (15.1) и (15.2) необходимо присоединить еще уравнение (15.6) для распределения давления и граничные условия и = 0 при у = О, и = У при у = оо. Для решения поставленной задачи можно применить опять способ последовательных приближений, рассмотренный в з 1 настоящей главы, следовательно, представить искомую скорость в виде суммы (15.11), а затем проинтегрировать уравнения (15.12) и (15.13). Необходимо, однако, под- черкнуть, что применение такого способа возможно только при условии, если !'% <!% Преобразуем это условие к несколько иному виду. Легко видеть, что (7 тв дх д где Г7 есть максимальная скорость тела, а сс — некоторый линейный размер тела (например, диаметр цилиндра). Далее, очевидно, что дУ вЂ” У и, дс следовательно, дСС!дх (У дУс'дс од Наконец, однако с оговоркой, что здесь и в дальнейшем физический смысл имеет только вещественная часть комплексной величины.
Далее, введем вместо у безразмерную координату ц=у~à —" (15.60) и примем, что функция тока в первом приближении имеет вид с)со (х, у, с) = 1/ — „ГУо (х) ьо (ц) ес"', Г7„, пе, где е есть амплитуда колебаний, и поэтому У дУ/до с дУ!дс С 'Таким образом, способ последовательных приближений, рассмотренный в 3 1, можно применять только в том случае, если амплитуда колебаний значительно меньше линейного размера тела. Для проведения расчета, предложенного Г.
Шлихтингом (сс) (см. также Ро)), целесообразно представить скорость (15.59) потенциального течения в комплексной форме, т. е. в виде сс(х, с) = и (х)е"', 398 1ГЛ, ХУ ннстАциОИАРныи пОГРАничные слОи следовательно, мо (х у !) = По(х) ~;е!"с, Ро(х, у, !) = — — '1/ — ~се!"!. (15.61) Подставив значение ио в уравнение (15.12), мы получим для определения ~, (Ч) дифференциальное уравнение причем граничными условиями будут при т) =О, ~;=1 при т)=со. Это уравнение имеет решение Г; = 1 — е-!!-!)ч! ь з.
Внеся значение Ь; в выражение для скорости ио и возвращаясь к вещественной записи'), мы найдем в качестве первого приближения следующее распределение скоростей: ио (х, у, 1) =- Уо (х) [ соз (пь) — е-ч~ т з соз [ пь' — Ч ) ~ .
(15. 62) [/2 Для плоской стенки, совершающей колебания в собственной плоскости, мы получили в 2 1 главы У решение (5.26а). Там мы использовали систему координат, связанную с покоящейся жидкостью, а ие с движущейся стенкой; кроме того, мы ввели там безразмерную координату, отличающуюся от теперешней координаты множителем 1/'р/2. Если учесть оба эти обстоятельства, то мы увидим, что решение (15.62) и (5.26а) совпадают. Если мы подставим полученное первое приближение скорости в уравиеиие (15.13), то увидим, что в состав коивективных членов в правой части уравнения войдут множители сова и1. Так как соз' л! = 2 (1+ соз 2п!), 1 то мы можем каждый такой член разбить на два слагаемых, из которых одно не зависит от времени. Имея это в виду, возьмем для функции тока в качестве второго приближения выражение ф! (х, у, !) = ~/ — ' По (х) —" — [й!о (т[) е""'+ ьоь (т))[, следовательно, мы будем иметь и! (х, у, 1) = Уо (х) — — [Ь!оез!а!+ Ь;ь[, аоо 1 где функция Ь!, определяет периодическую составляющую второго приближения, а функция ь!ь — стационарную составляющую.
Подставив это выражение и, (х, у, 1) в уравнение (15.13), мы получим для определений функций ь!о и ь!ь дифференциальные уравнения 2!то!а го1а= 2 (1 ~о + ГОГО) 1 1 ь Г 1 1!ь 2 2 1о~о + 4 ( о"о+ ~о о) !) Это необходимо для правильного вычисления конвоктивных членов в правой части уравнения (15.13]. 39 пвгиодичвскин поггхничныи слои т 5) где черточки над буквами поставлены для обозначения сопряженных комплексных величин.
Граничные условия для первого уравнения, определяющего периодическое движение, состоят в равенстве нулю нормальной и касательной составляющих скорости на стенке и в равенстве нулю касательной составляющей на большом расстоянии от стенки. Имея в виду эти условия и введя для сокращения записи обозначение т)' = ~/~~'2, мы получим ц = — — е ((+1) тзч' -(- — е-(1-)()ч' ~ т)'е — ((+()ч' (а— 2 2 Для второго уравнения, определяющего стационарное движение, могут быть выполнены только оба граничных условия на стенке; что же касается условия на большом расстоянии от стенки, то можно лишь потребовать, чтобы касательная составляющая скорости имела здесь конечное значение.
Учтя эти условия, мы получим 2 ( ~;ь = — — + — е-зч'+ 2е-е' зтп т)'+ — е-ч' соз т)' — ") е-ч' (солт)' — эш т)'), 4 4 2 2 откуда найдем, что 3 Ыь(оо) = — — ° 4 Следовательно, на большом расстоянии от стенки, т. е. вне пограничного слоя, существует стационарное течение, скорость которого имеет в направлении колебаний составляющую, равную из(л ) = — — ЦΠ— ° е()о 4э дз (15. 63) Таким образом, мы пришли к следующему примечательному результату: лри малых колебаниях тела трение вызывает появление не только пограничного слоя, но и добавочного (вторичного) течения на большом расстоянии от тела, и притом такого, которое не зависит от вязкости.
Это вторичное течение имеет скорость, 'ф определяемую формулой (15.63), и направлено с каждой стороны колеблющегося тела в том направлении, в котором амплитуда потенциального периодического двих(ения убывает. На рис. 15.7 изображена картина линий тока стационарного вторичного течения около цилиндра, совершающего колебания в горизонтальном направлении.
На рис. 15.8 показан снимок течения около такого цилиндра, помещенного в бак с водой. Снимок сделан фотокамерой, дви- 1 ) гавшейся вместе с цилиндром. Для о —— придания видимости движению поверхность воды была обсыпана металлическими блестками. Эти блестки, увлеченные течением, получились на фотографии, вследствие очень длительной экспозиции, в виде широких полос. Мы видим, что вода притекает к цилиндру сверху и снизу и оттекает от него в обе стороны в направлении, в котором происходят колебания. Совпадение с теоретической картиной линий тока, изображенной Ф'а! !гл. ху нкстационаенын иогеаничнык слои на рис. 15.!, получается очень тороп!иы.
И!!донного ьче рода снимки для круглого цилиндра, и!сненденною! в стоячие звуковые волны, бьи!и получены ,'!. 1!. Андраде Р), врачом для придания видимости вторичноь!у течению бъ!з! использован дьсм. 14 ° °,, ь *1,,! к!!пао Ъ'!а! пяоа е по! 6 ч!:ие1 ч! о, оио!"'свтчгное 401 ПИРИОДИЧБСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ быстро от нее освобождаются. Этот круг вопросов подробно рассмотрен в литературе по акустике Р'!.
Аналогичное исследование течения вокруг эллипсоида вращения, совершающего в покоящейся среде колебания, параллельные оси вращения, выполнено А. Гошем [17]. См. в связи с этим также работы Д. Роя Ра'], Р'6]. 2. Периодическое внешнее течение (по Ц. Ц. Линю). В предыдущем пункте мы рассмотрели типичный пример колебаний в покоящейся жидкости. Однако для практических приложений значительно важнее такие задачи, в которых на колебания налагается стационарное основное течение.
Некоторое представление о таких задачах дает теория Ц. Ц. Линя, изложенная в з 1 еУ настоящей главы [ве]. При внешнем течении вида С (х, 5) = (7 (х) [- 571 (х) яп п6 (15,64) Р5 решение уравнения (15. 23) дает для осциллирующей составляющей продольной скорости следующее выражение: 77 иг (х, у, 5) = О71(х) ( яп и5— Г( —,') — ~ехр (:Р) ) яп (и7 — 6 ) ), (15.65) где Рис. 15.10. ГРафик Функции р (и/бл 1урав/ 2т пение (15.67)7 нри простом гармоническом бо= у колебании внешнего течении.
В этом результате характерно смещение фазы возмущающей составляющей и, (х, у, 1) относительно внешнего течения, зависящее от расстояния у от стенки. Далее из уравнения неразрывности (15.27) мы найдем составляющую рг (х, у, У), также обладающую этим характерным смещением фазы. .Зная и, (х, у, 7) и и, (х, у, 5), мы сумеем вычислить по формуле (15.21) дополнительную функцию (дополнительный градиент давления) г" (х, у).
Мы получим г (х у) = 2 сгг,у г ( 6 ) > бо (15. 66) где '(+) =Г" (-И1('++) -( — ".)- — (1 — +) яп ( Р ) — ехр ( — +)1. (15.67) 26 г. шлигтинг График этой функции изображен на рис. 15.10. Уравнение (15.66) показывает, что разница между действительным профилем скоростей и и квази- стационарным профилем и„который получился бы при г (х, у) = О, зависит в основном от амплитуды Огг (х) и ее производной 17сг'1755х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
