Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Если безразмерная величина )/п/тЛ очень мала (очень медленные колебания), то, разложив функции Бесселя в решении (15.86) в ряды и сохранив в последних только первые два члена, мы получим НЕСТАЦИОНАРНЫВ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ Егл ху во времени градиента давления ясно видно опережение фазы течения в середине трубы по сравнению со слоями, близкими к стенкам (см.
также работу ["[). Э. Г. Ричардсон и Э. Тайлер [ае[ исследовали осциллирующее течение в трубе экспериментально. Они измеряли среднее во времени значение квад- /2 рата с корости, т. е. величину и . Для '(у) ' г дг /о ([У т/ Ф бд д ((/ г(/,УУ бд у=-у~Я Рис. !5.11. Распределение скоростей аря оспвллирушшем теченш! в трубе в рааличны моменты периода колебаняй. По С. Утяде РЧ. Градиент давления — ор/эя = рх соа (нв; Х = 'а/я/тз = 5; е =Каа/В = 5,125К/я. случая быстрых колебаний это среднее, как нетрудно видеть из формулы (15.88), равно и (/) 2 2 (1 — 2~I — ехр[ [, 2ч (Л г) [соз ~ [гг 2 (/т г) [+ + — ехр [ — 2 [// —" (/( — г)[ ~ Если расстояние от стенки у = Л вЂ” г мало по сравнению с радиусом га трубы, то отношение Лlг приближенно равно единице.
Тогда, введя без- размерное расстояние от стенки ггн / л )=(Л вЂ” ) 1/ —,=У[/ вв [/ 2т ' и'(р) — = 1 — 2 соз т) ехр ( — т)) + ехр ( — 21)). (15.89) Вычисленное по формуле (15.89) распределение осредненного во времени квадрата скорости изображено на рис. 15.12. Мы видим, что максимум этого среднего лежит не на большом расстоянии от стенки (т. е. не на оси трубы), а вблизи стенки, на расстоянии т) = у Ъ' —" = 2,28 у 2т (так называемый аннулярнмй эффект Ричардсона [ае[).
Этот теоретвческий вывод хорошо совпадает с результатами измерений Э. Г. Ричардсона и Э. Тай- лера. Аналогичные расчеты для сжимаемого течения выполнены М. Кшиво- блоцким (см. ссылку [м] в главе Х[). мы получим из предыдущей формулы Рвс. 15А2.
Распределение осредненного во времени квадрата скорости при периодическом течении в трубе (танну;лярный ееееата Ричардсона (мп в — расстояние ст стенки трубы; н = КН2я* — ссреднеииый ао времена квадрат скорости на большом расстоянии от степин. 407 сжимАемые нестАпионАРные погРАничные слОи 4 6. Сжимаемые нестациоиарные пограничные слои Быстрое развитие сверхзвуковой аэродинамики вызвало возрастающий интерес к сжимаемым нестационарным пограничным слоям. Такие пограничные слои возникают, например, в ударных аэродинамических трубах позади ударных волн или волн разрежения. Исследование нестационарных сжимаемых пограничных слоев необходимо также для определения сопротивления трения и теплопередачи быстро летящего тела, ускоряющего или замедляющего свое движение, и, возможно, изменяющего с течением времени вследствие нагревания температуру своих стенок.
Ниже мы рассмотрим два простых примера ламинарного нестационарного сжимаемого пограничного слоя. Первый пример будет касаться пограничного слоя позади ударной волны, а второй — пограничного слоя на неравномерно движущейся продольно Обтекаемой плоской пластине при переменной во времени температуре стенки. Желающих более подробно ознакомиться с нестационарными сжимаемыми пограничными слоями отсылаем к обзорным работам Э. Беккера (о) и К. Стю.артсона (ог). Для простоты предположим, что рассматриваемый газ идеален и имеет постоянную удельную теплоемкость и постоянное число Прандтля. Кроме того, будем считать, что вязкость пропорциональна абсолютной температуре .(Следовательно, в формуле (13.4а) гз = 1). В таком случае двумерный динамический и температурный пограничные слои будут описываться уравнениями (15.1) — (15.5) с указанными после этих уравнений граничными условиями.
Уравнению неразрывности можно удовлетворить, введя функцию тока оР (х, у, Г). Тогда составляющими скорости будут Ро дгу ро / д1г ду ~ и мы — —, "=- — ~ — + — ) Р ду' Р 1д ш!' (15.90) причем новую координату у=~ — Й, Г Р о Ро (15.91) можно назвать «эквивалентным несжимаемым» расстоянием от стенки.
Значение р, представляет собой подходящим образом выбранную для сравнения постоянную плотность (см. И.1 44 главы ХП1), у дауяаа Ч дзгиа 1. Пограничный слой позади ударной волны. Рассмотрим пограничный Ра уг га слой (рис. 15.13), образующийся нозади прерывной волны сжатия (ударной волны).
Состояние покоящегося газа до ударной волны будем отмечать х индексом О, а состояние газа позади гаииааа ударной волны вне пограничного слоя— хг= г -- = ггаг иг '~иггугииииоаг индексом оо, Ударная волна пусть имеет постоянную скорость сг'з. Далее, примем, что внешнее течение позади ударной волны не зависит от х н ц следовательно, будем пренебрегать обратным воздействием пограничного слоя на внешнее течение, которое возникает, например, в ударных трубах.
Исследование задачи показывает, что она приводится к подобным решениям, т. е. решения ее зависят не от трех переменных х, у, С а только от одной- 408 [гл. хч НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЦОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ единственной переменной У р — ЛР Ро ч= ~Г оо(о — ~ ) о 1/ оо(о — ~ ) (15.92) Приняв, что функция тока имеет вид оР(х, у, 1)=(/ 1/ то(1 — — )/(Ч), (15.93) мы получим следующее распределение скоростей в пограничном слое: и=(/ / (Ч). (15.94) Далее, примем, что распределение температуры имеет вид т = т 0(ч). (15.95) Введя выражения (15.94) и (15.95) в уравнения пограничного слоя (15.1)— (15.5), мы будем иметь для определения функций / (Ч) и д (Ч) обыкновенные дифференциальные уравнения /'+ —,' (ч — ~ ~/)/"=о, (15. 96) Рго+ 2 (Ч у /) о с т / (1597) с граничными условиями д= — — при Ч=О, т„ д =- 1 при Ч вЂ” — оо.
/=/ =о, /'=1, (15.98) Решения и/П = /' (Ч) уравнения (15.96) изображены на рис. 15.14, а. Параметр (/ /(/з вычерченного семейства кривых представляет собой меру напряженности ударной волны. Наибольшим из возможных значений параметра У /Уе является (бесконечно сильный скачок уплотнения). При к = 1,4 это значение равно У /Уа —— 0,83. Отрицательным значениям У /Уз соответствуют не существующие в действительности прерывные волны расширения, возникновение которых можно представить себе как результат на самом деле невозможной концентрации непрерывных волн разрежения. В частном случае с/ /о/з =- 0 получается пограничный слой на плоской стенке, внезапно приведенной в движение (первая задача Стокса, см. и. 4 з 1 главы У).
Из рис. 15.14, а видно, что толщина пограничного слоя позади скачка уплотнения больше, чем в задаче Стокса, т. е. через некоторый промежуток времени 1 — х//Уз после прохождения скачка уплотнения толщина пограничного слоя в определенном месте увеличивается больше, чем в задаче Стокса через тот же промежуток времени. В случае волн расширения происходит обратное явление. Решения линейного дифференциального уравнения (15.97), определяющего функцию д (Ч), можно представить в виде следующей линейной комбинации двух основных решений: "=0(Ч) — 1=" Ма'г(Ч) — ~ Ма'г(0)+1 — — )г(ч), (1599) 409 сжимАемые нестАционАРные пОГРАничные слОи где г(51) и г(у)) суть решения уравнений — г + — (т) — — 7) ге = — 27'", 1 1/ (7, Рг 2 '( 77в ) е 1 / (7 1 г — г + — (т) — — 1) г = 0 Рг 2( бг ) (15.1007 (15.101) с граничными условиями г'=О, г=1 при 51=0, (15.102) г=О, 6=0 при т1= со.
7 .( дг (п (7 йг йр ав ав (в (7 р г йр ()г ав (д7 5 — ", ггу7 в(у) Рис. (5Л(. Распределение скоростей и распределение температуры (уравнение ((5.(0677 в ламинарном пограничном слое позади ударной волны, распространяющейся с постоянной скоростью. По Г. Майрелсу (взяв Параметр У, (Уг характеризует напряженность волны. В этом случае д' (0) = О, т.
е. г (51) — = О, и уравнение (15.99) дает для равновесной температуры значение Т,=Т ~1+ Ма'г(0)~ . (15.103) При числе Прандтля Рг = 1 значение г (0) = 1. В этом случае равновесная температура тождественна с температурой торможения [см. уравнение (13.17)), При числах Прандтля, лишь немного отличающихся от единицы, по Г. Майрелсу Р") получаются следующие приближенные формулы: О,ов-, Для волн сжатия ( —,)0) г(0)=(Рг) в (15.104,' О 56- (-(с (ов( г,'О) =(Р ) Для волн расширения ( — <" 0) ( (7., ~ ((в (15.105) Тогда для распределения температуры получим окончательно Т вЂ” Т = Ма'Т г(у))+(Т вЂ” Т,)г(уО. (15.106) Решения уравнений (15.100) и (15.101) при числе Прандтля Рг = 0,72 изображены на рис.
15.14, б и 15.14, в. Значение г (0) есть мера равновесной температуры Т, стенки, т. е. температуры теплоизолированной стенки. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 1гл, ху Для коэффициента трения тир с) = Ри Г/о 2 находим сг'г/йе = 2/" (0), а для местного числа Нуссельта— г/Я (1 ) (15.107) (15.108) где Согласно Г. Майрелсу Р"), при числах Прандтля, близких к единице, получаются следующие приближенные формулы: Для волн сжатия (Г/ /(/з ) 0): с)'[/йе = 1,128 [/ 1 — 0,346— Из О,1О с) О ОО+, и', Мц = — ' йе (Рг) (15.109) (15.ИО) ДлЯ волн РасшиРениЯ ( У /1/з ( 0): с))/ йе=1,128'~/ 1 — 0,375— о 48+1 у' у (15.1И) (15.И2) йи= — 1йе (Рг=1), (15.
ИЗ) уже известный из аналогии Рейнольдса (см. и. 3 т 5 главы Х11). Рассмотренный пограничный слой позади ударной волны, движущейся с постоянной скоростью, представляет собой особенно простой частный случай потому, что посредством выбора системы координат, в которой ударная волна покоится, решение сводится к задаче стационарного движения. Сведения о более общих решениях позади ударных волн и волн расширения можно найти в работах Э. Беккера Р[, [о[, [о[, [1); а также Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
