Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 101
Текст из файла (страница 101)
2 4 (1+ —,' ) (1+й) 16 (//с~ — 1 (1+ — ) 3 )/зйз(1+й) (15.48) (/», /от р Вычислив по аткм формулам время г р для различяых й и умножив полученные значения иа (/, мы зайдем путь сотр = готрП, вройдеяяый эллиптическим цилиндром до момента начала отрыва. График аависимости этого пути от отношения осей Ь/а изображея яа рис. 15.2. Координата у той аа точки, в которой впервые начинается У отрыв, равна фр 4 при йэ ( —, 3 ' 4 при йэ)~ —. 3 ' Уотр=б а Уотр — =(в Ьз 3 (/сз — 1) Положив в первой из формул (15.48) Ч/ й = 1, мы получим опять формулу (15.46) для круглого цилиндра. При далъяейшем возрастании отношения й = Ь/а время до начала отрыва становится все меньше, а точка, в которой начинается отрыв, все больше и больше перемещается от конца оси а к концу оси Ь.
В предельном случае, когда Ь/а -» со, т. е. для пластины, постав- ЛЕННОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К НаПРаВЛЕНИЮ ПОтОКа, Гоар 0 И Уотр — Ь. СЛЕДОВатЕЛЬ- во,при поперечном обтекании пластины отрыв потока начинается йа ее кромках сразу после начала движения. /г с// дг ау //гцг/Уу~ гг 4а 4//Юг/// /3 г-я Ь Ркс. Гь.з. Путь са р, кроходкмма эяякаткчаскям цкаящсром до момента начала отрыва ярк экаааяком эаакмккоэеээм дэкжаккя. Аналогичным способом В. Толмин в своей геттингенской диссертации (1924) (ьт) рассчитал развитие во времени пограничного слоя на цилиндре, внезапно приведенном во вращение. В этом случае на той стороне цилиндра, на которой направление вращения совпадает с направлением течения, отрыва потока не происходит совсем.
2. Осесимметричная задача. Развитие пограничного слоя около тел вращения при их внезапном приведении в движение исследовано 3. Больтце в его геттингенской диссертации (э). Пусть мы имеем тело вращения, форма которого задана радиусом г(л) его поперечного сечения (см.
рис. 11.6), и пусть это тело в момент времени 1 = О внезапно приведено в движение в осевом направлении. Для пограничного слоя, образующегося при таком движении, мы имеем уравнения (15.2) и (11.27б). И теперь мы можем разбить 390 нестАционАРные погРАничные слои решение задачи на два зтапа: на определение первого приближения ио посредством уравнения (15 12) и на определение второго приближения посредством уравнения (15.13).
Так как уравнение неразрывности имеет теперь иной вид [см. уравнение (11.27б)), то функцию тока следует ввести посредством соотношений 1 дту 1 дф и= — —, и= — — —. г ду ' г дх Для самой функции тока возьмем выражение ф(х, д, 1) = 2 Рч т (гЩо (т)) +1 ~г(7 — ~та (Ц)+ (7' —" ~то(т))1+ ... ) (15 49) [ср. с уравнением (15.40); переменная тт имеет здесь свое прежнее значение (15.38)[.
Следовательно, для продольной скорости мы будем иметь ц 1'+1 ~ дх Г'т + дГ'то~ и, до', 1,т дг (15.50) Подставив выражение и = тг'ь; в уравнение (15.12), мы получим для определения ьо дифференциальное уравнение, совпадающее, как уже было сказано, с аналогичным уравнением (15.42) для плоской задачи. Далее, подставив полное выражение (15.50) в уравнение (15.13), мы будем иметь для определения второго приближения ьта и ьто дифференциальные уравнения ~та+ 2т1~та — 4Да = 4 (~о — 1 — ~~До)1 Ыо+ 2ЧИо — 4Дь= — 4~о~~ (15.51) или, после замены ~, "(0), ьта (0) и ь,о 0) их значениями, указанными выше, 1+1отр [ — „(1+ — ) +0,150 — — „, ] = О.
(15. 52) Э. Больтце вычислил в разложепии (15.49) функции тока по времени кроме членов Ьо и ьт еще два следующих члена. Пример: шар. Полученные результаты Э.. Больтце применил к исследованию развития во времени пограничного слоя па шаре при его внезапном приведеиии в движепие. Для шара мы имеем х 3 . х г = Л в1п —, (7 (х) — (Г вш Л т 2 В ' где Л есть радиус шара, а тг" — скорость набегающего потока.
Подставив эти значения г и (7 (х) в уравнение (15.52), мы получим 1+ 1т5731отр — — сов — = О. с граничными условиями ота — ьта — О, ьть — ьть =0 при тт = О, ~;,=О, До =0 при тт =. Оо. Уравнение для определения Ьт совпадает с уравнением для Ьт в плоской задаче. Уравнение для ьто было решено Э.
Больтце путем численного инте- грирования. Найденные значения ь;о и ~;о даны в таблице 15.1. Кроме того, иа рис. 15.1 изображен график зависимости ь;о от т[. Начальный наклон кривой ~;о(ц) в точке тт = 0 равен ~",о(0) = 0,169.
Для вычисления времени отрыва подставим в равенство (ди/ду)увар = 0 выражение и из равенства (15.50); мы получим уравнение ао (0)+оооо ~ д ьта (О)+ а ь[ь (0)[=0 391 внизйпнок возникновкник движиния Отрыв начинается прежде всего в задней критической точке, где соз (х1'гт) = = — 1. Следовательно, для определения момента начала отрыва мы имеем уравнение Если кроме членов ~е и Ь1 разложения функции тока использовать еще ,два следующих члена, вычисленных Э. Больтце, то вместо 0,635 мы получим более точное значение 0,589. Таким образом, при внезапном приведе.нии шара в движение отрыв пограничного слоя начинается в момент времени гетр = 0,392— (15.
53) Путь, который шар проходит до момента начала отрыва, равен з„, = П г„р = 0,392В, Рис. 15.3. Пограничный спой на кормовой апаране шаРа прв вневапнсм всанвинсвеиии движения после стрыва. Пс Э. Всльтпе 91. Шар лрсшел путь С,йв. .т. е. составляет по своей величине круглым числом 40% от радиуса шара. 'Точка отрыва перемещается от азимута 1р = я сначала быстро, а затем медленнее к азимуту 1р ж 110', определяющему положение точки отрыва при стационарном течении. Азимута гр ж 110' точка отрыва достигает через бесконечно большой промежуток времени. На рис. 15.3 изображена картина линий тока и распределение скоро- / ( стен для промежуточнои стадни, соответствующей прои- )у— уу я денному пути, равному 0,6Л.
Если радиус шара равен 10см, .а скорость ст'., = 10 слс/сел, то такой путь шар проходит в 0,6 сел. Толщина пограничного слоя дана на рис. 15.3 в увеличенном масштабе; для случая кинематической вязкости, равной т = 0 =-0,01 10 а лсЧсек (вода), это г увеличение примерно тридцатикратное. В замкнутом вихре скорости весьма малы.
Наибольшее возрастание скорости и наиболее интенсивное вращение частиц жидкости происходит снаружи от линии тока 'ф = О, отходящей из точки отрыва. Замена действительного разгона идеализированным разгоном в виде рывка допустима, очевидно, лиупь при условии, что время, в течение которого происходит действительный разгон, мало по сравнению с промежутком времени, после истечения которого пограничный слой впервые отрывается от тела. К. Г. Тирио в своей геттингенской диссертации (55) исследовал развитие во времени пограничного слоя на вращающемся диске.
Он рассмотрел два случая: 1) диск, находящийся в покоящейся жидкости, приводится рывком в равномерное вращение; 2) диск, вращающийся вместе с жидкостью, вне.запно останавливается. Конечное состояние первого случая соответствует решению В. Г. Кохрэна для диска, вращающегося в покоящейся жидкости (п. 11 з 2 главы У). Конечное состояние второго случая соответствует решению У. Т. Бедевадта для вращательного движения жидкости над 392 (гл. ху НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ й 3.
Развитие пограничного слоя при ускоренном движеиии Г. Блазиус рассмотрел плоскую задачу развития пограничного слоя во времени также. для случая постепенного разгона с постоянным ускорением и получил результаты, весьма сходные с приведенными выше для случая разгона рывком. Теперь для скорости потенциальногс течения мы имеем и(х, с)=О (15.54) (7(х, с) = сит(х) Для определения скорости течения вблизи тела мы можем воспользоваться по-прежнему способом последовательных приближений, т. е. представлением скорости в виде суммы (15.11) и последующим применением уравнений (15.12) и (15.13].
Взяв для функции тока выражение р(х, у, с) =-2' ['тс ~сто~о(т))+сете — ~с (т))+... ] т следовательно, приняв, что ите и(х, у, с)=у [с,;+се — ~„'+...), (15.55с мы получим для определения функций Ьо (т)) и Ьт (т)) дифференциальные уравнения 1о + 2Ч1о — 41о = — 4 ~т + 2Ч~ — 12~[ = — 4+ 4 Доз — ~о~о) с граничными условиями со=с,;=О, 4с=~,'=О при т)=О, г'=1, Ц=О при т)=со. (15.56) Для первого из уравнений (15.56) Г.
Блазиус получил решение ьо=1+ — [ т)е " +(1+2т)з) [ е ч т(т)~ 2 ~/л Он нашел замкнутое решение также для 5,'. (15.57) неподвижным основанием (5 1 главы Х). В другой своей работе К. Г. Тирио [зЧ рассмотрел обобщение этого случая, а именно случай, когда угловая скорость диска, равномерно вращающегося вместе с жидкостью, внезапно увеличивается или умеиыпается на небольшую величину. Исследование показало, что в результате такого внезапного изменения угловой скорости на диске образуется стационарный пограничный слой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
