Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(15.15) Составляющие и и и скорости в пограничном слое и давление р также разлагаются на осредненные по времени значения и на периодические составляющие, т. е. имеют место равенства и(х, у, «) =и(х, у) +и«(х, у, «), и (х, у, «) =у(х, у)+р«(х, у, «), р (х, «) = р (х) + р1 (х, «), (15.16) причем и, = и1 = р1 = О. (15.17) Подставив выражение (15.14) в равенство (15.6) и составив осредненные по времени значения, мы получим — д««а««1 ар П вЂ” + У1 — '= — —— Нх дх р дх (15,18) Вычтя это уравнение из уравнения (15.6), мы будем иметь — +У вЂ” +У,— +У,— — У,— = — —.
(15.19) д««« — д««1 дГ д««1 д««1 1 др1 д« дх дх дх дх р дх Аналогичным образом нз уравнения (15.2) при р = сопз«получим для осред- ненного движения уравнение — ди — ди — ~Ш дти и — +Б — = «« — 4-т —.+Р(х, у), дх ду Ых дух (15.20) где Р(х, У) =У,— — (и, — +д« вЂ” ) а««, г аи, ди т дх ( дх ду (15.21) приближенный способ можно применять также к решению уравнений периодического пограничного слоя.
Однако попытка вычисления более высоких приближений очень скоро приводит к неудобным для решения дифференциальным уравнениям. 3. Способ Ц. Ц. Линя для периодических внешних течений. Другой способ расчета нестационарных периодических пограничных слоев предложен , Ц. Ц. Линем ['з). Этот способ может применяться к задачам, в которых внешнее течение совершает периодические колебания. Он основан на осреднении во времени гндродинамических величин, входящих в дифференциальное уравнение внешнего движения (15.6), и на линеаризации уравнения, определяющего скорость колебаний в пограничном слое. Для определения осредненного течения сохраняется полное дифференциальное уравнение.
Если скорость содержит периодическую колебательную составляющую, то можно написать 382 ~гл. хе нестАциОнАРные пОГРАничные слОи а для колебательного движения — уравнение — = — +и— ди1 дйг дгиг дг дг дуг (15.23) Если произвести оценку порядка величин отдельных членов, то легко показать, что такое упрощение допустимо при условии, что характерная толщина 6,=Рà — '„', (15.24) составленная при помощи частоты колебаний, мала по сравнению с той тол- щиной пограничного слоя, которая существовала бы при стационарном внеш- нем течении. Следовательно, должно соблюдаться неравенство ( ~о )г~~1 (15.25) что практически ограничивает применение способа Ц. Ц.
Линя только к случаям высоких частот. Напомним, что с величиной бю определяемой равенством (15.24), мы уже встретились в и. 7 4 1 главы 'Ч при исследовании течения около осциллирующей плоской стенки. Уравнение (15.23), сходное с уравнением теплопроводности (5.17), описывает поведение осциллирующей составляющей и, профиля скоростей в пограничном слое и при заданной скорости 0'1 колебаний внешнего течения может быть решено, так как вследствие линеаризации колебательное движение стало независимым от осредненного движения. Осциллирующую составляющую и1 можно определить из уравнения неразрывности (15.1), которое также может быть разбито на два уравнения, а именно на уравнение для осредненного движения ди ди — + — =0 ди ду (15.26) и на уравнение для колебательного движения диг+ д г дг ду (15.
27) Сначала из уравнений (15.23) и (15.26) отыскивается решение иг (е, у, г), Р, (е, у, 1), затем по формуле (15.21) вычисляется функция Г' (х, у), и, наконец, решается дифференциальное уравнение (15.20) для осредненного движения и (х, у). Отметим, что уравнение (15.20), определяющее осредненное движение, отличается от уравнения стационарного пограничного слоя только присутствием добавочного члена — функции Г' (е, у). Эта функция физически может быть истолкована как дополнительная активная сила — подобно тому, как градиент давления при стационарном течении. В обоих случаях мы имеем дело с известными функциями.
Единственная разница состоит в том, что сред- +(" д"*'+ — 'ду'Н" д"-'+ 'ду') = = — + У вЂ” +(7г — + У,— — У,— +и —. (15.22) дб'г — дб'г дй' дб'г дй'г дгиг дг ди ди ди ди дуг Основное упрощение, на котором основан способ Ц. Ц. Линя, состоит в том, что в уравнении (15.22) сохраняются только три подчеркнутых снизу члена. Тогда уравнение становится линейным и принимает вид 388 ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ с граничными условиями ио=оо=О, ио =(С (х) То=Т,О (х) при у=О, То= Т при у=со. ний градиент давления 17ИЛйх «формируется» под действием пограничного слоя и не зависит от поперечной координаты у, в то время как добавочный член г'(х, у) зависит от нее. Вследствие наличия осциллирующих составляющих скорости осредненное течение отличается от того течения, которое получилось бы, если мы произвели бы осреднение внешнего течения с самого начала.
Эта разница проявляется в присутствии дополнительной функции г' (х, у) и представляет собой следствие нелинейности дифференциального уравнения. Как будет показано в главах ХУ111 и Х1Х, существенное свойство турбулентного течения состоит в том, что на стационарное главное течение налагаются трехмерные случайные колебания. Следовательно, при турбулентном внешнем течении происходит явление, аналогичное только что описанному. Обычно принято пренебрегать колебательным движением во внешнем течении и вести расчет так, как если бы зто течение было стационарным, т. е.
брать за скорость внешнего течения ьс (х) вместо У (х, С). Но это равносильно тому, что в уравнении (15.20) отбрасывается функция г' (х, у) и в результате получается осредненный профиль скоростей, отличающийся от профиля и (х, у). Из сказанного очевидно, что последовательность обоих агапов расчета, а именно решение уравнения и осреднение, отнюдь не безразлична для окончательного результата. 4. Разложение в ряд при слабом возмущеиив стационарного течения. Часто вестациоварвое течение в пограничном слое является реаультатом наложения ва стационарное течение слабых вестациоварвых возмущений. При условии, что зти возмущевия малы по сравнению со стационарным освоввым течением, можно разбить уравнение вестациоварвого погравичвого слоя ва нелинейное ураввеиие для стациоварвого течения и линейное уравнение для вестациоварвого возмущеввого движения. Извествым примером является течение в пограничном слое, возникающее при внешнем течении вида (с (х, с) = и (х) + е(с, (х, с) + ..., (15.
28) где е есть очень малое число. Важный частный случай чисто периодического внешнего течевия подробно исследовал М. Дж. Лайтхиллом (с'! Аналогичным образом можно провести ливеаризацию и в том случае, когда температура ва степке выражается уравнением Т, (х, с)=Т,„(х)+сТи,, (х, с) (15.29) или когда ва скорость степки валагаются небольшие вестациоварвые воамущевия (осциллирующее тело). Для исследования таких течений исходят из предположения, что решения ураввевий динамического и температурного погравичвых слоев имеют вид и (х, у, с) = из(х, у).+ зис(х, у, с)+азиз(х, у, с)-(-..., и (х, у, с) =го (х, у)+ еос (х, у, с)+ стао(х, у, с)+..., (15.30) т(, у, «=То(*, у)+еТ,(х, д, 0+ест (», у, с)-) ... Внесем оти выражения в уравнения (15И) — (15.3) и расположим отдельные члевы ураввевий по воарастающим степевям возмущающего параметра е.
Тогда иа условия, что для каждой степеви е каждое дифферевциальвое уравнение должно удовлетворяться по отдельности, мы получим при внешнем течении (15. 28) и при температуре стенки (15. 29) следующие уравнения (в предположении, что р = соподк Уравнения нулевого порядка (стациоиарвое основное течение) — ',"'+ф=а дио дио — д(С дзиа ио — + ао — =(С вЂ” +т— (15.31) дх ду дх дуз дТо дТо д'То ио — +го — =и | дх ду дуз 384 (гл. хч ннстАционАРнын погРАничныи слОи Уравнения первого порядка (чнсто нестацнонарное течение) — + — =О, диг ди« дх ду ди« диг диэ ди« диэ дуг — до'4 дбг дзиг — +из — +и« вЂ” + го — + о« вЂ” = — + Ц вЂ” + (Гг[ — +ч —, (15.32) дг дх дх ду ду дх дх дх дуз дт« дтг дтз дт« дТ« дзТ« ! — +ио — +и« вЂ” +оэ — +»4 — =ив ! д« дх дх ду ду дуз с граничными условиями и,=э,=о Т, = Т, (х, 4) т,=О при у=о, при у= оо и, = ((, (х, »), Уравнения второго порядка (нестационарные и стационарные течения) ! , ! (15.33) ! Сдиз доз — -1- — = О, дх ду диз диг дио д((4 дзиз — + и« вЂ” + оз — = ((4 — + т— ду ду ду дх дуз дТ« дтг дТо дзТ« — +о« вЂ” +оз — =ив ду ду ду дуз диз диз ди«диэ — +ио — +и, +из — +оэ д« дх дх дх дТ» дТ« дТ1 дТэ — + ио — + иг — + из — + ио дг дх дх дх было предложено Ф.
К. Муром Р«[, С. Острахом [441, Ф. К. Муром н С, Острахом [зг[, а также 3. М. Спарроу [44[ (см. также п. 2 1 6 настоящей главы]. 5. Подобные и полуподобные решения. Как мы знаем (3 2 главы У111), решения уравнений пограничного слоя при стационарном двумерном течении называются «подобными», если посредством подходящего аффинного преобразования две независимые переменные х и у могут быть сведены к одной- единственной переменной т). Совершенно аналогично решения уравнений пограничного слоя при нестационарном течении называются подобными в том случае, если три независимые переменные х, у и 1 могут быть сведены к одной- единственной переменной т). Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
