Основы теплопередачи (Михеев М.А.) (1013624), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Полученная таким образом зависимость является обшим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. После интегрирования этого уравнения окончательно получают аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и для всего рассматриваемого интервала времени. Такие дифференциальные уравнения могут быть составлены для любого процесса и, в частности, для процесса теплоотдачи.
Но так как теплоотдача определяется не только тепловыми, ио и гидродинамическими явлениями, то вся совокупность этих явлений описывается не одним, а системой дифференциальных уравнений. Рассмотрим эти уравнения подробнее. 1. Уравнение теплообмена. В основу расчета теплоотдачи, как было сказано, положена формула Ньютона (3).
Однако, чтобы по этой формуле определить Я, надо иметь значение коэффициента теплоотдачи а. Связь коэффициента теплоотдачи с условиями теплообмена может быть установлена из анализа этих условий на границе тела. В самом деле, так как через ламинарный пограничный слой жидкости тепло передается лишь путем теплопроводности, то согласно закону Фурье имеем: дп С другой стороны, по формуле (3) количество переданного тепла равно: Ц = (~г — т ) Г = абЫР. (Ь') Приравнивая друг другу правые части уравнений (а) и (Ь), получим: 1д( а = — — „-. йгдп ' (5) Это и есть дифференциальное уравнение тенлообмена, которое описывает процесс теплоотдачи на границах тела.
2. Уравнение теплопроводности. Чтобы найти коэффициент теплоотдачи необходимо знать температурный градиент, а следовательно, и распределение температуры в жидкости. Последнее может быть получено из дифференциального уравнения теплопроводности которое выводится на основе закона сохранения энергии аз1 ливчькгкнцнлльнык гглвнкния ткплоовмкнл 43 Выделим в движущемся потоке жидкости элементарный параллелепипед с гранями ах, ау и аг и, считая физические параметры 1, с и ( постоян- в ными, напишем для -него уравнение теплового балан- л са.
Цсли изменением давле- с е ния прейебречь, то согласйо йервому началу термодина- в мики количество подведен- У ного тепла равно измене- 1 в нию теплосодержания тела, Подсчитаем сначала при- ~ Ь, и ток тепла через грани элемента вследствие теплопро- е о.'э водности. Согласно закону с вх Фурье [5 1, уравнение (1)) количество тепла, проходящее за время сй в направ- флг. 17. К вылову лнффореалаальлении оси х через грань ного УРлваеанл теплоаРоволаости. АБО (фиг. 17), равно: "х = — "$-4'«-"('~ дг ,(а) а' через грань ЕгОН, имеющую температуру г+ — „Нх, за то еп же время равно: Вычитая почленно из равенства (а) равенство (Ь), получим: Щ„= ߄— Д„= 1 —.,ИхдуЫЫ~.
(с) Аналогично для направлений по осям у и е имеем: ~г да аде, =Л вЂ”, дхдудх 'а, аы (е) Общее изменение количества тепла в элементе объема г(х Иу дк равно сумме выражений (с), (Й) и (е), а именно: 1~(): г10х+ дЯ + юг = ( ' 2+ 2+ ) дх~Ь голд (1) КОНВЕКТИВНЫй ТЕПЛООБМЕН ~Г». 2 Вследствие притока тепла за время 222 температура зле- тзт мента изменится на величину — Аь, а теплосодержание на ит величину: Ы9 = ст „— тьхду2хеьхт. (й) Левые части выражений (1) и (й) равны, следовательно, равны и правые. Приравнивая их друг другу, получаем: Ст — ГХХГХУЙЫт = Х ( + — + — ) ддьХУ22ЫТ.
(Ь) После сокращения на а2хЫуИе222 и перенесения в правую часть ст уравнение 2"и) принимает вид: пт т адат дм дтт ~ дт гт ~ дх2+Оу2+дээ! (6) Й» дт дт дт дт — — +те — +те — +те от дт «дх уду» дз' * Полное изменение любой величины т (давления, скорости, плотности или температуры элемента движущейся жидкости) является следстч вием двух явлений †изменен во времени и изменения вследствие перемещения элемента иэ одной точки пространства в другую.
На основании понятий о полной производной имеем: дт дт ох дт ду дт дл йт дт +дх дт +ду и»+дает ' йх ду где и —, — „и синеют смысл компонентов скорости тэ«, ю и тв». Такую производную, связанную с движущейся материей или субстанпиея, называют»убсгланцлальноп производной и обозначают особым символом: »»т дт дт дт дт й» дт +~»дх+~у ду+ ~» да' ду Здесь д— представляет собой локальное, а ~тэ» д„—,+ юу д,, ) тэа дл! коллективное изменение величины т.
Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности Фу лье-Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды; здесь а= — — козффилт циент температуропроводности и рэ — оператор Лапласа. Так как Е 8 ] ДИФФЕРЕНН1ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕИЛООБМЕНА 45 то, подставляя это значение в уравнение (6), имеем: дт дт дт дг /дат дм дат В таком виде уравиеиие применяется при изучении процесса теплопроводности в движущихся жидкостях. В применении к твердым телам уравнение (6') принимает следующий вид: дт Гдлт дтт дат1 дт ~дхй+ дуя+ даэ( ' Последнее называется дифференциальным уравнением Фурье.
Наиболее простой вид этого уравнения получается вм для стационарного, одноразмерного процесса, а именно: - †,= О. ' иха Решая это уравнение, получим расчетную формулу для плоской стенки, которая выше, в 5 2, была получена нами на основе закона Фурье. й Фиг. !8. К выводу дифференциального уравнения движения жидкости. Фиг. 19. Сила трения, дей- ствующая на элемент движу- щейся жидкости.
3. Уравнет]ие движения. В уравнении (6) наряду с температурой 1 имеются еще три переменных: те, тв и тех Это говорит о тои, что температурноеполе в движущейся жидкости зависит от распределения скоростей. Последнее описывается дифференциальным уравнением движения, вывод которого основан на втором законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение. Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами 4х, Ыу и ~2е. На выделенный элемент действуют три силы: сила тяжести, сила давления и [Гл.
2 конвяктивный тяплоозмвн 46 сила трения. Найдем проекции этих сил на ось х (направление осей см. На фиг. 18). Сила тяжести приложена в центре тяжести элемента дн. Ее проекция на ось х равна произведению проекции ускорения силы тяжести й'„ м/сеи2 на массу элемента 2п =р22н, а именно: У„РИн = й; Рдх 22У Ж. (а) Сила давления определяется на основе следующих соображений. Если на верхней грани элемента удельное давление жидкости равно р кг[ж2, то на площадку 22уЫя действует сила рдуаг. На нижней грани удельное давление жИДКОСтн раВНО Р+ — 22Х И На ЭтУ ГРаНЬ ДЕйСтВУЕт СИЛа др — (р+ — „2гх) 2гу2ЫН, Здесь знак минус указывает на то, что др эта сила действует против направления движения жидкости.
Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме: Р ЫУ 22Я вЂ” (Р+ — '~ Ых) 22У аЪ = — —" Ых ИУ Ж. (Ь) дх ) дх (г+ — ыу) 2зх 2[я. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме: Ф я + — 2(у~ 2(х 2(з — з Ых Ыя = — Ых 22у 22я. ( дг гИ ду ду (с) Здесь з — сила трения на единицу поверхности и согласно ~М2 закону Ньютона з = р ' . Подставляя это значение в уравл2 'л пение (с), окончательно получим: (б) При движении жидкости всегда возникает сила трения.
Выражение для этой силы проще всего может быть установлено из рассмотрения плоского ламинарного потока, в котором скорость ги„изменяетсялишь в направлении оси у. В этом случае сила трения возникает только на боковых гранях элемента [фиг. 19). Около левой грани скорость движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у сила трения направлена против движения и равна — з п2х абая. Около правой грани элемента, наоборот, скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у+ау сила трения направлена в сторону движения и равна диФФеРенциАльные уРАВнения теилООБменА 47 Однако, такое сравнительно простое выражение получается лишь для одномерного движения.
В общем же случае, когда та„изменяется по всем трем направлениям, проекция силы трения на ось х определяется следующим выражением: (е) Суммируя теперь выражения (а), (Ь) и (е), получим проекцию на ось х равнодействующей всех сил, приложенных к объему Фо: Согласно второму закону механики зта равнодействующая равна произведению из массы элемента р сао на его ускоОв рение — *: Лх Ов» Гдвх двх двх двх 1 Приравнивая друг другу ($) и (д) и произведя сокращение на ~Ы, окончательно имеем: двх 7 двх дса„ дв,т (8) дв 7 дв дв дв =рй' — -+р ~ — + — +--) у ду ~ дхх дух даа ) (8') дв, 7 дв, дв, дв, ~ р- Е+р~ — '+ ' — '+ дт ~, х дх у ду х дх) др /дава д'в дхвх~ — Рах дх+~ ~дхо+ дуа + дха)' (8") 1 См. сноску Ва стр.
44. Все члены этого уравнения имеют размерность силы, отнесенной к единице объема, кг(ма. Таким же образом могут быть получены уравнения и для равнодействующих проекций сил на оси у и е, а именно: конвентнвный теплоовивн Такая система из трех уравнений (8) и есть дифференциальное уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости— уравнение Навае-Стокса. Это уравнение справедливо как для ламинарного, так н турбулентного движения.
В случае свободного движения жидкости сила давления ро рв р» — = — = — =О, а вместо силы тяжести в уравнение (8) войдет так называемая вг 4 подземная сила, опреде- 1 ляемая разностью удель- с о. ных весов нагретых и хоо лодных частиц жидкости. а1» у Пусть температура нагре.Ф' тых частиц жидкости рав- вв„" на»' С, температура хо- 'й лодных»о' С; р и р, — соотл с ветствующие этим темй пературам плотности. То- гда вес единицы объема л при температуре » будет равен ря, при температуре » — роя, а их разность Фнг.
20. К выволу лнффере шнального А — о(р р ) Введя коэф уравнения снвошностн. р — ро . ведя коэфициент теплового расширения жидкости р 1/'С и обозначая разность температур через ь|=» — »~ (температурный напор), получим: ро=р(!+рог) ир — ро= — ррах. Окончательно для подъемной силы единицы объема жидкости имеем следующее выражение: А= — ар~И, 1 для газов р = — и ье А= т." »" 4.
Уравнение сплошности. Так как в уравнении движения появилась новая неизвестная — давление р, то число неизвестных у нас получилось больше числа уравнений, т. е. система уравнений оказалась незамкнутой. Чтобы получить замкнутую систему, необходимо к имеющимся уравнениям присоединить еще одно — уравнение сплошности, которое выводится на основе закона сохранения массы. Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами Ых, ~у и Ые и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время г»е (фнг. 20). днФФеРенпилльнне уРАВнення тенлоо611енл 49 Вычитая из (Ь) (а), получим излишек массы жидкости, вытекающей из объема в направлении оси х, а именно: 11М, = — М",— М = д (рта,) глхглуг1еглт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
