Основы теплопередачи (Михеев М.А.) (1013624), страница 9
Текст из файла (страница 9)
а (с) Аналогичным образом для направлений по осям у и х имеем: д аМ = — (реа )Ыхг(уг(ЕЫс, ду ЫМ, = — (рп1,) Ых ау п1г 1(ъ (е) Полный избыток массы вытекающей жидкости равен сумме выражений (с), (1() и (е): 1~М=~а х(р~.) ~-~— „(р~,)+а,(р~,)1а~г( (() Г д, д а Этот избыток обусловливается уменьшением плотности жидкости в объеме а'и и равен изменению во времени массы данного объема. Следовательно: д 1 др дх (Р ")+ду(( у)+ дх(Р ~) ~ ая Произведя сокращение и перенеся все члены в левую часть равенства, окончательно получим.' аР +а(р~~„) 1 а(Ему) 1 д(ра1,) 0 дт дх + ду дх (9) Это и есть диф ререициальное уравнение сплошности или непрерывности в самом общем виде.
Для несжимаемых жидкостей р постоянна; в этом случае уравнение (9) принимает следующий вид: ди„. дух да1, +- -.-=0. дх ду дх (10) б. Краевые условия. Так как дифференциальные уравнения выведены на основе общих законов физики, то они описывают явления в самом общем виде. Существует бесчис- 4 Ы Л. М хее . В направлении оси х через грань АВС)') втекает масса жидкости М'„, равная: М„= р78, пу 1(е а11, (а) Через противоположную грань ЕГОН вытекает масса М',: М „- ~рп1,+ г(х ~ Ыуп' 11'ъ (Ь) [гл г к «игектившгв ткплооьман 50 ленное число процессов теплоогдачи, кьторые описываются указанными уравнениями, но отличаются друг от друга некоторыми частностями.
Чтобы ограничить задачу, из безчисленного количества выделить рассматриваемый процесс и определить его однозначно, т. е. дать полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математнческоЕ описание всех частных особенностей, которые называются условиями однозначности или краевыми усвовиями. Условия однозначности состоят из: !) геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела, в котором протекает процесс; 2) физических условий, характеризующих физические свойства среды н тела; 3) граничных условий, характеризующих особенности пр.- текания процесса на границах тела; 4) временных условий, характеризующих особенности протекания процесса во времени.
Условия однозначности могут быть заданы в виде числового значения, в виде функциональкой зависимости или в виде дифференциального уравнения. Пусть, например, рассматривается с зучай теплоотдачи при движении жидкости в трубе. В этом случае могут быть заданы такие условия однозначности: 1. Труба круглая, гладкая, диаметр трубы Ф и длина ее 1.
2. Рабочим телом, т. е. теплоносителем, является вода, которая несжимаема, ее физические параметры равны ),(г), с(г), ) (г) ну (г). Если же зависимостью физических параметров от температуры можно пренебречь, тогда они задаются просто в виде числовых значений ),, с, ) и Т. Если теплоносителем является сжимаемая жидкость (га1ы), то должно быть написано уравнение состояния этой жидкости. 3.
Температура жидкости при входе равна )'у а на поверхности трубы — 1 . Скорость при входе равна чв, а у самой стенки ге=О. Если же температура и скорость при входе не постоянны, то должен быть задан закон их распределения по сечению. 4. Для стаиционарных процессов временнйе условия однозначности отпадают. Итак, математическое описание процесса теплоотдачи состоит из: 1) уравнения теплообмена; 2) уравнения теплопроводности; 3) уравнения движения; 4) уравнения сплошности; 5) условий однозначности. Применение математического анализа в большинстве случаев ограничивается лишь формулировкой задачи, т.
е. составлением дифференциальных уравнений и установлением краевых условий. Решение же этих уравнений возможно лишь для некоторых частных случаев и при целом ряде упрощаю- тхогия подозия щих предпосылок. При решении задачи о теплоотдаче при движении жидкости в трубе, например, были приняты следую1цие упрощающие предпосылки: труба абсолютно гладкая, круглого сечения; жидкость несжимаемая; движение установившееся, ламинарное, с параболическим распределением 'скоростей; температура жидкости во входном сечении постоянна; физические параметры жидкости постоянны и от температуры не зависят'.
Так как эти предпосылки действительным условиям процесса не отвечают, то и полученнбе решение с опытом согласуется довольно плохо. Поэтому аналитический метод в изучении явлений теплоотдачи большого и решающего значения пока не имеет. 9. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ г', гэ г', гэ са (! 1) Здесь Г,, 1', и Ра — линейные РазмеРы одной фигУРы; 1н„ 1", и 1н — сходственные линейные размеры другой фигуры, подобной первой; с — коэффициент пропорциональности или константа подобия.
Условие (11) является математической формулировкой геометрического подобия. Оно справедливо для любых сходственных отрезков подобных фигур, например высот, медиан и др. 1 Подробнее о решении этой я других задач смотри и кннге Гребера н Эрка 11Ь!. нн Вследствие ограниченных возможностей аналитического метода большое значение в изучении процессов теплоотдачи имеет эксперимент. При постановке эксперимента обычно преследуют две цели: 1) подробно изучить рассматриваемое явление и 2) получить данные для расчета других явлений, родственных изучаемому. Однако, распространять результаты отдельного опыта закономерно только на так называемые подобные между собой явления.
Следовательно, в зависимости от целк эксперимента при его постановке необходимо заранее знать: 1) какие величины надо измерять в опыте; 2) как обрабатывать результаты опыта; 3) какие явления подобны изучаемому. На эти три вопроса ответсодержится в трех теоремах теории подобия. 1. Понятие и определение подобия. Теория подобия,это— учение о подобных явлениях. Впервые понятие подобия встречается в геометрии, откуда этот термин и заимствован.
Как известно, геометрически подобные фигуры, например, треугольники на фиг. 21, обладают тем свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорционалвзы, т. е. Конвгктт!Виыи '1гпЛООБыаи [г.е Если к тому же подобные фигуры ориентированы одинаково, то вследствие равенства соответственных углов их сходственные стороны между собой параллельны. Зная условия подобия, можно решить целый ряд практических задач.
На основании свойств подобия треугольников, например, можно определить высоту башни или ширину реки, не производя непосредственных измерений высоты и ширины. Установленное понятие подобия может быть распространено на любые физические явления. Можно говорить, например, о подобии движения двух потоков жидкости, т. е. о кинематическом подобии; о подобии сил, вызывающих подобные между собой движения — динамическом подобии; ч о подобии температур гд и тепловых потоков— тепловом подобии и г, т. д. Однако, чтобы использовать зти поняФег.
2!. Геометрически подобные тня, необходимо знать треугольники. условия подобия рассматриваемых явлений. Прежде всего в отношении физических явлений поняв!не подобия применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и аналитически описываются одинаковыми уравнениями как по форме, так и по содержанию. Если же аналитические описания двух каких-либо явлений одинаковы по форме, но различны по физическому содержанию, то такие явления называются аналогичными. Такая аналогия существует, например, между явлениями теплопроводности и диффузии.
Затем обязательной предпосылкой подобия физических явления должно быть геометрическое подобие. Последнее означает, что подобные явления всегда протекают в геометрически подобных системах. Далее, при анализе подобных явлений сопоставлять между' собой можно только однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.
Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность. В геометрически подобных системах сходственными точками называются такие, координаты которых удовлетворяют условию (!!). Два момента времени т' и че называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны преобразованием подобия, т. е. т"=с, .
И, наконец, подобие двух физических явлений означает п>добие всех величин, характеризующих рассматриваемые й 91 ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ 53 явления. Это значит, что в сходственных точ <ах простран- ства и в сходственные моменты времени любая величина р' первого явления пропорциональна однородной с нс1 величине рв второго явления, т. е. (12) Коэффициент пропорциональности с называется константой подобия или множителем подобного преобразования величины р; ни от координат, ни от времени с не ависит.
Так как многие физические величины, например скорость, температура, а также все физические параметры (плотность, коэффициент теплопроводности, коэффициент вязкости и др.) в различных точках потока могут иметь различные значения, то.для подобия явлений необходимо подобие всех этих величин во всем объеме рассматриваемых систем, т. е. подобие полей этих величин. Следовательно, для теплового подобия двух потоков жидкости необходимо, чтобы потоки были ограничены стенками геометрически подобной конфигурации и чтобы во всем объеме системы были подобны скорость, плотность, вязкость, температура и другие физические величины, характеризующие явления. По аналогии с уравнением (12) математическим выражением условия подобия полей плотности р, вязкости р, температуры г, скорости те, ускорения и и др.
для двух подобных систем являются следующие равенства: — с.. —, с. —, сг, с, и и' —,=сел с — —,=с, и т. д. (13) Однако, для сложных физических явлений, которые определяются многими величинами, константы подобия этих величин нельзя выбирать произвольно. При более глубоком При этом каждая физическая величина может иметь свою константу подобия с, численно отличную от других. Чтобы знать, к какой величине относится константа подобия, при каждой из них ставится соответствующий индекс.
Указанное выше свойство постоянства константы подобия ограничивается величинами только одной размерности. Если, например, лля отношения линейных размеров подобных тел константа подобия равна Г' ~- — ст, то для отношения их поверхностей г или объемов' У численные д" значения констант подобия будут другими, а именно: —,=с =с н Е=е=г а У" ~ — СР— С .
[!я 2 конввкгив!!ыя ткГ!лоовыан (а) Применяя згу формулу к сходственным частицам двух по- добных между собой потоков жидкости, прошедших подоб- ные пути, будем иметь: для первой системы для второй системы и!!! Г Деля почленно этн равенства друг на друга, получим: а! г ! (Ь) На основании определения подобия 1уравнение (12)] для рассматриваемого случая имеем следующие соотношения: м ! —,=г; — =с! н —,-=с . Подставляя в уравнение (Ь) вместо отношения величин их константы подобия из уравнения (с), получим: г! с с с = — нли ' =1. и С С (14) Это и есть то искомое условие, которым ограничивается произвольный выбор констант подобия с„, с, н с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
