Основы теплопередачи (Михеев М.А.) (1013624), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это условие можно представить в другом виде. Если в уравнение (14) вместо констант с подставить их значе- Ф ння из соотношений (с) и все величины со знаком (') сгруппировать в левой части уравнения, а со знаком (") — в правой, то получим: в~ в"к' 9/! — = — или — ' =1беш (одно и тоже). (15) Уравнение (15) иллюстрирует основное свойство подобных между собой систем — существование особых вели'(ин! изучении оказывается, что', кроме постоянства отношений однородных величин, прн подобии сложных процессов имеются еще дополнительные условия, обусловлиааемые первойтеоремойподобия.
Выявим зги условия на частных примерах. Рассмотрим общий случай движения жидкости. По определению скорость га есть отношение пути 1, пройденного частицей за время т, к атому промежутку времени, т. е. ТЕОРИЯ ПОЛОБИЯ Р=ти=т— С Применяя это уравнение к сходственным частицам двух подобных между собой систем, получаем: для первой системы Р'= т';; (е) Р" -=. ти — „. СС С для второй системы Здесь мы применим другой, чем в первом примере, способ выявления критериев подобия. Так как рассматриваемые системы между собой подобны, то иа основании определения подобия 1уравнение (12)1 все переменные второй системы можно выразить через переменные первой: Р"=с Г', т"=с т', те"=с те' и т"=с~'. (К) Подставляя этн значения в уравнение (1), находим: ЛС ОУ с Р'= (и) Вместо сис1емы уравнений (е) и (1) мы имеем теперь систему (е) и (11), составленную из переменных Р', т', те' и т'.
Из обоих уравнений эти переменные должны определяться одинаковым образом. Последнее возможно при условии тождественности уравнений (е) и (Ь), для чего необходимо, чтобы в уравнении (Ь) комплексы, составленные из констант подобия, сократились. На основании этого требования имеем: СРС ср- — — ™ — или „,, =1 С ус'я Т (16) которые для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение.
Это так называемые инварианты или критерии подобия. Критерии являются безразмерными комплексами, составленными из величин, характеризующих явление. Нулевая размерность является основным свойством критериев подобия н служит проверкой правильности их составления и вычисления. Критерии подобия принято называть именами ученых, работавших в соответствующей области науки, и обозначать символами, состоящими из начальных букв их фамилий, например, № (Нете1оп), )те (ссеупоЫБ), Еи (Еи1ег), Ми (Миеее11), нли просто болыпими буквами К. рассмотрим еще олин пример. Согласно второму закону Ньютона сила Р равна массе т, умноженной на ускорение и, т. е.
1гл 2 конвгктив>!пя тг>>лооы>е>! Если теперь вместо констант подобия с в уравнение (16) подставить их значения 'из уравнения (д) и все величины первой системы сгруппировать в левой части равенства, а величины второй — в правой, то будем иметь: Ртк Р Ч" Рв — или — = № = Ыеш, ' (17) >км' т "и>" >и>в где № — критерий Ньютона. Путем замены времени через скорость из соотношения (а) найденному критерию подобия можно придать другой вид, который для анализа стационарных явлений удобнее. Подставляя в уравнение (17) вместо ч отношение --, получаем: № =;„—, = — 1де>п.
Р> (17') Критерии подобия можно получить для любого физического явления. Для этого необходимо иметь только аналитическую зависимость между переменными рассматриваемого явления. Возможность описать процесс в виде аналитической зависимости является необх димой предпосылкой теории подобия. Без этого все учение о подобии свелось бы лишь к простому определению подобия. Следовательно, практическая польза математического описания явлений, хотя бы в виде неинтегрируемых дифференциальных уравнений, заключается в возможности установления условий подобия для этого явления.
Критерии подобия, полученные из дифференциальных уравнений, составленных для любого элел>ен>па системы, справедливы и для всего обьема. Это положение лежит в основе практического применения теории подобия. Установление связи между константами подобия и вывод выражений для критериев подобия составляет содержание первой теоремы подобия. В общей форме эта теорема формулируется так: подобные между собой явления имею>п одинаковые критерии подобия (теорема 1..ьютона).
Вторая теорема подобия устанавливает воэможность представления интеграла, как функции от критериев подобия дифференциального уравнения (теорема Федермана 1881- Букннгама) На основании этой теоремы любая зависимость между переменнымв, характеризующими какое- либо явление, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия К„К., К„: (18) 71К„К„..., К„) =6. Зависимость такого вида 118) называется обоб>ценным или кршпериальным уравнением.
Так как для всех подоб- теОРия подогия ных междч собой явлений критерии подобия сохраняют одно и то же значение, то и критериальные зависимости для них одинаковы. Следовательно, представляя результаты какого-либо опыта в креипериях подобия, мы получим обобщенную зависимость, которая справедлива для всех подобных между собой явлений, До сих пор рассматривались свойства подобных между собой явлений, когда подобие уже существует. Однако, возможна и обратная постановка вопроса: какие условия достаточны, чтобы явления были подобны. На такой вопрос ответ дает третья теорема подобия, которая формулируется так: подобны те явления, условия однозначности которых подобны„ и критерии, составленные из условий однозначности, численно одинаковы (теорема акад. М.
В. Кирпичева и А. А. Гухмана [33]). На основании этой теоремы оказывается необходимым особо выделить критерии, составленные только из величин, входящих в условия однозначности. Такие критерии называются определяющими. Инвариантность (одинаковость) определяющих критериев является условием, которое должно быть выполнено для получения подобия. Одинаковость же критериев, составленных из других величин, не входящих в условия однозначности, так называемых, неопределяющих критериев, получается сама собой, как следствие установившегося подобия. В изложенных трех теоремах содержится ответ' иа поставленные выше три вопроса' (стр. 51).
На первый вопрос о том, какие величины надо измерять в опыте, отвечает первая теорема — в опытах нужно измерять все те величины, которые годер гнатся в кргипериях подобия изучаемого процесса. На второй вопрос о том, как обрабатывать результаты опыта, отвечает вторая теорема: резувьтагпы опыта необходимо обрабатывать в критериях подобия, и зависимость между ними представлять в виде критериальных уравнений. На третий вопрос о том, какие явления подобны изучаемому, ответ дает третья теорема: подобны те явления, у которых подобны условия однозначности и равны определяющие кригперии, Благодаря этим ответам теория подобия по существу являегпся теорией эксперимента [32].
Ее значение особенно велико для тех дисциплин, которые в основном базируются на эксперименте. Именно таковой является учение о тепло- обмене. Теперь подробнее рассмотрим применение теории подобия к анализу процессов конвективного теплообмеиа. Так как последние описываются системой механических и теплр- конвективный теплоовиен 1Г в 58 дев'„дсву дх' ду' да' уравнение движения' , д~'»+ ~' ~ д~'х+ тс, дщ'л+ ~ дсв'л~ дк р~ хдх' Уду' а дх') Р ьх дх'+ 1, дх'а + ду'я + дала 1 у (а) и для второй системы соответственно Так как рассматриваемые процессы подобны, то из определения подобия (уравнение (12)1 имеем: — ';=с х' у' а' ' як ы' ег з (с) На основании соотношений (с) все переменные второй системы могут быть выражены через переменные первой, а именно: =сзз, тс =с тс и т д.
(б) а Ради сокращения выкладок здесь уравнение движения Навьв. Ьтокса написано лищь кля проекции на оса х. вых уравнений, то условия механического и теплового подобия мы рассмотрим раздельно. 2. Механическое подобие., Закон механического подобия определяет собой условия, при которых в геометрически подобных системах осуществляются подобные движения. Рассмотрим ьти условия для случая движения несжимаемой жидкости. Пусть имеются две подобные между собой системы. Все величины, относящиеся к первой из них, будем отмечать одним штрихом, а ко второй — двумя. Тогда для первой системы имеем следующие уравнения: уравнение оплошности тео!'!!я подогия Подставляя значения (т() в уравнения (Ь), получим': " (' " +' + ',') = 0, е л х с! дх' с!а, дх'а ду'а да'т ) сс в с с с -' — =с г = — я= — ' с с с а л с с с Рассматривая члены этого соотношения попарно, имеем: Из (1) и (2) — '=-'- "- нли — ' =1. (!9) Из (2) и (3) ™ =с,с или -л-' —.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
