Мухачёв Г.А. Щукин В.К. - Термодинамика и теплопередача (1013614), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Уравнения движения значительно упростятся, если предположить, что силы вязкости (трения) имеют существенное значение только в пределах пограничного слоя, а в остальной части потока ими можно пренебречь. Эта гипотеза была выдвинута в 1904 г. Л. Прандтлем и в большом числе практически важных случаев (при малой вязкости и большой скорости движения потока) хорошо согласуется с опытом. Гипотеза Прандтля позволила преодолеть математические трудности при решении уравнений движения и энергии. Она послужила основанием для создания теории пограничного слоя, которая используется для аналитического определения напряжения трения на поверхности стенки и теплоотдачи. Для сложных задач используются численные методы решения уравнений пограничного слоя.
Во многих случаях натуральный эксперимент остается единственным способом получения закономерностей, определяющих теплоотдачу. Расчетные соотношения теплоотдачи, полученные на основании аналитического метода, обладают наибольшей общностью. Натуральный и математический эксперименты позволяют определять коэффициенты теплоотдачи только для конкретных (заданных цифрами) краевых условий. Для того чтобы результаты экспериментов можно было использовать для расчетов не только исследованных явлений, но и всех явлений, подобных исследованным,' их представляют в форме уравнений подобия. 32.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ К ЯВЛЕНИЮ ТЕПЛООТДАЧИ При постановке натурального или математического эксперимента по теплоотдаче и обработке его результатов на основе теории подобия необходимо знать числа подобия, которые войдут в уравнения подобия. Система .дифференциальных уравнений, описывающих явление теплоотдачи (2.15), (2.22), (2.32) и [2.35), позволяет выявить структуру этих чисел. Из дифференциального уравнения теплоотдачи в $2.6 было получено число Нуссельта, Получим числа подобия из остальных 294 уравнений, описывающих теплоотдачу при стационарных условиях. Для двух сходственных точек подобных между собой систем уравнение (2.15) при др=О и дУдт=О запишется в виде дт', ду, дг',г дп' дп' дгг~ и' +и' +и' =а ~ — + + — ); дх' " ду' * дх' ~ дх'г ду'г дх'г ) (5.1) дГ .
дг» дг" „I дм дгт" дгг" и„" — +и' — +и =а"~ — + + — ). дх" " ду" " дх" ( дх"г ду г дх г )' (5.2) Обозначим константы подобия: С— аг' а'х — — С,= —; (5.3) у Ю" х" С,— Г х' Заменим параметры второй системы, входящие в уравнение (5.2), параметрами первой системы с помощью равенств (5.3). Преобразование вторых производных выполняется так: дМЯ д дга д дСф Сг д дг дхРа дх" дх" дСгх' дСгх' Сг дх' дх' Сг дгг' Сг дхг После преобразования уравнение (5.2) получает вид СаСг Р , дг' , дн , дн Са 1 " дх' " ду' дх' / Тождественность уравнений (5.1) и (5.4) позволяет заключить, что С Сг/С,=1.
Следовательно, ж'~' в "1" ж! — или Ре= — =Ыеш, а' а а где Ре — ч и с л о П е к л е. Анализ уравнения движения для стационарных условий позволяет получить еще ряд чисел подобия: Ец=; Ке= —; Ог= у рИ, раз а аз где Еп — число Эйлера; Ке — число Рейнольдс а; Пг— ч и с л о Г р а с г о ф а; ч — коэффициент кинематической вязкости; д — ускорение свободного падения; р — коэффициент объемного расширения; И=1~ — 1 .
Число Грасгофа получается из уравнения движения, которое при отсутствии вынужденного перемещения жидкости преобразуется с помощью выражения (2.33). Число Эйлера обычно представляют в форме Ец=Лр/(ри'), где Ьр — перепад давления на участке канала. Величина Лр определяет скорость движения, влияние которой на коэффициент теплоотдачи учитывается числом Ке. Поэтому число Еп не входит в уравнение подобия для определения числа )чп. Из уравнения сплошности чисел подобия не получается. Анализ краевых условий позволяет выявить параметрические числа подобия„представляющие собой отношения двух величин одинаковой природы: К;((= 1, 2,...).
При исследовании теплоотдачи вместо числа Пекле часто используют ч и с л о П р а н д т л я, равное отношению чисел Пекле и Рейнольдса: Ре е ~ср вс Рг— ке а Удобство использования этого числа состоит в том, что оно определяется только физическими свойствами теплоносителя. Вместо числа Хи иногда используют ч и с л о С т а н т о н а 81= — = Хи а кеРг срв Для турбулентных потоков числа подобия должны включать осредненные по времени характеристики процесса.
Поэтому для получения чисел подобия необходимо использовать уравнения движения и энергии, записанные через осредненные и пульсационные составляющие параметров. Так, из уравнения движения кроме рассмотренных выше чисел подобия появляются безразмерные комплексы еа" /твз; амтв' /гас (5.5) где в,", и„Ъ~„' — осредненные по времени произведения пульсационных составляющих скорости, зависящие от координат. Появление дополнительных безразмерных комплексов, не содержащихся в краевых условиях, вносит неопределенность в задачу о турбулентных течениях.
Поэтому, следуя Карману, предполагают, что при изменении осредненных скоростей пульсационные скорости изменяются подобным образом, т. е. в подобных явлениях комплексы типа (5.5) остаются неизменными, а в уравнениях подобия изменяются пропорционально комплексам, состав- ленным из осредненных по времени величин. Это позволяет не вводить их в уравнения подобия, предполагая, что их количественные характеристики отразятся на числовых коэффициентах этого уравнения.
Таким образом, уравнения подобия для турбулентных потоков содержат те же числа подобия, что и уравнения для ламинарных потоков, только эти числа включают осредненные параметры потока. Опыт использования такой концепции при анализе подобия в условиях турбулентного течения подтверждает ее справедливость. При исследовании простейших явлений теплоотдачи, для которых выше был проведен анализ подобия, уравнение подобия имеет вид Ип=~ (Ке, Ог, Рг, К;).
Числа подобия, входящие в правую часть уравнения подобия, учитывают влияние различных факторов на коэффициент теплоотдачи и являются критериями подобия, Критерий Рейнольдса отражает влияние вынужденного движения, критерий Грасгофа— влияние свободного движения и критерий Прандтля — влияние физических свойств жидкости на коэффициент теплоотдачи. Параметрические критерии представляются в виде соотношения линейных размеров системы или соотношения физических коэффициентов при температурах жидкости и стенки.
При развитом турбулентном течении влиянием свободной конвекции на теплоотдачу часто можно пренебречь, и тогда число Грасгофа из уравнения подобия исключается. При отсутствии вынужденного движения число Рейнольдса не входит в уравнение подобия. Критерий Прандтля для газов изменяется не существенно в значительном диапазоне изменения температуры. Поэтому уравнение подобия для конкретных газов может не включать критерия Рг, его среднее значение войдет в постоянную уравнения. Для удобства обработки результатов экспериментов уравнение подобия принято представлять в виде степенной функции 1ч и = сЯе~б г Рг~Кг~~ где с, Й, т, и, э; — цифровые коэффициенты.
Размер 1, входящий в числа подобия, называется определяющим. При обобщении результатов эксперимента по средней теплоотдаче в качестве определяющего выбирается характерный размер системы, например для теплоотдачи в трубах в качестве определяющего размера часто выбирают диаметр. При исследовании местных коэффициентов теплоотдачи в качестве определяющего размера выбирается координата, характеризующая местоположение участка, где исследуется местный коэффициент теплоотдачи. Поэтому относительные координаты в явном виде в уравнение подобия не включаются.
Температура не входит в числа подобия, но от ее величины зависят физические свойства теплоносителя. В системе, где проис- 297 ходит теплоотдача, температура жидкости изменяется как вдоль омываемой поверхности, так и в поперечном направлении.
В соответствии с температурой изменяются и физические свойства жидкости. При определении значений чисел подобия в процессе обработки опытных данных невозможно учесть всю совокупность возможных значений физических параметров жидкости в системе. Поэтому условно этн физические параметры выбираются по какой-либо одной температуре, а влияние этих параметров в соответствии с температурным полем всей системы учитывается в уравнении подобия параметрическими критериями подобия.
Температура, по которой выбираются физические параметры теплоносителя, входящие в числа подобия, называется определяющей. В качестве определяющей можно выбрать среднюю температуру жидкости /ь среднюю температуру стенки / или среднюю температуру пограничного слоя / = (/ +/~)/2. Наиболее часто средняя. температура теплоносителя принимается как определяющая. При использовании уравнений подобия в качестве определяющих должны быть выбраны та же температура и тот же размер, которые использовались при обработке опытных данных.
Числа подобия в уравнении снабжаются индексами, указывающими вид определяющей температуры. Например, если за определяющую выбрана температура /ь числа подобия имеют индекс /. Иногда индекс вводится также для обозначения определяющего размера. Числа подобия, подсчитанные по определяющей температуре, не могут учитывать влияния полей физических параметров на процесс, поэтому составленные из них уравнения подобия правильно описывают явление теплоотдачн только прн небольших температурных напорах. То же можно сказать о теоретических формулах для коэффициентов теплоотдачи, полученных в предположении о независимости теплофизических свойств от температуры. Влияние неизотермичиости иа коэффициент теплоотдачи можно учесть введением в уравнение подобия параметрических критериев, отражающих изменение физических свойств в системе Кр= ~ц/~гщ Ка Х~фю н т д В ограниченном диапазоне температур соотношение физических свойств при температурах жидкости и стенки можно выразить через соотношение температур в некоторой степени.
Поэтому влияние неизотермичности на теплоотдачу в уравнении подобия можно учесть множителем е,=(Т~/Т )г. М. А. Михеев предложил использовать для этих целей вместо соотношения температур соотношение чисел Прандтля при температурах жидкости и стенки. Предложенная им на основе опытных исследований формула а,= =(Рг~/Рг )'м удовлетворительно отражает влияние неизотермичности на теплоотдачу капельных неметаллических жидкостей, но неприемлема для газообразных теплоносителей. ' 298 $ 5.3. СВЯЗЪ МЕЖДУ ТЕПЛООТДАЧЕЙ И ТРЕНИЕМ Взаимодействие потока жилкости с поверхностью твердого тела сопровождается молекулярным и конвективиым переносом импульса н теплоты по нормальному к стенке направлению.
Эти процессы переноса осуществляются одними и теми же материальными частицами. Поэтому трение на поверхности теплообмена и перенос теплоты через эту поверхность оказываются связанными между собой, Рассмотрим стационарное безнапорное ламинарное течение жидкости с физическими свойствами, не зависящими от температуры, при отсутствии массовых сил в системе. Если ось х совме,.тить с поверхностью, с которой взаимодействует поток, то проекцию уравнения движения (2.32а) на эту ось с учетом указанных упрощений можно привести к следующей форме: дгел дюх дю, тв„= + таз = + тп,: = зс дх " ду дг 1 д зюх + датах + датах д' дуз (5.6) дг дГ дз а тп — + таз + та, — — = — Х дх ду дл 1 (5.7) Здесь 1=(1 — 1 )/(/г — / ), При и=а, или, что то же самое, Рг=1, уравнения (5.6) и (5.?) тождественны относительно величин гй„и 1, а граничные значения этих величин численно одинаковы: на поверхности тепло- обмена 7=У,=О, а вдали от этой поверхности 1=г5„=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
