Мухачёв Г.А. Щукин В.К. - Термодинамика и теплопередача (1013614), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Следовательно, (5.8) ю гу — г,„ Из этого равенства следует, что при рассмотренных выше условиях распределения величин тн„=/(п) и 1 — 1 =гр(п) в одной и той же системе подобны. Здесь Ы =та /гп; х=х/1; у=у/1; йг г/1; гп — скорость потока вдали от стенки; 1 — характерный размер системы. При стационарном процессе теплоотдачи в ламинарнотекущей жидкости без внутренних источников теплоты с теплофизическими свойствами, не зависящими от температуры, распределение температуры около поверхности теплообмена определяется дифференциальным уравнением энергии (2.15), которое можно привести к виду (5.10) Почленное деление уравнений (5.9) и (5.10) дает ( д р / д и ) 'се и (да~к(дл)„ Дифференцированием выражения (5.8) легко получить (дада)„р гг — г~ (дед.!дп)„р м С учетом этого равенства из уравнения (5.11) найдем Л д=т Е и м (5.11) (5.12) Из этого выражения могут быть получены конкретные формулы связи коэффициента теплоотдачи с коэффициентом сопротивления трения при внешнем обтекании тел сг или при течении жидкости в канале $.
Если для анализа связи между теплоотдачей и трением использовать дифференциальные уравнения энергии и движения, записанные для турбулентного течения, то при тех же упрощающих предпосылках уравнения, записанные в безразмерной форме, оказываются тождественными, а распределения скоростей и избыточных температур подобными при условии ср(в+9,)=Л+Л,. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы Рг=1 и Рг,=ср,/Л,=1 (Рг,— турбулентное число Прандтля). Теоретическое исследование двумерного потока жидкости, выполненное с использованием длины пути перемешивания, предложенной Прандтлем, показало, что всегда Рг,ж!. Экспериментальное измерение этой величины подтверждает, что она близка к единице.
Следовательно, выражение (5.8) может применяться для турбулентных потоков без каких-либо дополнительных ограничений. Используем подобие скоростных и температурных полей для получения количественной связи между интенсивностью теплоотдачи и трением. В непосредственной близости от стенки теплота передается через жидкость теплопроводностью и потому плотность теплового потока может быть оценена законом Фурье д =Л~,' ) (5.9) Напряжение трения на поверхности выражается через градиент скорости у поверхности стенки и динамическую вязкость по закону Ньютона При внешнем обтекании тел напряжение трения определяется через коэффициент сопротивления трения выражением ую'„ (5.13) а плотность теплового потока г/„— из формулы Ньютона (1.10). Подстановка этих значений т и г/„в формулу (5.12) дает а= — У вЂ” тв или )т(п„= — У Ке„, (5.14) 2 т 2 где 1чи„=ах/Х; Ке„=ш х/т.
Влияние физических свойств жидкости при Рг~1 можно учесть в этом уравнении множителем Рг". Окончательно для внешнего обтекания тел получается )ч)п„= ~ Ке Рг". (5.15) При течении жидкости в т р у б а х и к а н а л а х температура 1г и скорость га в формуле (5.12) заменяются на средние значения (возможность этой замены обусловлена подобным распределением скоростей и избыточных температур). Для этого случая т и д выражаются формулами г,„= — ' рю~; (5.16) ~у = а ( гу — т' ). Подстановка этих выражений в (5.12) Х а= — та или )т(и= в где гчп=ааг/Х; Ке=шй/т. Распространяя полученное решение на тельно получим (5.17) позволяет получить — где, в в случай Ргчь1, оконча- 1ч и = — зсерга в в (5.18) Теоретические и опытные исследования показывают, что в фор. мулах (5.15) и (5.18) и='0,33...0,43.
й В4. ДнффНРВНЦИАЛЬНЫН УРАВНИНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ При изучении теплового взаимодействия потока с поверхностью стенки различают динамический и тепловой пограничные слои *. Первый из ннх прсд- 301 ч При изучении некоторых явлений теплоотдачи используется также понятие диффузионного пограничного слоя, который представляет собой пристенную область с существенным изменением концентрации какого-либо вещества. ставляет собой пристенную область с существенным изменением продольной скорости, второй — с существенным изменением температуры. Внешняя граница пограничного слоя условна. Толщиной пограничного слоя условились считать расстояние от поверхности твердого тела до поверхности, где продольная скорость (избыточная температура) составляет 9972 от скорости (избыточной температуры) невозмущеиного потока.
Толщина динамического пограничного слоя обозначается через б, теплового — через б,. Теоретический анализ показывает, что при ламинарном пограничном слое в б)'б,= Ргч . (5.19) Следовательно, при Рг=! толщина теплового и динамического пограничных слоев одинакова. При Рг(1 (такое значение числа Рг характерно для газов) тепловой пограничный слой толще динамического, а при Рг)1 — наоборот. Как будет показано ниже, при больших значениях числа Рейнольдса толщины динамического и теплового пограничных слоев будут небольшими. При малой толщине динамического пограничного слоя давление по всей его толщине можно считать постоянным (др/ду=О).
Расчетные формулы для определения коэффициента теплоотдачи могут быть получены на основе теории динамического и теплового пограничных слоев. Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя получаются на основе дифференциальных уравнений движения и оплошности. Получим дифференциальные уравнения л а м инарного пограничного слоя. Для двумерного стационарного несжимаемого потока жидкости, в котором можно пренебречь влиянием гравитационных массовых сил на распределение скоростей в системе, уравнение движения в проекции на ось х, как это следует из (2.32), запишется в виде к +рту к +р~ .г+ х) (529) днах дтих др ( дтмх д'юх Х дх " ду дх ( дх2 ду2 ) Скорость ш„изменяется в пределах пограничного слоя от О до ш .
Поэтому значение производных можно записать в виде тв дзвтх д дюх ю ду б ду2 ду ду б2 Аналогично по оси х изменение скорости от О до ш может произойти на длине, равной характерному размеру 1. Поэтому дтвх те дзщх зи н (5.22) дх дхз Гг з Само выражение (б.!9) будет получено в следующей главе, 302 Из предпосылки о малой толщине пограничного слоя следует, что б((1, поэтому дт„, дг, „ дхг дуг (5.23) Анализ порядков величин, которые входят в уравнение движения, записанное для оси у, позволяет привести это уравнение к виду (5.26) зоз =О.
(5.24) ду Таким образом, для двумерного пограничного слоя давление зависит только от координаты х. С учетом этого вывода и неравенства (5.23) уравнение (5.20) можно записать в форме дх ду дх дуг Уравнение сплошности для двумерного несжимаемого пограничного слоя записывается в виде ~~~с дх ду Аналогично получается дифференциальное уравнение л а мин арного теплового пограничного слоя. При двумерной постановке задачи и стационарных условиях теплообмена без внутренних источников теплоты дифференциальное уравнение энергии (2.15) можно представить так: срг Анализ порядков величин для производных температуры по координатам позволяет заключить, что при. небольшой толщине теплового пограничного слоя (5.28) С учетом этого уравнение (5.27) можно переписать в виде дг дг дтг суутв — +с уп~„— =Л вЂ” .
(5.29) Р к д„д У ду дуг Это уравнение включает составляющие скорости потока. Поэтому тепловой пограничный слой описывается системой дифференциальных уравнений, в которую кроме уравнения (5.29) входят уравнения (5.25) и (5.26). Уравнения динамического пограничного слоя используются для определения напряжения трения на поверхности теплообмена, по которому на основе зависимости между теплоотдачей и трением находится коэффициент теплоотдачи.
Уравнение теплового пограничного слоя используется для оценки распределения температур с последующим определением теплового потока и коэффициента теплоотдачи. й 5.5. ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ дх ду дх ду ~, ду / ду (5.31) Следуя Рейнольдсу, предположим — рчв' аг'=Р, = ㄠ— дгвх у (5.32) 304 Ляминяриый погрвничный слой теряет устойчивость и начинает переходить в турбулентный нэ рзсстоянни х,р от начала его обрвзоввння (см.
рис. 51). Величина х,р определяется по значению Немы — — ы х„р/т. Величина цех„р определяется экспериментальным путем. Хотя имеющиеся опытные данные не дают всеобьемлющей информации для выбора этой величины, но позволяют выявить факторы, ее определяющие. На плоской поверхности обычно считается Ке„„р — — 5 10'. Эта величина реализуется при степени турбулентности в набегающем потоке Тнж0,01. При изменении Тп от 0,03 до 0 величина Ке,р изменяется от 10' до 3 10'.
Шероховатость стенки возмущает поток и способствует уменьшению Ке „„. Многочисленные опыты показывают, что продольный градиент давления в потоке оказывает существенное влйяние на величину Ке,„р, уменьшение давления по потоку (отрицательный градиент давления) способствует стабилизации пограничного слоя и увели. чению Ке„ю тогда как положительные градиенты давления дестабилизируют пограничный слой и способствуют более раннему переходу ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Неизотермичность также влияет на величину Ке,„р.
увеличение Т (Т~ ведет к снижению Ке,„р. Получим дифференциальные уравнения т у р б у л е н т н о г о погранично го слоя. Дифференциальное уравнение движения ламинарного пограничного слоя (движение безотрывное, стационарное, несжимаемое и двумерное, массовые силы отсутствуют) при переменной вязкости имеет вид дщх дых др д / дых '1 риз„— + ревя — —— — — + — ~ Р— "). (5.30) дх " ду дх ду ~ ду ) После замены актуальных значений парамегров на сумму осредненных н пульсационных значений это уравнение приводится к виду где 1ьт — коэффициент турбулентного переноса количества движения; т,— турбулентное касательное напряжение. Подстановка (5.32) в (5.31) позволяет получить дифференциальное уравнение движения турбулентного пограничного слоя ршх +ра~я " = — ~ + ) (р+Р,) " .
(5.33) дх ду бх ду ~ ду Величина 1ь, может превышать 1ь в 1О" ...10' раз. Дифференциальное уравнение оплошности для турбулентного пограничного слоя имеет такой же вид, как и для ламинарного: (5.34) дх ду Дифференциальное уравнение энергии для турбулентного двумерного теплового пограничного слоя в несжимаемой жидкости (без учета диссипативных потерь) приводится к виду дх ду ду Л ду / ду (5.35) Полагая — дГ рвите г'= — Л, =,у„ ду (5.36) уравнение (5.35) перепишем в виде рслтух + рслтля = ~(Л+ Л,), (5.37) дх ду ду 1 ду где Л, — коэффициент турбулентного переноса теплоты; д, — плотность теплового потока, обусловленная турбулентным переносом теплоты. По значениям 1х, и Л, можно вычислить турбулентное число Прандтля Рг,=сл1хт/Лт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
