Мухачёв Г.А. Щукин В.К. - Термодинамика и теплопередача (1013614), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(4.32) Аналогичные решения задач о температурном поле и количестве переданной теплоты в нестационарных условиях теплообмена, а также графики, облегчающие их использование, име- Рис. 4.5 ются для бесконечно длинного цилиндра и для шара. В качестве характерного размера для этих тел выбран радиус. Результаты решения задач нестационарной теплопроводности для одномерного температурного поля могут быть применены при расчете температуры тел с двумерным и трехмерным температурными полями. В качестве примера рассмотрим охлаждение бруса бесконечной длины с прямоугольным сечением (рис.
4.5, а). Теплота передается брусом в окружающую среду через вертикальные и горизонтальные грани. Предположим, что горизонтальные грани бруса теплоизолированы (рис. 4.5, б). Тогда безразмерную температуру О~ любой плоскости, параллельной плоскости 1 — 1, можно определить по формуле (4.26). При этом в качестве характерного следует взять размер бь Если предположить, что теплоизолированы вертикальные грани (рис. 4.5, в), то аналогично определится безразмерная температура Оз плоскости, параллельной сечению 2 — 2.
В этом случае характерным размером будем бь Величина О, характеризует уменьшение избыточной температуры рассматриваемой вертикальной плоскости к заданному моменту времени по сравнению с начальной избыточной температурой О' благодаря теплообмену вертикальных поверхностей, Аналогично величина Оз характеризует уменьшение избыточной температуры рассматриваемой горизонтальной плоскости благодаря тепло- обмену горизонтальных поверхностей. 285 Когда в теплообмене участвуют все боковые поверхности бру са, снижение температуры на линии пересечения рассматриваемых плоскостей определяется одновременным влиянием теплообмена вертикальных и горизонтальных поверхностей.
Поэтому безразмерная температура на этой линии равна произведению безразмерных температур, определенных отдельно для теплообмена вертикальных и горизонтальных граней: 8=8,8,. (4.33) Таким путем может быть определена температура в любой точке параллелепипеда (на пересечении трех плоскостей). При этом необходимо определить три безразмерные температуры, пользуясь методикой для бесконечной плоской стенки, а безразмерная температура в рассматриваемой точке будет равна их произведению.
При оценке температуры внутри цилиндра ограниченной длины определяется безразмерная температура на цилиндрической поверхности заданного радиуса по закономерностям для бесконечно длинного цилиндра и для плоскости, параллельной основаниям цилиндра, по формуле температурного поля пластины, толщина которой равна длине цилиндра. Безразмерная температура на пересечении цилиндрической поверхности и плоскости равна произведению безразмерных температур для каждой из этих поверхностей. Рассмотренный выше метод основан на теореме о перемножении решений, с доказательством которой можно ознакомиться в [131 й 4.3. МЕТОД РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА В процессе нестационарноа теплопроводности можно выделить стадию регулярного режима, прн котором изменение температуры во времени для всех точек тела подчиняется единому закону, а начальное распределение температуры в теле не оказывает влияния на форму этого закона.
Закономерности изменения температуры в стадии регулярного режима являются более простыми, поэтому они широко используются в практических расчетах. Выявим закон изменения температуры в теле сначала для наиболее простого случая, когда внутренним тепловым сопротивлением тела по сравнению с внешним сопротивлением можно пренебречь и потому в каждый момент времени температуру всего тела можно считать одинаковой. Равномерность температурного поля увеличивается с ростом теплопроводности тела и с уменьшением коэффициента его теплообмена с окружающей средой.
При В1(0,1 с достаточной для практики точностью температурное поле тела можно считать равномерным. Запишем для тела, имеющего объем )г, поверхность соприкосновения с окружающей средой Р и равномерное температурное поле, тепловой баланс за время дт. Избыточная температура, 286 определяемая формулой (4.3), будет одинаковой для всех точек тела, причем при дт>0 и 7~=соне( всегда д0<0.
При отсутствии внутренних источников теплоты изменение энтальпин равно рассеянной поверхностью теплоте — Урсда = аОР'дт. (4.34) Этому равенству можно придать вид вв ='— т дт (4.35) где тр — коэффициент пропорциональности, называемый темпом охлаждения (или нагревания) и определяемый формулой тр — — — —.
с и (4.36) У гр Считая теплофизические характеристики тела независящими от температуры и а=сова(, после интегрирования уравнения (4.35) получим 1и 0= — трт.' (4.30) Эта формула может использоваться в практических расчетах для тел любой формы при В1<0,1. Безразмерная избыточная температура определяется формулой (4.6). Рассмотрим теперь о б щ и й с л у ч а й, когда неравномерностью распределения температуры в теле пренебречь нельзя.
Анализ формулы (4.26) показывает, что безразмерную избыточную температуру 0 можно выразить суммой произведений трех величин: 0= ~ А„(У„в г 1 (4.39) где А~ — величина, не зависящая ни от координат, ни от времени; (7 — функция координат; т„— ряд положительных чисел, котоРые быстро возрастают с увеличением номера члена ряда. 287 !п 0= — т„к+С.
(4.37) Это и есть основная закономерность регулярного режима. Прн теплообмене в регулярном режиме натуральный логарифм избыточной температуры связан со временем линейной зависимостью. Коэффициент пропорциональности (формула (4.36Ц определяет темп охлаждения только для тел с равномерным температурным полем. Подставив в уравнение (4.37) начальное условие (0=0' при т=0), найдем, что С=1п0', и, следовательно, уравнению (4.37) можно придать вид Такая форма записи безразмерной температуры пригодна не только для простейших тел правильной формы, но и для любых других тел, форма которых отражается на виде множителей А„ и и.. При небольшой продолжительности процесса теплообмена температурное поле определяется не только первым, но и последующими членами ряда.
Это так называемая неупорядоченная стадия процесса охлаждения или нагревания, в течение которой температура в некоторых точках тела и скорость ее изменения зависят от начального распределения температур в теле. Благодаря неравенству т,< т 'тз... увеличение времени т приводит к тому, что каждый последующий член ряда (4.39) убывает скорее, чем предыдущий. После некоторого значения т>т* все члены ряда становятся пренебрежимо малыми по сравнению с первым. Тогда из (4.39) с достаточной точностью можно записать (индексы опущены) 8= А(уе (4.40) С учетом равенства О=О/О' после логарифмирования выражения (4.40) получается !п 8= — тт+С, (4.41) где С=!пО'АУ вЂ” функция от координат.
Следовательно, при т)т* наступает регулярный режим тепло- обмена, при котором изменение температуры во времени для всех точек тела подчиняется единому закону (линейная зависимость 1п О от т), а начальное распределение температур в теле не оказывает влияния на форму этого закона. Из сопоставления формулы (4.40) с выражением (4.26) слет дует, что т=а — '" (4.42) гт величина !х представляет собой наименьший положительный корень уравнения (4.22). Из формулы (4.42) видно, что темп охлаждения (нагревания) пт не зависит ни от координат, ни от времени и определяется числом В1, физическими свойствами, формой и размерами тела. й 44.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕИ Сложная форма тела, неоднородность его теплофизическнх характерястик, сложный характер граничных и временных условий однозначности часто ие нозволяют рассчитать температурные поля рассмотренными выше методами. Для таких задач можно использовать численные методы расчета температурных полей.
288 Рассмотрим одномерное нестационарное температурное поле плоской стенки (рис. 4.6). Расчетные соотношения численного метода получим аппроксимированием членов дифференциального уравнения теплопроводности — =а д» дйг (4.43) дт дхй отношениями конечных разностей: д! 1~+ — »! д1 ! + Г+! д»»й — т~й — » †или — ~ дт Ат дх йх ' дх Лх — 1~+ — 2Г~ + !й й й й й й ах (а»Р (4.44) Здесь ! — номер узла вдоль координаты х; Лх — шаг сетки (расстояние между узлами); индекс й соответствует температуре в момент времени т, а д» ,!» ! д» ! 1+1 — в момент времени т+Лт, где Лт— ! ! ! ! шаг по времени. Подстановка соотношений (4.44) в (4.45) ! ! !" позволяет получить ! ! 1,+ — »~й ! 1 — 2»й +»й Ат .
(а»)й = — а + ' . (4.45) Рис. 40 Из этого уравнения следует простая формула для определения температуры в каждом узле сетки в момент времени т+Лт при известном распределении температур в момент времени т: 1й,+'=Ро~ 1»~,+1,",+1й( — — 2)~1, о (4.46) 10 — 70! 289 где Ро=абт/(Ах)' — число Фурье. Уравнение (4.46) — это пример явного конечно- р а з нос т н о г о у р а в н е н и я. Такие уравнения решаются просто, так как каждое уравнение содержит одну неизвестную величину. Вместе с тем эти уравнения облада!от существенным недостатком: решение получается устойчивым только при ограниченном значении Лт.
Так, анализ показывает, что решение уравнения (4.46) будет устойчивым при Ро(0,5 или Ат(0,5(бх)й/а. (4.47) При Ро>0,5 уравнение (4.46) становится физически неверным, так как в этом случае величина 0й войдет в него с отрицательным знаком и потому росту 1;й будет соответствовать уменьшение 1.й+1 Для граничных узлов при граничных условиях третьего рода условие устойчивого решения уравнения (4.46) становится более жестким.' Ро (1+ В1)(0,5, (4.48) где В)=айх/3„,— число Био; а — коэффициент теплообмена на поверхности тела; Մ— теплопроводность тела. Для многомерных температурных полей условие (4.47) также ужесточается: для двумерного температурного поля необходимо Го~1/4, для трехмерного — Го~1/6. Желание уменьшить погрешность расчета температурного поля, обусловленную конечно-разностной аппроксимацией дифференциального уравнения теплопроводности, ведет к необходимости уменьшения шага сетки, а в соответствии с выражениями (4.47) — и к уменьшению допустимой величины Ьт.
Все это прн. водит к увеличению объема вычислительных работ н часто ограничивает возможность использования этого метода расчета. Ограничений по выбору величины Ат, связанных с устойчивостью решения уравнений, можно избежать, если воспользоваться неявными конечно-разностными уравнениям и. Прн получении уравнения (4.46) температура /~ь+' определялась на основе температур в узловых точках в момент времени т. Если температуру 1Р~' определить по температурам в узловых точках в момент времени т+Ат, то после аппроксимации членов дифференциального уравнения отношениями конечных разностей получается Р+~ — гь Р+1 — 2~Р+1+ Р+~ — 1+~ Г ю-1 (4.49) ат (дк)2 Это неявное конечно-разностное уравнение. Такое уравнение, записанное для каждой узловой точки, содержит несколько неизвестных, поэтому система уравнений для всех узлов сетки должна решаться совместно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
