Мухачёв Г.А. Щукин В.К. - Термодинамика и теплопередача (1013614), страница 53
Текст из файла (страница 53)
3.9 аналогом. Рассмотрим для примера двумерное температурное поле однородной пластины толщиной г, боковые поверхности (торцы) которой теплоизолированы. Расчетные соотношения составим на основе баланса теплоты. Номера узлов вдоль оси х обозначим через г, вдоль оси у — через ! (на рис. 3.9 показан небольшой участок этой пластины). Границы элементарных объемов отмечены пунктиром, а сетка узлов — сплошными линиями.
Примем Ах=гзу. При стационарном режиме теплообмена баланс теплоты для узловой точки с номером ()' имеет вид (обозначения на рис. 3.9) О!+(с)2+Яз 1 (се=О. (3.47) С помощью формулы для теплового потока через плоскую стенку при одномерном температурном поле найдем: Х Ф= — Иг ьг, у — Гьу) АУ (; Ях= (Уг, у ! — У1,у)йх (; ак ' ' йу х ' ' Х Оз= ((г — г,у+гг, !)АУ'г' ()а= — (гг, у+! — уг, у)йх'Т. дх ' ' ' др 278 Подстановка этих формул в уравнение (3.47) дает 'гг+г +Уьу г+1г 1+~„1+, — 42, 1 — — О.
(3.48) Это уравнение описывает связь между температурой соседних элементов для всех внутренних узлов. Для узлов, выходящих на границы пластины, температура известна, если заданы граничные условия первого рода. В других случаях температура в граничных узлах определяется уравнениями, отражающими вид граничных условий.
Таким образом для п неизвестных температур для внутренних узлов сетки составляется п линейных алгебраических уравнений. Эта система решается на ЭВМ с помощью метода прогонки или какого-либо другого метода, а результаты решения получаются в виде совокупности цифровых значений температуры во всех узловых точках. Тепловой поток в любом сечении пластины можно определить по закону Фурье с вычислением температурного градиента по температурам в соседних узлах или путем дифференцирования зависимости, которая получается аппроксимацией температур в узлах, прилегающих к рассматриваемому сечению. Погрешности численного решения по сравнению с точным уменьшаются при уменьшении размеров элемента, поэтому приемлемую точность решения можно обеспечить выбором этих размеров.
ГЛАВА 4 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ Нестационарные режимы теплообмена так же широко распространены в технике, как и стационарные. Основная задача их расчета — выявление зависимости температурного поля тела от времени. Эта задача решается на основе аналитических и численных методов, которые рассмотрены в настоящей главе. $4Л. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ При оценке нестационарного режима теплообмена цель расчета состоит в определении температурного состояния тела и количества полученной илв отданной телом теплоты по истечении определенного периода времени.
Зависимость температуры не только от координат, но и от времени затрудняет графическое изображение температурного поля. На рис. 4.1 изображено изменение температуры для двух точек нагреваемого тела, которое перед нагревом имело однородное температурное поле. 279 Дифференциальное уравнение энергии (2.15) в твердом теле без внутренних источников теплоты имеет вид (4.1) Рис. 4я то уравнение (4.1) приводится к виду дЕ д Е + дМ + дте д(ат/1е) дх~ ду дз~ (4.7) Следовательно, для сходственных точек, у которых х=Ыеш, у=Ыегп и г=Ыет, безразмерная температура 8 зависит от ч ис- 200 Характер взаимодействия тела с окружающей средой опишем граничными условиями третьего рода д1 а (1 — 11) = — Л„( — 1 (4.2) дл /и-а где 0,„— теплопроводность стенки; д1/дл — температурный градиент в твердом теле. При равномерном температурном поле в начальный момент процесса теплообмена временные 1 11 условия имеют простой вид: при т=О 1=1'.
ем Обозначим избыточную темпе- ее ратуру в любой точке тела в произвольный момент времени через 8: 0 =1 — 11. (4.3) 1е д Для точек, расположенных на поверхности и в центре стенки, 0 =1 — 114 ее=1е — 11. (4,4) Для начального момента времени 0'=1' — 1 . (4.5) Безразмерная избыточная температура 0 = 0/0'. (4.6) Обозначим безразмерные координаты: х/1=х; у/1=у; гд=г, где 1 — характерный размер тела. Приведем уравнение (4.1) к безразмерному аиду. Так как дЧ Е' деа дФ Е дзЕ дя Е дЖ дхе ге дхе дуз Р дуе дзе Р дзе дг дЕ =0' д~ ' д~ да Фурье Го=ах//а. Однако связь величин 0 и Го неоднозначна, так как конкретная форма этой связи зависит от краевых условий.
Анализ уравнения (4.2), определяющего условия теплообмена на границах, методами теории подобия показывает, что подобие процессов теплообмена на границе тела определяется ч и ел о м Био: В! = а//Лг о (4.0) Следовательно, для конкретной формы тела температурные поля 0=/(х, у, г) будут подобны, а безразмерные избыточные температуры 0 в сходственных точках будут одинаковы при условии: Ро=1бещ", В1=!бет. Поэтому температурное поле при нестационарной теплопроводности определяется обобщенным выражением 8=/(Ро, В1, х, у, х), (4.9) вид функции в котором зависит от формы тела.
Для одномерных задач вид этой функции в телах простейшей формы выявлен аналитическим путем. й 4.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ да дтз — =а де дхг (4.10) Дла тел простой формы температурное поле при нестапионариом режиме теплообмена можно найти на основе аналитического решения калачи. Рассмотрим расчетные зависимости, полученные аналитическим методом, на примере плоской стенки,' размеры которой вдоль осей у и я настолько велики, что теплообменом с торцов можно пренебречь. Будем считать условия теплообмена с обеих поверхностей одииаковыми (/у=сопи( и а=сопи(), а температуру — зависящей только от одной координа- тю ты х.
Тогда температурное поле будет симметричным относительно середины стенки, по- и этому ее толщину удобно обозначить через 26 (рис. 4.2). В приложении к одномерной задаче 8 т О7 о плоской стенке с учетом принятых ранее обозначений для избыточных температур у6 дифференциальное уравнение (4.1) сводится к виду Рис. 42 Граничные условия для обеих поверхностей при х=~б +!с„( — ) =а0 . (4.11) Начальное условие: при к=О 8=8'. Решим задачу методом разделения переменных.
Представим искомую функцию О в виде произведения переменных Т(т) и Х(х), из которых первая зависит только от времени, а вторая — только от координаты: 0= ТХ. (4.12) Дифференцированием этого выражения найдем: дТ да дХ дга дгХ ; — =Т вЂ” =Т вЂ”. дк д к дх дхг с!хг Подставив эти выражения в уравнение (4.10), получим Х вЂ” =аТ дТ дгХ дхг или ! ! дТ ! дгХ (4.13) а Т дк Х дхг где рг — постоянная разделения переменных. Из выражения (4.13) получается два дифференциальных уравнения: + сгргТ=О; (4.14) дк — + РгХ= О, дхг (4.15) решения которых известны: Т=Ае 'к ', (4.16) (4.17) Х=сд соз Ох+С з)п Ох„ Эти формулы с учетом (4.12) позволяют записать 0=(С, соз рх+ С, з1п рх) е 'г '.
(4.18) В силу симметрии температурного поля замена х на — х не должна отражаться на значении О. Это условие выполняется при С,=О и потому решение уравнения (4.18) приводится к виду О=Се '~'соз рх (4.19) или (4.22) с1н Р=Р/В1, где )з=рб; В1=аб/Аа,. Каждому значению числа В1 отвечает бесчисленное множество кор- е ней (1з!, Рз, Р,,...) тРансцендентного уравнения (4.22). Это уравнение решается обычно графическим путем (рис. 4.3) и значения 1з при различных В1 сводятся в таблицу. Каждому значению 1з соответствует частное решение уравнения Рис.
лв (4.10) в форме (4.19). Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид С е — запасов ! л Ь л-! При записи этого уравнения сделана замена ат арзт= а — т= Рз — = РзРо. Ь Ьз Коэффициенты ряда С, определяются из начального условия 2йк з!п пл (4.24) !аз + з!п !"л соз Пл С учетом этого выражения формула (4.23), отражающая распределение температуры в пластине, приводится к виду л 24, а~ч з!п !ал соз плх — з га (4 2') л ! !аз + МП Пл СОЗ Рл (4.23) или Мп !лл соз ! лс =Х л-! Нл + з!п Рл соз !ал Е заза з (4.26) где х=х/б. Значение постоянной разделения переменных найдем из граничного условия.
Из выражения (4.19) легко найти дв 1 — аз а = +Сре ~ ' в1п Я; (4.20) дх /х-аз 0„=Се 'Ь 'сов Я. (4.21) Подставив эти выражения в условие (4.11), получим р в1п ~в= — сов рЬ, У Форма температурного поля, соответствующая уравнению (4.26), показана на рис. 4.2. Использование полученного уравнения на практике связано с необходимостью выполнения трудоемких расчетов, поэтому с помощью этой формулы построены гра- фики (4.30) 284 8=7 (Ро, В!, х,) (4.27) применение которых сводит расчеты к весьма простым операциям.
Каждый график построен для х=сопз(. Наиболее широко в справочной литературе распространены графики при х=0 и х=1, которые соответственно характеризуют температуру плоскости симметрии и боковых поверхностей стенки. При В)~100 температура стенки перестает зависеть от условий теплообмена на границах тела. Это объясняется тем, что при этом тепловое сопротивление внешне- Ю ;, л "г,, р~ го теплообмена становится несоизме- "~~р~~ф~Т римо малым по сравнению с внутрен- ~~~~~;Л ним сопротивлением и потому темпеио ~~4~ р'" ратурное поле определяется условияйи ми распространения теплоты внутри тела.
Расчетные соотношения для тепло- проводности плоской стенки могут 8 5 быть использованы для одного часто встречающегося случая несимметрич- У к ных условий теплообмена, когда одна Рис. 44 из поверхностей стенки теплоизолиро- вана, а другая — участвует в тепло- обмене. В этом случае рассчитываемая стенка толщиной б заменяется фиктивной стенкой толщиной 28 (рис.
4.4) и к ней применяются все полученные выше соотношения. Температура в плоскости симметрии фиктивной стенки равна температуре теплоизолированной поверхности реальной стенки. Полученное или отданное стенкой количество теплоты также определяется числами Ро и В1. Обозначим через Я' количество потерянной (или полученной) теплоты при т-~ о (когда температуры тела и среды выравниваются), а через Я, — количество теплоты, отданное по истечении времени т. Тогда для стенки с плотностью материала р и теплоемкостью с можно записать: д'=28рс (Р— Г,)=28рсЕ', (4.26) Я,=28рс (Р— С„,)=28рс (8' — 8 ), (4.29) где 1, — средняя температура стенки по истечении периода времени т.
Поделив почленно второе равенство на первое, получим = — — =1 — 8„. О = 8 В каждый момент времени температурное поле стенки определяется числами Ро и В~, поэтому и средняя температура стенки будет зависеть только от этих чисел. Следовательно, — = 1(Ро, В!). (4.31) График этой функции имеется в справочной литературе. Иногда вместо этой функции приводится зависимость для средней безразмерной температуры стенки а) Ю, в) 0,,=1" (Ро, В$).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
