Мухачёв Г.А. Щукин В.К. - Термодинамика и теплопередача (1013614), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Так, для скорости вл 1+М ~х твх ~~т (1.22) Аа,) Осредненные значения пульсационных составляющих параметров равны нулю (й,'=О, 1'=0 и т. д.), но среднее значение произведений пульсаций может быть не равно нулю (например, э,'юд'ФО; в„'ачьЮ). В этом случае между пульсациями существуют корреляции (зависимости), которые имеют важное значение 250 для анализа характеристик потока. Так, произведение и„'~а„' определяет турбулентные касательные напряжения, ие'У вЂ” плотность теплового потока, обусловленную турбулентным переносом теплоты.
Для количественной оценки пульсационных составляющих скорости движения используется параметр, называемый степенью турбулентности Тп. В общем случае неизотропной турбулентности Тп= — (и„' +а~,', +те, ) ю (1.23) где Ю вЂ” осредненная скорость потока (или скорость потока за пределами пограничного слоя). Для изотропной турбулентности те' =та„ =те, =и'* н, следовательно, Тп=~/и' /ю. (1.24) В аэродинамических трубах Тц-0,01, но с помощью спрямляющих'решеток ее можно довести до -0,0002.
В каналах значение Тп обычно составляет несколько сотых долей. Турбулентность возникает в так называемых течениях со сдвигом, т. е. в течениях с неоднородным полем скоростей. Неоднородность скоростного поля может быть обусловлена диссипативными потерями при взаимодействии потока со стенкой; в этом случае турбулентность называют пристенной, Неоднородность скоростного поля может быть вызвана и другими причинами — закруткой потока, струйным вдувом и т. д., в этом случае турбулентность называют свободной.
Поток может быть турбулентным и до начала взаимодействия его с рассматриваемой поверхностью. Такую турбулентность называют внешней. Несмотря на то что пульсации скорости составляют обычно всего несколько процентов от скорости потока, они вносят весьма существенные изменения в поток, так как их влияние проявляется не в том, что они изменяют основные параметры потока, отклоняя нх от средних значений, а в том, что молекулярные ' механизмы переноса заменяются на конеектиеные. Поэтому возникновение турбулентности сопровождается усилением обменных процессов, что приводит к увеличению интенсивности тепло- и массообмена и к увеличению трения.
Кроме того, турбулентность препятствует отрыву потока от стенки и в этом смысле делает его более устойчивым На образование пульсаций расходуется часть кинетической энергии основного потока, которая в итоге трансформируется в теплоту, Поэтому возникновение турбулентности сопровождается Увеличением потерь энергии. 25! ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ МОЛЕКУЛЯРНОГО И КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА И ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ Математическая формулировка задачи, включающая дифференциальные уравнения и краевые условия, является надежной основой изучения физического явления.
Обобщение результатов численного и экспериментального исследований, а также компактное представление результатов теоретического исследования осуществляются на основе теории подобия физических явлений. з 2.1. ДИФФЕРЕННИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ Дифференциальное уравнение энергии отражает связь температуры тела с координатами и временем.
Оно выводится на основе законов сохранения энергии, сохранения массы и закона Фурье. Получим уравнение для движущейся среды с внутренними источниками теплоты. Предполагается, что теплоноситель представляет собой изотропное однородное тело с теплопроводностью А, теплоемкостью с и плотностью р, не зависящими от температуры. Рассмотрим только такие системы, в которых изменением ки- нетической энергии по сравнению с г а'р, изменением энтальпии можно пре4з' небречь (т.
е. небольшие скорости потока). а.',с', 71 а„' Выделим неподвижный элемен- ) — в тарный параллелепипед с гранями лх ф бх, ду и да и обозначим входящие в него за время дт количества теплоты чеРез Щ„', Йь1я', ЙО;, а вы~ау' у4 ходящие — через дЯ ", бЯз", Иза (рис. 2.1), составляющие скорости движения среды обозначим через ти„, теа, тась мощность внутренних у источников теплоты — дк (Вт/мз).
Рис. 2.1 На основе закона сохранения энергии баланс теплоты для рас. сматриваемого параллелепипеда имеет вид б'ст+(Цз даз (2.1) где ЙЯ1 — разность между входящим и выходящим из параллелепипеда количеством теплоты; доз — внутреннее тепловыделение; Из — изменение энтальпии в элементарном объеме. Количество теплоты, входящее в параллелепипед вдоль оси х и выходящее из него, можно определить по формулам: 252 бС,с,=с7 с)ус)хбт; (2.2) Разница между вошедшим и вышедшим из параллелепипеда количеством теплоты вдоль оси х с учетом выражения (2.4) запишется формулой сЦ =бК вЂ” с)сК=(с7,' — с7»)бубхбт= — ~" бхбубхс)т, дх нли Щ = — "2' с)1'бт. дх Аналогично бЯ„= — — "б)Ус)т и Щ= — "»-" <И/'бт.
ду д» Следовательно, с)Яс можно записать выражением ач» Щ=бС,7„+Щ»+бС,с,= — ~ '7' + — "+ ~' ) С1)УС)т. (2.5) Внутреннее тепловыделение определим по формуле с)(с2 с7у с11 (2.6) Изменение температуры неподвижного элементарного паралдс лелепипеда за время с)т составит й= — бт. Следовательно, дт Щ=с»рбмк — бт. (2.7) ат Подстановка выражений (2.5) ...
(2.7) в формулу (2.1) позволяет получить уравнение с„р — = — ~ — + — + — )+27~ . дС ! д~у» дЧ» дд» (2.8) ат ~ ах ад ах ) Рассмотрим более подробно составляющие плотности теплового потока, входящие в уравнение (2.8). Величина 27„запишется выражением 27»=с7»мо»+ с7»ко»в' 233 Щ =с7 бус)хс)т. (2.3) Здесь с7 ' и д "— плотности теплового потока, отвечающие координатам х и х+Йх соответственно.
Разложим величину с7" в ряд Тейлора, ограничившись двумя первыми членами ряда: 27 =с7„+ ~ с1х. (2.4) дх где 4!, „и !р„„„,— плотности теплового потока, входящего в параллелепипед путем теплопроводности и конвекции вдоль оси х, На основе закона Фурье д „= — Лдт!дх конвективная состав лягошая агяояв=рс«вяй Следовательно, д! ~у„=рс тс„! — Л вЂ”. дх При Х=сопэ1 из этого равенства получается дяг ! д! дггг т ди — "=рс (тс„— +! " — Л вЂ”. дх «(, " дх дх ) дхт (2.9) Аналогично для других осей координат: дуг ! д! ды«я дт! — =рс ~ту„— +! — ) — Л вЂ”; ду ~ " ду ду ) дут (2.10) до, ! д! ды 1 дм — '= рс«) ти, — +! — ') — Л— дг ' ~ дг дг ) дгт (2.11) Подставив эти равенства в уравнение (2.8), получим д! ! дт! дз! дт! 1 ! д! рс„— =-Л~ — + — + — ) — рся ~и! — + дт 1дхт дут дгт ) «Л дх д! д! т ! дгяг дыя дыг т + туг — + тс, — ) — рс ! ~ — + — + ' )+ дя.
" ду дг ) ~ дх ду дг (2.12) Дифференциальное уравнение оплошности для несжимаемых жидкостей имеет вид* дюг дгя«дмг + — + — '=О. дх ду дг С учетом этого уравнения (2.12) приводится к виду — +тс„— +пгя — +та, — =аут!+ —, (2.13) д! д! дт д! я Чк дт "дх "ду дг рс« " Это уравнение рассмотрено в $2.4 настоящей главы. При его вывояе используется закон сохранения массы. 254 дт! дт! дтт Л где ртг= — + — + —; а= — — температуропроводпость дхт дуг дгт с„р вещества. В общем случае 1=)(х, у, х, т). Поэтому, используя понятие полной производной, можно записать д! д! д! дх д! ду + д! дг дт дт дх дт ду дт дг дт Эту производную называют субстанциальной и обозначают осоВс бым символом дт — = — +ш„— + шс — +ш, — .
0! дс д! дс д! (2.14) дс дт дх " ду * дс С учетом этого обозначения из уравнения (2.13) получим д и фференциальное уравнение энергии ~' =аЧ'1+ — '. (2.15) дт рср - В цилиндрической'системе координат в дифференциальном уравнении (2.15) величина ~7з! имеет следующее значение: 7с — — + —.— + — — + дп ! дС ! дп дп (2.16) дгт г дг гс дтс дх2 При значительном изменении температуры в системе и существенной зависимости теплопроводности Л от температуры упрощающая предпосылка о постоянстве теплопроводности может привести к существенной погрешности. При 1=1(!) выражение (2.9) имеет вид — = рс„1тэ„— + ! — — — Л вЂ” .
(2.17) дх ~ дх ' дх ) дх ~ дх ) Аналогичную форму будут иметь выражения (2.10) и (2.11). В этом случае дифференциальное уравнение (2.15) запишется - так: рс„— = — (Л вЂ” ) + — ~Л вЂ” ) + — (Л вЂ” )+ су, (2.18) Рассмотренные выше виды дифференциального уравнения энергии пригодны как для ламинарного, так и турбулентного потока. В последнем случае в уравнения входят актуальные значения температур и скоростей, изменение которых во времени носит пульсационный характер.
Для практического использования дифференциального уравнения энергии при описании турбулентного течения жидкости его удобно записать через осредненные значения скоростей и температур. Если в уравнении (2.18) актуальные значения скоростей и температур заменить выражениями (1.19) и (1.21), то для изотропной турбулентности после преобразования получится дифференциальное уравнение, записанное с использованием осредненных параметров: ,,р — ~(Л+ Л,) —,Я+ —, ~~Л+ Л,) Д+ д г д71 1(л+ л,) — 1+ у,.
дх~ ' дг" (2.19) 255 Здесь Л,— коэффициент турбулентного переноса теплоты, отри жающий вклад турбулентных пульсаций в процесс переноса теп лоты. Поэтому Х, не является параметром, отражающим физические свойства теплоносителя. Величина Л, зависит от расстояния до стенки: вблизи от стен ки Х;+.О, а вдали — Х, может во много раз превышать Х. $2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛООТДАЧИ Дифференцннльное уравнение теолоотдачи выводится нн основе вняливх явления теплообмени в месте соприкосновения теплоносителя со стенкой. Тепловой поток через элементарную площадку поверхности твердой стенки бг" можно выразить по закону Фурье через температурный градиент в пристеночном слое жидкости и теплопроводность жидкости г' сЦ= — Х ( — ") бР. (2.20) Этот же тепловой поток можно определить формулой Ньютона Й~ = а (1 у — г '1 б Р = цот б го. (2.21) Приравнивая правые части равенства (2.20) и (2.21), после перестановки членов уравнения получим (2.22) Это и есть дифференциальное уравнение теплоотд а ч и.
б0,= — дк' + и + див б)гбт, (2.24) дня дл ду дг й 2.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ МАССООБМЕНА Дифференциальное уравнение мвссообменя отрвжвет связь концентрации компонентов, из которых состоит теплоноситель, с координнтвми и временем. Оно получается ив основе ввконв сохранения вещества для каждого компонентв геновой смеси и закона Фикв. Для неподвижного элементарного параллелепипеда баланс массы 1-го компонента газовой смеси позволяет записать 60г+б02=60з, (2.23) где Й0г — разность между массой компонента, вошедшей и вышедшей из элементарного объема за время с)т; б0я — масса компонента, появившаяся или исчезнувшая в этом объеме за время бт в результате действия источников или стоков массы; о0в изменение массы компонента за время бт в том же объеме. Для определения ббг используется такая же методика, как и для определения Щ в $2.1 настоящей главы, в результате по.
лучаем выражение, аналогичное формуле (2.5): бПз=бм бт. (2.26) д. Подстановка выражений (2,24) ... (2.26) в уравнение баланса массы (2.23) приводит к уравнению — — + — + — /+К,г дСз 1 дях дяз дяз 1 (2.27) дт (, дх ду дх / Массовые потоки вещества обусловлены концентрационной диффузией и вынужденным движением смеси. Так, для п„можно записать ' Кх=йхмоо+Кхкомо. Использовав закон Фика для диффузионной составляющей массового потока у, „, перепишем это равенство в виде К с дСз дх Дифференцирование этого уравнения при Ос=сопэ1 позволяет получить дух дСз дзох дзСз — =ш — +С; — зус —. (2.28) дх дх ' дх с дхз Аналогичные формулы получаются для дуз/ду и дп,/да. Поастановка нх в уравнение (2.27) после несложных преобразований приводит к дифференциальному уравнению м ассообмена — +а~о — + а~у +а~о — =ОсЧзС + ф'у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
