Мухачёв Г.А. Щукин В.К. - Термодинамика и теплопередача (1013614), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(2.29) дСз дС~ дСз дС~ з Воспользовавшись понятием субстанциальной производной РСз дСс дСс дСг дС~ — = — +та„— +и~у — +те, —, нт дз дх " ду дх приведем дифференциальное уравнение массообмена к окончательной форме = ОсЧ Сз+Кп. 0Сз з дз (2.30) 761 ~ где я„пз и йз — составляющие плотности потока массы по осям 1юординат. Величина ЙОз определяется мощностью внутренних источников вещества йю, выражаемой в кг/(м'с): без —— йю (Иl бт..
(2.25) Изменение массы 1-го вещества в единице объема за время бт дс, составит — бт. Поэтому дх Для турбулентного потока дифференциальное уравнение мас. сообмена, записанное с использованием осредненных параметров имеет вид (турбулентность предполагается изотропной) — = — ~(Рс+ Р„) — ~+ — ~(Рс+ и„) — ~+ ПС~ д Г дСг1 д дСг 1 бя дх) дх ~ др ду + д ~(Рс+Р .) — „))+а . д Г дс,) (2.3)) Здесь Рс,— коэффициент турбулентного переноса вещества, значение которого зависит от координат. $24. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И СПЛОШНОСТИ ба дх ытаи др б) Р— =Ря — — +Рчитви; бс " дд (2.32) в) Р ' =Р, — — +РЧ' Г)ма др дт ' дх Здесь Гю гя, г',— проекции массовой силы т=/р, которая отнесена к единице объема; ) — ускорение, определяющее массовую силу.
Ограничимся случаем, когда массовая сила обусловлена ускорением свободного падения д и направлена вдоль оси г. Тогда х" =др. При отсутствии вынужденного движения — = Р =О, др др дк ду а градиент давления вдоль оси 2 определяется плотностью основной массы жидкости ре.' = Ура. бр Поэтому при свободном движении два первых члена правой части уравнения (2.32в) запишутся так: ЫР— — — ур — Ио — Ирпг др (2.33) би В дифференциальные уравнения энергии и массаобмена входит скорость среды, участвующей в теплообмене. Поэтому при математическом описании явлений теплообмена приходится использовать гидродинамические уравнения. В классической гидродинамике уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости записывается в форме дифференциального уравнения Навье — Стокса, которое получается на основе второго закона Ньютона.
Для изотермического движения несжимаемой жидкости при постоянной динамической вязкости ()а=сопи() проекции ур а внения движения на оси координат можно записать в виде: 3десь Аг — разность температур, определяющая подъемную силу, а коэффициент объемного расширения р=(ро — р)/(рйг). Для турбулентного течения несжимаемой жидкости проекции уравнения движения на оси координат можно записать через параметры осредненного движения. Замена гвю тси, тс, и р в уравнении (2.32а) на суммы осредненных и пульсационных'составляюитнх после преобразования позволяет получить (для изотропной 'турбулентности) Р " =Р.— — + — ~( +Р,) " ~+ — ~(Р+Р,) — '~+ дт дх дх ~ дх ~ ду ( ду + — ~(Р+ Рт) — 1 ~ (2.34) где рт — коэффициент турбулентного переноса количества движения; Ою„дмх да~э дюд, — де х ) тех + твэ +те бе дя " дх " ду ' дх , Аналогичные уравнения получаются для координат у и а.
Эти уравнения были получены О. Рейнольдсом и носят его имя. Закон- сохранения массы позволяет получить дифференциальное уравнение сплошности дмэ (2.35) дх ду дх которое в такой форме пригодно только для несжимаемой жидкости. й 2.З. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ МОЛЕКУЛЯРНОГО И КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА И ВИДЫ КРАЕВЫХ УСЛОВИИ Дифференциальные уравнения описывают целый класс физических явлений одинаковой природы.
Чтобы выделить иэ этого класса конкретный вид явлении, веобходимо задать его частные особенностя, которые называют краевыми условиями или условиями однозначности. Краевые условия, заданные в виде числовых значений, определяют конкретное явление. Различают геометрические, физические, динамические, граничные и временные условия однозначности. Геометрические условия отражают форму и размеры тел или их поверхностей, участвуюЩих в теплообмене. Физические условия характеризуют физические свойства участвующих в теплообмене тел. Динамические условия содержат информацию о полях массовых сил. Граничные условия определяют особенности протекания явлений на границах изучаемой системы.
Временные условия определяют начальное состояние системы. Временные условия задаются только при нестационарном режиме теплообмена. 9 259 Математическая формулировка задачи теплов ро в од ности включает в себя дифференциальное уравнение энергии для не. подвижного тела (и„=тва — — и,=О). В этом случае геометриче. ские условия однозначности определяют форму и размеры тела участвующего в процессе, а физические условия — его теплопро. водность и температуропроводность.
Граничные условия для этой задачи могут быть заданы в четырех различных вариантах. Граничные условия первого рода состоят в задании температуры на поверхностях тела, участвующего в теплообмене, и ее изменения во времени. Граничные условия второго рода состоят в задании распределения плотности теплового потока на поверхностях тела и ее изменения во времени. Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры сред, омывающих поверхности тела, и условий теплообмена между средами и поверхностями (коэффициенты теплообмена), а также изменения этих параметров во времени. Граничные условия четвертого рода отражают равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения двух тел. Система уравнений, описывающая явление теплоотдачи, включает дифференциальные уравнения энергии (для теплоносителя), теплоотдачи, массообмена, движения и сплошности.
Для процессов, в которых перенос вещества имеет второстепенное значение, уравнение массообмена не рассматривается. Геометрические условия однозначности для процесса теплоотдачи отражают форму и размеры поверхности соприкосновения теплоносителя с телом, физические условия — свойства теплоносителя (теплопроводность, вязкость и др,), Динамические условия содержат сведения об ускорении, определяющем массовую силу, или связь этого ускорения с характеристиками движения всей системы или жидкости в ней. Граничные условия описывают распределение скоростей, температур и концентраций на границах изучаемой системы и их изменения во времени.
5 зб. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ Теория подобия — это учение о подобных явлениях. В приложении к фи зическнм явлениям теория подобия применяется в двух направлениях: как сред. ство обобщения результатов натурального и математического эксперимента Я как теоретическая основа для моделирования техняческих устройств. Таким образом, теория подобия позволяет на основании отдельных опытов или расче тов получить обобщенную зависимость и открывает возможность изучения ра. бочих процессов технических устройств на моделях.
В геометрии изучается подобие геометрических фигур. У подобных фигур пропорциональны сходственные линейные элемен. ты (длины сторон треугольника, граней призмы и т. п.). Так, из условия подобия двух геометрических фигур, изображенных на рис. 2.2, можно записать где С! — константа геометрического подобия.
Для реализации подобия физических явлений необходима пропорциональность не только геометрических элементов систем, в которых протекают явления, но и других физических характеристик, определяющих эти явления (скоростей, температур, плотностей и т. п.). Введем понятия одноименных величин, сходственных точек и сходственных моментов времени, которые используются при изучении подобных явлений. Одноименными называются величины, имеющие 1! одинаковый физический смысл и одинаковую размерность.
Сходственными 1,' называются такие точки систем, координаты которых удовлетворяют геометрическому подобию. Сходственные моменты времени наступают по исте- 1,', 1" чении периодов времени т'и т", име- Рис. 2.2 вщих общее начало отсчета и связанных между собой константой подобия по времени С,: хю — =С,.
Подобными называются физические явления одинаковой природы, протекающие в геометрически подобных системах, если у иих во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа. Эти постоянные числа называются константами подобия. Так, явление теплоотдачи определяется распределением температур в системе, скоростью движения теплоносителя, его физическими свойствами, формой и размерами поверхности теплообмена и т. д. Следовательно, для подобия двух явлений теплоотдачи необходимо выполнить условия 1" =С; — =С, и т. п.
и' 1' Следует заметить, что подобными могут быть только явления одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналитическими зависимостями. Так, формулы для плотности теплового потока прн теплопроводности (закон Фурье) и для плотности массового потока при молекулярной диффузии (закон Фика) имеют одинаковую структуру. Но явления теплопроводности и диффузии качественно различны и потому не могут быть подобными. Явления, описываемые одинаковыми уравнениями (или системой уравне- 2б! ний), но имеющие различную физическую природу, называютса аналогичными. Параметры, определяющие физическое явление, связаны меж. ду собой, поэтому и константы подобия также взаимосвязаны Связь между параметрами, определяющими физическое явление выражается одним или несколькими уравнениями, отражающими закономерности протекания процесса.
Эти уравнения могут быть использованы для выявления связи между константами подобия, Воспользуемся дифференциальным уравнением теплоотдачн (2.22) для выявления связи между константами подобия. Запишем это уравнение для сходственных точек. двух подобных между собой явлений: для первого явления (2.36) для второго явления (2.37) Константы подобия имеют одинаковое значение для параметров и их приращений. С учетом этого обозначим: а', А .
аг" г" . н Г С, = —; С1 —— — , 'С,= — = —; С~ — — — —— — . (2.38) Здесь 7 — характерный размер системы. Из определения констант подобия следует, что Подставив эти выражения в равенство (2.37), переставив члены и сократив на Сь получим (2.39) Уравнения (2.36) и (2.39) тождественны, так как они выражают связь между параметрами процесса, обусловленную дифференциальным уравнением теплоотдачи, для одной и той же точкИ первой системы. Из условия тождественности уравнения следует, что (2.40) Это и есть связь между константами подобия, обусловленная уравнением (2.22).
262 Заменим константы подобия в уравнении (2.40) из (2.38). Тогда уравнение '(2.40) можно переписать в виде (2.41) Х 1" Следовательно, существуют такие безразмерные соотношения параметров, характеризующих процесс, которые у подобных явлений в сходственных точках имеют одинаковые числовые значения.
Эти безразмерные соотношения называются числами подобия. Число подобия, записанное уравнением (2.41), называется числом Нуссельта и обозначается Ип. Следовательно, равенство (2.41) можно переписать в виде Хп = — = 1беш**. а! Число Нуссельта получено из дифференциального уравнения теплоотдачи методом констант подобия. Числа подобия можно также получить путем приведения уравнения к безразмерному виду. Числа подобия получаются из уравнений связи между величинами, характеризующими явление.
Если для исследуемого явления таких уравнений нет, то числа подобия можно получить на основе анализа размерностей. Этот метод дает менее надежные результаты. Число подобия может представлять собой отношение двух величин одинаковой природы (например, отношение длины трубы к ее диаметру). В этом случае оно называется параметрическим. Произведение чисел подобия и частное от их деления также представляют собой числа подобия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
