semopt3 (1013527)

Файл №1013527 semopt3 (Практические занятия)semopt3 (1013527)2017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГОЭКСТРЕМУМА. МЕТОДЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКАПостановка задачиПусть дана функция f ( x) , ограниченная снизу на множестве R n и имеющаянепрерывные частные производные во всех его точках.Требуется найти локальный минимум функции f ( x) на множестве допустимыхрешений X = R n , т.е. найти такую точку x ∗ ∈ R n , чтоf ( x ∗ ) = minn f ( x) .x∈ RА. МЕТОД ГРАДИЕНТНОГО СПУСКА С ПОСТОЯННЫМ ШАГОМАлгоритмШаг 1. Задать x 0 , 0 < ε < 1 , ε1 > 0 , ε 2 > 0 , M – предельное число итераций.

НайтиT⎛ ∂ f (x )∂ f (x ) ⎞⎟ .,...,градиент функции в произвольной точке ∇f ( x ) = ⎜⎜∂ x n ⎟⎠⎝ ∂ x1Шаг 2. Положить k = 0 .( )Шаг 3. Вычислить ∇f x k .( )Шаг 4. Проверить выполнение критерия окончания ∇f x k< ε1 :а) если критерий выполнен, расчет закончен, x ∗ = x k ;б) если критерий не выполнен, то перейти к шагу 5.Шаг 5. Проверить выполнение неравенства k ≥ M :а) если неравенство выполнено, то расчет окончен: x ∗ = x k ;б) если нет, то перейти к шагу 6.Шаг 6. Задать величину шага t k .( )Шаг 7. Вычислить x k +1 = x k − t k ∇f x k .Шаг 8.

Проверить выполнение условия() ( )f x k +1 − f x k < 0(или() ( )( )f x k +1 − f x k < − ε ∇f x k2):а) если условие выполнено, то перейти к шагу 9;tб) если условие не выполнено, положить t k = k и перейти к шагу 7.2Шаг 9. Проверить выполнение условийx k +1 − x k < ε 2 ,() ( )f x k +1 − f x k164< ε2 :а) если оба условия выполнены при текущем значении k и k = k − 1 , то расчетокончен, x ∗ = x k +1 ;б) если хотя бы одно из условий не выполнено, положить k = k + 1 и перейти кшагу 3.Геометрическая интерпретация метода для n = 2 приведена на рис.

1.C1 > C 2 > C 3x2f ( x ) = C1x0− ∇f ( x 0 )x1x∗x2f (x ) = C3f (x ) = C 20x1Рис. 1Пример 1. Найти локальный минимум функцииf ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 .† I. Определим точку x k , в которой выполнен по крайней мере один из критериевокончания расчетов.1. Зададим x 0 , ε1 , ε 2 , M : x 0 = (0,5;1) , ε1 = 0,1 ; ε 2 = 0,15 ; M = 10 . Найдем граTдиент функции в произвольной точке ∇f ( x ) = (4 x1 + x 2 ; x1 + 2 x 2 )T .2.

Положим k = 0 .( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )3 0 . Вычислим ∇f x 0 : ∇f x 0 = (3; 2,5) .4 0 . Вычислим00T= 3,9 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.5 0 . Проверим условие k ≥ M : k = 0 < 10 = M . Перейдем к шагу 6.6 0 . Зададим t 0 = 0,5 .7 0 . Вычислим x 1 : x 1 = (0,5;1) − 0,5(3; 2,5)T( )( )( )= ( −1;− 0,25) ; f x 1 = 2,31 .TT( ) ( )80 . Сравним f x 1 с f x 0 = 2 . Имеем f x 1 > f x 0 . Вывод: условие() ( )f x k +1 < f x k для k = 0 не выполняется. Зададим t 0 = 0,25 , перейдем к повторениюшагов 7, 8.7 01 .

Вычислим x 1 : x 1 = (0,5;1) − 0,25(3; 2,5)TT165( )= ( − 0,25; 0,375) ; f x 1 = 0,171 .T( )( )( ) ( )− x и f (x ) − f (x ) := 0,976 > 0,15 ;f (x ) − f (x ) = 1,829 > 0,15 .801 . Сравним f x 1 и f x 0 . Вывод: f x 1 < f x 0 . Перейдем к шагу 9.90 . Вычислим x 1x1 − x 001010Вывод: положим k = 1 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f ( x1 )31 . Вычислим ∇f x 1 : ∇f x 1 = ( − 0,625; 0,51) .41 .

Вычислим1T= 0,81 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.51 . Проверим условие k ≥ M : k = 1 < 10 = M . Перейдем к шагу 6.61 . Зададим t1 = 0,25 .71 . Вычислим x 2 : x 2 = ( − 0,25; 0,375) − 0,25 ( − 0,625; 0,5)TT( )= ( − 0,094; 0,25) ;Tf x 2 = 0,056 .( )( )( ) ( )− x и f (x ) − f (x ) := 0,2 > 0,15 ;f (x ) − f (x )81 . Сравним f x 2 с f x 1 . Вывод: f x 2 < f x 1 .

Перейдем к шагу 9.91 . Вычислим x 2x 2 − x112121= 0,115 < 0,15 .Вывод: положим k = 2 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )32 . Вычислим ∇f x 2 : ∇f x 2 = ( − 0,126; 0,406) .4 2 . Вычислим22T= 0,425 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.5 2 . Проверим условие k ≥ M : k = 2 < 10 = M , перейдем к шагу 6.6 2 . Зададим t 2 = 0,25 .7 2 . Вычислим x 3 : x 3 = ( − 0,094; 0,25) − 0,25 ( − 0,126; 0,406)TT( )= ( − 0,063; 0,15) ;f x 3 = 0,021 .( )( )( ) ( )− x и f (x ) − f (x ) := 0,105 < 0,15 ;f (x ) − f (x ) = 0,035 < 0,15 .82 . Сравним f x 3 и f x 2 . Вывод: f x 3 < f x 2 .

Перейдем к шагу 9.92 . Вычислим x 3x3 − x223232Вывод: положим k = 3 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )33 . Вычислим ∇f x 3 : ∇f x 3 = ( − 0,102; 0,237) .43 . Вычислим33T= 0,257 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.53 . Проверим условие k ≥ M : k = 3 < 10 = M , перейдем к шагу 6.63 . Зададим t3 = 0,25 .166T73 . Вычислим x 4 : x 4 = ( − 0,063; 0,15) − 0,25 ( − 0,102; 0,237)T( )T= ( − 0,038; 0,091) ;Tf x 4 = 0,0076 .( )( ) ( ) ( )9 .

Вычислим x − x , f (x ) − f (x ) :x − x = 0,064 < 0,15 ;f (x ) − f (x ) = 0,015 < 0,15 .) − f (x ) < ε выполнены при k = 2,3 . РасчетУсловияx−x <ε ,f (xокончен. Найдена точка x = ( − 0,038; 0,091) ; f ( x ) = 0,0076 .83 . Сравним f x 4 и f x 3 : f x 4 < f x 3 .344k +13433k4k +123k2T44II. Проведем анализ точки x 4 . Функция f ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 является дваждыдифференцируемой, поэтому проведем проверку достаточных условий минимума в точке⎛ 4 1⎞x 4 .

Для этого проанализируем матрицу Гессе H = ⎜⎟ . Матрица является постоянной⎝ 1 2⎠и положительно определенной (т.е. H > 0 ), так как оба ее угловых минора Δ 1 = 4 иΔ 2 = 7 положительны. Следовательно, точка x 4 = ( − 0,038; 0,091)Tесть найденное при-( )ближение точки локального минимума x ∗ = (0,0) , а значение f x 4 = 0,0076 есть найT( )денное приближение значения f x ∗ = 0 .

„Б. МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО ГРАДИЕНТНОГО СПУСКААлгоритмШаг 1. Задать x 0 , ε1 > 0 , ε 2 > 0 , предельное число итераций M. Найти градиентT⎛ ∂ f (x )∂ f (x ) ⎞⎟ .функции в произвольной точке ∇f ( x ) = ⎜⎜,...,⎟xx∂∂1n ⎠⎝Шаг 2. Положить k = 0 .( )Шаг 3. Вычислить ∇f x k .( )Шаг 4. Проверить выполнение критерия окончания ∇f x kа) если критерий выполнен, то x ∗ = x k ;б) если критерий не выполнен, то перейти к шагу 5.Шаг 5. Проверить выполнение неравенства k ≥ M :а) если неравенство выполнено, то x ∗ = x k ;б) если нет, то перейти к шагу 6.Шаг 6.

Вычислить величину шага t k∗ из условия(.( )) → mintϕ(t k ) = f x k − t k ∇f x kk167< ε1 :( )Шаг 7. Вычислить x k +1 = x k − t k∗ ∇f x k .Шаг 8. Проверить выполнение условий(x k +1 − x k < ε 2 ,) ( )f x k +1 − f x k< ε2 :а) если оба условия выполнены при текущем значении k и k = k − 1 , то расчетокончен, x ∗ = x k +1 ;б) если хотя бы одно из условий не выполнено, то положить k = k + 1 и перейти кшагу 3.Геометрическая интерпретация метода для n = 2 приведена на рис.

2.C1 > C 2x2f ( x ) = C1x0− ∇f ( x 0 )x1f (x ) = C 2x1Рис. 2Пример 2. Найти локальный минимум функцииf ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 .† I. Определим точку x k , в которой выполнен по крайней мере один из критериевокончания расчетов.1. Зададим x 0 , ε1 , ε 2 , M : x 0 = (0,5;1) ; ε1 = 0,1; ε 2 = 0,15; M = 10 .

Найдем граTдиент функции в произвольной точке ∇f ( x ) = (4 x1 + x 2 ; x1 + 2 x 2 )T .2. Положим k = 0 .( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )30 . Вычислим ∇f x 0 : ∇f x 0 = (3; 2,5) .4 0 . Вычислим00T= 3,9 > 0,1 . Перейдем к шагу 5.5 0 . Проверим условие k ≥ M : k = 0 < 10 = M , перейдем к шагу 6.6 0 . Следующую точку найдем по формулеx 1 = x 0 − t 0 ∇f ( x 0 ) = (0,5; 1)T − t 0 (3; 2,5)T = (0,5 − 3t 0 ; 1 − 2,5 ⋅ t 0 )T .168Подставим полученные выражения x11 = 0,5 − 3t 0 , x 21 = 1 − 2,5 ⋅ t 0 для координатв f ( x ) : ϕ(t 0 ) = 2 ⋅ (0,5 − 3t 0 ) 2 + (0,5 − 3t 0 ) ⋅ (1 − 2,5 ⋅ t 0 ) + (1 − 2,5 ⋅ t 0 ) 2 . Найдем минимумфункции ϕ(t 0 ) по t 0 с помощью необходимых условий безусловного экстремума:dϕ(t 0 )dt 0= 4 ⋅ (0,5 − 3t 0 ) ⋅ (−3) + (−3) ⋅ (1 − 2,5t 0 ) + (−2,5) ⋅ (0,5 − 3t 0 ) + 2 ⋅ (1 − 2,5 ⋅ t 0 ) ⋅ (−2,5) =d 2 ϕ(t 0 )∗= 63,25 > 0 , найденное знаdt 02чение шага обеспечивает минимум функции ϕ(t 0 ) по t 0 .Заметим, что можно получить формулу для вычисления наилучшей величины шага∗t k на любой итерации из условия= −15,25 + 63,25 ⋅ t 0 = 0 .

Отсюда t 0 ≅ 0,24 . Так как(.( )) → mintϕ(t k ) = f x k − t k ∇f x kИмеем( ) (∇f x k = 4 x1k + x 2k ; x1k + x 2k)Tk( ) [(2k1k2t k∗=)) + (x − t (4x + x ))(x+ ( x − t ( x + x )) .ϕ(t k ) = 2 x1k − t k (4 x1k + x 2k )Из условия((4 4 x1 + x 2)k 2(4 x1k(+ 2 4 x1Определим t 0∗ : t 0∗ = 0,24 .k12k1( )k2)− t k (x1k + x 2k ) ++ 2x 2 kkk+ 2x 2)) + 2 (x2T)k 2.k+ 2x 2T= ( − 0,22; 0,4) .17 0 . Найдем x 1 = x 0 − t 0∗ ∇f x 0 : x 1 = (0,5;1) − 0,24(3; 2,5)T( ) ( ):80 .

Вычислим x 1 − x 0 : x 1 − x 0 = 0,937 > 0,15 . Вычислим f x 1 − f x 0( ) ( )f x1 − f x 0= 1,83 > 0,15 . Вывод: положим k = 1 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) = 0,752 > 0,1 .31 . Вычислим ∇f x 1 : ∇f x 1 = ( − 0,48; 0,58) .41 . ВычислимT151 . Проверим условие k ≥ M : k = 1 < 10 = M .61 . Определим t1∗ : t1∗ = 0,546 (см. п. 6 0 ).( )71 . Найдем x 2 = x 1 − t1∗ ∇f x 1 :x 2 = ( − 0,22; 0,4) − 0,546 ( − 0,48; 0,58)Tx 2 − x1= (0,04; 0,08) .TT( ) ( )= 0,41 > 0,15 ;f (x ) − f (x )81 . Вычислим x 2 − x 1 ,f x 2 − f x1 :2169)]2k12k2k2) + (x+ x )(x+ x2kkk1kkdϕ= 0 получаемdt kk(; x k − t k ∇f x k = x1k − t k 4 x1k + x 2k ; x 2k − t k x1k + x 2k1= 0,156 > 0,15 .T,Положим k = 2 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x )32 .

Вычислим ∇f x 2 : ∇f x 2 = (0,24; 0,2) .4 2 . Вычислим22T= 0,312 > 0,1 .5 2 . Проверим условие k ≥ M : k = 2 < 10 = M .6 2 . Определим t 2∗ : t 2∗ = 0,24 (см. п. 6 0 ).( )7 2 . Найдем x 3 = x 2 − t 2∗ ∇f x 2 :x 3 = (0,04; 0,08)− 0,24 (0,24; 0,2)T= ( − 0,0176; 0,032) .T( ) ( ):= 0,0749 < 0,15 ;f (x ) − f (x )82 . Вычислим x 3 − x 2 ,x3 − x2Tf x3 − f x232= 0,0116 < 0,15 .Положим k = 3 и перейдем к шагу 3.( ) ( )∇f (x ) : ∇f (x ), f ( x ) = 0,00127 .33 . Вычислим ∇f x 3 : ∇f x 3 = ( − 0,012; − 0,0816) .43 . Вычислим3x 3 = ( − 0,0176; 0,032)T3T= 0,082 < 0,1 . Расчет окончен.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
334,04 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее