semopt3 (1013527), страница 2

Файл №1013527 semopt3 (Практические занятия) 2 страницаsemopt3 (1013527) страница 22017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найдена точка3II. Проведем анализ точки x 3 . В примере 1 было показано, что точка x 3 являетсянайденным приближением точки минимума x ∗ . ■В. МЕТОД ГАУССА–ЗЕЙДЕЛЯАлгоритмШаг 1. Задать x 00 , ε1 > 0 , ε 2 > 0 ; предельное число M циклов счета, кратное n ,где n – размерность вектора x . Найти градиент ∇f (x ) .Шаг 2. Задать номер цикла j = 0 .Шаг 3. Проверить условие j ≥ M :а) если j ≥ M , то расчет окончен и x ∗ = x jk ;б) если j < M , то перейти к шагу 4.Шаг 4. Задать k = 0 .Шаг 5. Проверить условие k ≤ n − 1 :а) если k ≤ n − 1 , то перейти к шагу 6;б) если k = n , то положить j = j + 1 и перейти к шагу 3.( )Шаг 6.

Вычислить ∇f x jk .( )Шаг 7. Проверить выполнение условия ∇f x jk< ε1 :а) если условие выполнено, то расчет окончен и x ∗ = x jk ;б) если нет, то перейти к шагу 8.170Шаг 8. Вычислить t k∗ из условия⎛⎞⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟⎟e⋅ϕ(t k ) = f ⎜ x jk − t k ⎜⎜k +1 ⎟ → min .⎟⎜tk⎝ ∂ x k +1 ⎠ x = x jk⎝⎠⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟Шаг 9. Вычислить x jk +1 = x jk − t k∗ ⎜⎜⋅ e k +1 .⎟x∂⎝ k +1 ⎠ x = x jkШаг 10.

Проверить выполнение условийx jk +1 − x jk < ε 2 ,() ( )f x jk +1 − f x jk< ε2 :а) если оба условия выполнены в двух последовательных циклах с номерами j иj − 1 , то расчет окончен, найдена точка x ∗ = x jk +1 ;б) если не выполняется хотя бы одно условие, положить k = k + 1 и перейти кшагу 5.Геометрическая интерпретация метода для n = 2 приведена на рис.

3.x2f ( x ) = C1C1 > C 2x 01x 00x 02f ( x) = C 2x1Рис. 3Пример 3. Найти локальный минимум функцииf ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 .† I. Определим точку x jk , в которой выполнен хотя бы один из критериев окончания расчетов.1. Зададим x 00 , ε1 , ε 2 , M : x 00 = (0,5;1) , ε1 = 0,1; ε 2 = 0,15; M = 10 .

Найдем граTдиент функции в произвольной точке ∇f ( x ) = (4 x1 + x 2 ; x1 + 2 x 2 )T .2. Зададим j = 0 .30 . Проверим выполнение условия j ≥ M : j = 0 < 10 = M .4 0 . Зададим k = 0 .1715 0 . Проверим выполнение условия k ≤ n − 1 : k = 0 < 1 = n − 1 .( )( )∇f (x )6 0 . Вычислим ∇f x 00 : ∇f x 00 = (3; 2,5) .7 0 . Проверим условие00T< ε1 :( )∇f x 00= 3,9 > 0,1 .80 . Определим величину шага t 0∗ из условия⎞⎛⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟ → min .⎟eϕ(t 0 ) = f ⎜ x j 0 − t 0 ⎜⎜⋅1⎟⎟⎜t0x∂0j1 ⎠x =x⎝⎠⎝⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟Воспользуемся формулой при k = 0, j = 0 : x 01 = x 00 − t 0 ⎜⎜⋅ e1 .⎟⎝ ∂ x1 ⎠ x = x 00⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟Поскольку ⎜⎜= 4 x1 + x 2⎟∂x001 ⎠x =x⎝x = x 00x 01 = (0,5; 1)T − t 0 ⋅ 3 ⋅ (1; 0)T = (0,5 − 3t 0 ; 1)T= 2 + 1 = 3 , e1 = (1; 0)T , тоили x101 = 0,5 − 3t 0 , x 201 = 1 .

Подставляяполученные выражения в f ( x ) , имеем ϕ(t 0 ) = 2(0,5 − 3t 0 ) 2 + (0,5 − 3t 0 ) ⋅ 1 + 1 .dϕ(t 0 )Из необходимого условия экстремума= 4 ⋅ (0,5 − 3t 0 ) ⋅ (−3) − 3 = 0 илиdt 0d 2 ϕ(t 0 )1. Так как= 36 > 0 , то найденное значение шага4dt 0 2обеспечивает минимум функции ϕ(t 0 ) по t 0 .Можно показать, что в силу структуры заданной функции f ( x ) величина шага в36t 0 − 9 = 0находим t 0∗ =⎛ ∂ f (x ) ⎞1⎟⎟направлении − ⎜⎜⋅ e1 не зависит от x k , является постоянной и равной .4⎝ ∂ x1 ⎠ x = x jk⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟90 . Определим x 01 = x 00 − t 0∗ ⎜⎜⋅ e1 :⎟∂x1 ⎠ x = x 00⎝x 01 = ( − 0,25;1) .T( ) ( )f (x ) − f (x ) = 0,875 − 2100 . Проверим условия x 01 − x 00 < ε 2 ,x 01 − x 00 = 0,25 > 0,15 ,01f x 01 − f x 0000< ε2 := 1,125 > 0,15 .Положим k = 1 и перейдем к шагу 5.51 .

Проверим условие k ≤ n − 1 : k = 1 = n − 1 .( )( )∇f (x )61 . Вычислим ∇f x 01 : ∇f x 01 = (0;1,75) .71 . Проверим условие01T< ε1 :81 . Определим величину шага t1∗ из условия⎛ϕ(t1 ) = f ⎜ x j1 − t1⎜⎝( )∇f x 01= 1,75 > 0,1 .⎞⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟⎜⎟e⋅2 ⎟ → min .⎜ ∂x ⎟t12 ⎠ x = x j1⎝⎠172⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟Воспользуемся формулой при k = 1, j = 0 : x 02 = x 01 − t1 ⎜⎜⋅ e2 .⎟⎝ ∂ x 2 ⎠ x = x 01⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟Поскольку ⎜⎜= x1 + 2 x 2 x = x 01 = − 0,25 + 2 = 1,75 , e 2 = (0; 1)T , то⎟∂x2 ⎠ x = x 01⎝x 02 = (− 0,25; 1)T − t1 ⋅ 1,75 ⋅ (0; 1)T = (− 0,25; 1 − 1,75 ⋅ t1 )T или x102 = − 0,25; x202 = 1 − 1,75 ⋅ t1 .Подставляя полученные выражения в f ( x ) , имеемϕ(t1 ) = 2(− 0,25)2 + (− 0,25) ⋅ (1 − 1,75 ⋅ t1 ) + (1 − 1,75 ⋅ t1 )2 .Из необходимого условия экстремумаdϕ(t1 )= 0,25 ⋅ 1,75 + 2 ⋅ (1 − 1,75 ⋅ t1 ) ⋅ (−1,75) = 0 или 2 ⋅ 1,75 2 t1 − 1,75 2 = 0dt1d 2 ϕ(t1 )1.

Так как= 2 ⋅ 1,75 2 > 0 , то найденное значение шага обеспечива22dt1ет минимум функции ϕ(t1 ) по t1 .находим t1∗ =Можно показать, что в силу структуры функции f ( x ) величина шага в направле⎛ ∂ f (x ) ⎞⎟⎟нии − ⎜⎜⋅ e2⎝ ∂ x 2 ⎠ x = x jkостается постоянной и равной1.2⎛ ∂ f (x ) ⎞T⎟91 . Вычислим x 02 = x 01 − t1∗ ⎜⎜⋅ e 2 : x 02 = ( − 0,25; 0,125) .⎟⎝ ∂ x 2 ⎠ x = x 01( ) ( )101 . Проверим условия x 02 − x 01 < ε 2 ,x 02 − x 01 = 0,875 > 0,15 ,f x 02 − f x 01( ) ( )f x 02 − f x 01< ε2 := 0,12 − 0,875 = 0,755 > 0,15 .Положим k = 2 и перейдем к шагу 5.5 2 . Проверим условие k ≤ n − 1 : k = 2 = n . Положим j = 1, x 10 = x 02 и перейдемк шагу 3.31 . Проверим условие j ≥ M : j = 1 < 10 = M .41 .

Зададим k = 0 .53 . Проверим условие k ≤ n − 1 : k = 0 < 1 = n − 1 .( )( )∇f (x )( )63 . Вычислим ∇f x 10 : ∇f x 10 = ∇f x 02 = ( − 0,875; 0,00) .73 . Проверим условие10< ε1 :T( )∇f x 10= 0,875 > 0,1 .83 . Полагаем t 0∗ = 0,25 (см. п. 80 ).⎛ ∂ f (x ) ⎞T⎟93 . Вычислим x 11 = x 10 − t 0∗ ⎜⎜⋅ e1 : x 11 = ( − 0,03; 0,125) .⎟⎝ ∂ x1 ⎠ x = x10103 . Проверим условия x 11 − x 10 < ε 2 ,173( ) ( )f x 11 − f x 10< ε2 :( ) ( )x 11 − x 10 = 0,22 > 0,15 ,f x 11 − f x 10= 0,013 − 0,1375 = 0,124 < 0,15 .Положим k = 1 и перейдем к шагу 5.5 4 .

Проверим условие k ≤ n − 1 : k = 1 = n − 1 .( )( )∇f (x )6 4 . Вычислим ∇f x 11 : ∇f x 11 = (0,005; 0,22) .7 4 . Проверим условие11T( )∇f x 11< ε1 := 0,22 > 0,1 .84 . Зададим t1∗ = 0,5 (см. п. 81 ).⎛ ∂ f (x ) ⎞T⎟94 . Вычислим x 12 = x 11 − t1∗ ⎜⎜⋅ e 2 : x 12 = ( − 0,03; 0,015) .⎟⎝ ∂ x 2 ⎠ x = x11( ) ( )104 . Проверим условия x 12 − x 11 < ε 2 ,f x 12 − f x 11( ) ( )x 12 − x 11 = 0,11 < 0,15 ,f x 12 − f x 11< ε2 := 0,0015 − 0,013 = 0,0115 < 0,15 .Положим k = 2 и перейдем к шагу 5.55 .

Проверим условие k ≤ n − 1 : k = 2 = n . Положим j = 2, x 20 = x 12 и перейдем к шагу 3.32 . Проверим условие j ≥ M : j = 2 < 10 = M .4 2 . Зададим k = 0 .5 6 . Проверим условие k ≤ n − 1 : k = 0 < 1 = n − 1 .( )( )∇f (x ) < ε :65 . Вычислим ∇f x 20 : ∇f x 20 = ( − 0,105; 0) .75 . Проверим условие201T( )∇f x 20= 0,105 > ε1 .85 . Зададим t 0∗ = 0,25 (см. п. 80 ).⎛ ∂ f (x ) ⎞T⎟95 . Вычислим x 21 = x 20 − t 0∗ ⎜⎜⋅ e1 : x 21 = ( − 0,004; 0,015) .⎟⎝ ∂ x1 ⎠ x = x 20105 .

Проверим условия x 21 − x 20 < ε 2 ,x 21 − x 20 = 0,026 < 0,15 ,( ) ( ) = 0,000197 − 0,0015 = 0,0013 < 0,15 .) − f (x ) < ε выполнены в двух последо, f (xjk +1вательных циклах с номерами j = 2 иT( )< ε2 :f x 21 − f x 20Условия x jk +1 − x jk < ε 2x 21 = ( − 0,004; 0,015) ;( ) ( )f x 21 − f x 20jk2j − 1 = 1 . Расчет окончен, найдена точкаf x 21 = 0,000197 .Полученыточкипоследовательностиx 00 → x 01 → x 02 = x 10 → x 11 → x 12 = x 20 → x 21 .II.

Проведем анализ точки x 21 . Точка x 21 является найденным приближением точки минимума f ( x ) (см. пример 1). „174.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
334,04 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6374
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее