semopt10 (1013538)

Файл №1013538 semopt10 (Практические занятия)semopt10 (1013538)2017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 10. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в видеAx = bили⎛ a11 " a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ # % # ⎟ ⎜ # ⎟ = ⎜ # ⎟,⎜a⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ n1 " ann ⎠ ⎝ x n ⎠ ⎝ bn ⎠где A = (ai j ) ∈ R n × n – действительная матрица размеров (n × n) , i , j – переменные,соответствующие номерам строк и столбцов (целые числа); b = (b1 ,..., bn )T ∈ R n –вектор-столбец размеров (n × 1) , x = ( x1 ,..., x n )T ∈ R n – вектор-столбец неизвестных,R n – n -мерное евклидово пространство, верхний индекс "T " здесь и далее обозначаетоперацию транспонирования.Требуется найти решение x ∗ = ( x ∗1 ,..., x ∗ n )T ∈ R n системы, подстановка кото-рого в систему приводит к верному равенству A x ∗ = b .А. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙМетодика решения задачиШаг 1.

Преобразовать систему Ax = b к виду x = αx + β одним из описанныхспособов.x (0 )Шаг 2. Задать начальное приближение решения x (0) произвольно или положить= β , а также малое положительное число ε (точность). Положить k = 0 .Шаг 3. Вычислить следующее приближение x (k +1) по формулеx (k +1) = αx (k ) + β .Шаг 4. Если выполнено условие окончания x (k +1) − x (k ) < ε , процесс завершить и положить x ∗ ≅ x (k +1) . Иначе положить k = k + 1 и перейти к п.3.Пример 1. Методом простых итераций с точностью ε = 0,01 решить системулинейных алгебраических уравнений:2 x1 + 2 x 2 + 10 x 3 = 14 ,10 x1 + x 2 + x 3 = 12 ,2 x1 + 10 x 2 + x 3 = 13.227† 1. Так как 2 < 2 + 10 , 1 < 10 + 1 , 1 < 2 + 10 , условие преобладаниядиагональных элементов не выполняется. Переставим уравнения местами так, чтобывыполнялось условие преобладания диагональных элементов:10 x1 + x 2 + x 3 = 12 ,2 x1 + 10 x 2 + x 3 = 13,2 x1 + 2 x 2 + 10 x 3 = 14 .10 > 1 + 1 , 10 > 2 + 1 , 10 > 2 + 2 .

Выразим из первого уравненияПолучаемx1 , из второго x 2 , из третьего x 3 :x1 = − 0,1 ⋅ x 2 − 0,1 ⋅ x 3 + 1,2 ,x 2 = − 0,2 ⋅ x1 − 0,1 ⋅ x 3 + 1,3 ,x 3 = − 0,2 ⋅ x1 − 0,2 ⋅ x 2 + 1,4 ;Заметим, чтоα1⎛ 0 − 0,1 − 0,1 ⎞⎛1,2 ⎞⎜⎟⎜ ⎟0 − 0,1 ⎟ ; β = ⎜ 1,3 ⎟ .α = ⎜ − 0,2⎜ − 0,2 − 0,2⎜1,4 ⎟0 ⎟⎠⎝⎝ ⎠= max { 0,2 ; 0,3 ; 0,4 } = 0,4 < 1 , следовательно, условие сходимости(теорема) выполнено.2. Зададим x(0 )⎛1,2 ⎞⎜ ⎟= β = ⎜ 1,3 ⎟ .

В поставленной задаче ε = 0,01 .⎜1,4 ⎟⎝ ⎠3. Выполним расчеты по формуле x (k +1) = αx (k ) + β :x (k +1)(k )⎛ 0 − 0,1 − 0,1 ⎞ ⎛⎜ x1 ⎞⎟ ⎛1,2 ⎞⎜⎟⎜ ⎟= ⎜ − 0,20 − 0,1 ⎟ ⋅ ⎜ x 2(k ) ⎟ + ⎜ 1,3 ⎟ , k = 0,1,... ,⎜ − 0,2 − 0,2⎟ ⎜⎜ x (k ) ⎟⎟ ⎜1,4 ⎟0⎝⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠илиx1(k +1) = − 0,1x 2(k ) − 0,1x 3(k ) + 1,2 ;x 2(k +1) = − 0,2 x1(k ) − 0,1x 3(k ) + 1,3 ;k = 0,1,... ,x 3(k +1) = − 0,2 x1(k ) − 0,2 x 2(k ) + 1,4 ;до выполнения условия окончания и результаты занесем в табл.

1.Таблица 1kx1(k )x 2(k )x 3(k )x (k ) − x (k −1)0123451,20000,93001,01800,99461,00150,99961,30000,92001,02400,99341,00200,99951,40000,9001,03000,99161,00240,99930,50,130,03840,01080,0027< ε22814. Расчет закончен, поскольку условие окончания x (k +1) − x (k ) = 0,0027 < εвыполнено.Приближенное решение задачи: x ∗ ≅ (0,9996 ; 0,9995 ; 0,9993)T . Очевидно, точное решение: x ∗ = (1 ; 1 ; 1)T .Б.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯМетодика решения задачиШаг 1. Преобразовать систему Ax = b к виду x = αx + β одним из описанныхспособов.Шаг 2. Задать начальное приближение решения x (0) произвольно или положитьx (0) = β , а также малое положительное число ε (точность). Положить k = 0 .Шаг 3. Произвести расчеты по формулеx1(k +1) = α11 x1(k ) + α12 x 2(k ) + α13 x 3(k ) + ... + α1n x n(k ) + β1 ,x 2(k +1) = α 21 x1(k +1) + α 22 x 2(k ) + α 23 x 3(k ) + ... + α 2n x n( k ) + β 2 ,(*)x 3(k +1) = α 31 x1( k +1) + α 32 x 2( k +1) + α 33 x 3( k ) + ...

+ α 3n x n( k ) + β 3 ,#x n( k +1) = α n1 x1(k +1) + α n 2 x 2( k +1) + α n3 x 3( k +1) + ... + α nn −1 x n(k−+11) + α nn x n(k ) + β n .(в каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученныхиз предыдущих уравнений, что показано в записи стрелками)илиx (k +1) = Lx (k +1) + Ux (k ) + β ,где L,U являются разложениями матрицы α :⎛ 0⎜⎜ α 21L = ⎜ α 31⎜⎜"⎜⎝ α n10000α 320""α n2α n30⎞⎟0⎟" 0 ⎟,⎟" "⎟⎟" 0⎠""⎛ α11⎜⎜ 0U =⎜ 0⎜⎜"⎜⎝ 0α12α 220"0α13 " α1n ⎞⎟α 23 " α 2n ⎟α 33 " α 3n ⎟ .⎟" " " ⎟⎟0 " α nn ⎠и найти x (k +1) .Шаг 4. Если выполнено условие окончания x (k +1) − x (k ) < ε , процесс завершить и положить x ∗ ≅ x (k +1) .

Иначе положить k = k + 1 и перейти к п.3.229Пример 2. Методом Зейделя с точностью ε = 0,001 решить систему линейныхалгебраических уравнений:2 x1 + 2 x 2 + 10 x 3 = 14 ,10 x1 + x 2 + x 3 = 12 ,2 x1 + 10 x 2 + x 3 = 13 .† 1. Приведем систему Ax = b к виду x = αx + β так же, как в примере 1:x1 = − 0,1 ⋅ x 2 − 0,1 ⋅ x 3 + 1,2 ,x 2 = − 0,2 ⋅ x1 − 0,1 ⋅ x 3 + 1,3 ,x 3 = − 0,2 ⋅ x1 − 0,2 ⋅ x 2 + 1,4 ;Так как α1⎛ 0 − 0,1 − 0,1 ⎞⎟⎜α = ⎜ − 0,20 − 0,1 ⎟ ;⎜ − 0,2 − 0,20 ⎟⎠⎝⎛1,2 ⎞⎜ ⎟β = ⎜ 1,3 ⎟ .⎜1,4 ⎟⎝ ⎠= max { 0,2 ; 0,3 ; 0,4 } = 0,4 < 1 , условие сходимости выполняется.2. Зададим x (0) = (1,2; 0; 0)T .

В поставленной задаче ε = 0,001 .3. Выполним расчеты по формуле (*):x1(k +1) = − 0,1x 2(k ) − 0,1x 3(k ) + 1,2 ;x 2(k +1) = − 0,2 x1(k +1) − 0,1x 3(k ) + 1,3 ;k = 0,1,... ,x 3(k +1) = − 0,2 x1(k +1) − 0,2 x 2(k +1) + 1,4 ;и результаты занесем в табл. 2.Таблица 2kx1(k )x 2(k )x 3(k )x (k ) − x (k −1)012341,20001,20000,99920,99961,000001,06001,00541,00021,000000,94800,99911,00001,00001,06000,10080,00520,0004< ε1Очевидно, найденное решение x ∗ = (1 ; 1 ; 1)T является точным.4. Расчет завершен, поскольку условие окончания x (k +1) − x (k ) = 0,0004 < εвыполнено.„230.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
274,68 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее