semopt10 (1013538)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 10. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в видеAx = bили⎛ a11 " a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ # % # ⎟ ⎜ # ⎟ = ⎜ # ⎟,⎜a⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ n1 " ann ⎠ ⎝ x n ⎠ ⎝ bn ⎠где A = (ai j ) ∈ R n × n – действительная матрица размеров (n × n) , i , j – переменные,соответствующие номерам строк и столбцов (целые числа); b = (b1 ,..., bn )T ∈ R n –вектор-столбец размеров (n × 1) , x = ( x1 ,..., x n )T ∈ R n – вектор-столбец неизвестных,R n – n -мерное евклидово пространство, верхний индекс "T " здесь и далее обозначаетоперацию транспонирования.Требуется найти решение x ∗ = ( x ∗1 ,..., x ∗ n )T ∈ R n системы, подстановка кото-рого в систему приводит к верному равенству A x ∗ = b .А. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙМетодика решения задачиШаг 1.

Преобразовать систему Ax = b к виду x = αx + β одним из описанныхспособов.x (0 )Шаг 2. Задать начальное приближение решения x (0) произвольно или положить= β , а также малое положительное число ε (точность). Положить k = 0 .Шаг 3. Вычислить следующее приближение x (k +1) по формулеx (k +1) = αx (k ) + β .Шаг 4. Если выполнено условие окончания x (k +1) − x (k ) < ε , процесс завершить и положить x ∗ ≅ x (k +1) . Иначе положить k = k + 1 и перейти к п.3.Пример 1. Методом простых итераций с точностью ε = 0,01 решить системулинейных алгебраических уравнений:2 x1 + 2 x 2 + 10 x 3 = 14 ,10 x1 + x 2 + x 3 = 12 ,2 x1 + 10 x 2 + x 3 = 13.227† 1. Так как 2 < 2 + 10 , 1 < 10 + 1 , 1 < 2 + 10 , условие преобладаниядиагональных элементов не выполняется. Переставим уравнения местами так, чтобывыполнялось условие преобладания диагональных элементов:10 x1 + x 2 + x 3 = 12 ,2 x1 + 10 x 2 + x 3 = 13,2 x1 + 2 x 2 + 10 x 3 = 14 .10 > 1 + 1 , 10 > 2 + 1 , 10 > 2 + 2 .

Выразим из первого уравненияПолучаемx1 , из второго x 2 , из третьего x 3 :x1 = − 0,1 ⋅ x 2 − 0,1 ⋅ x 3 + 1,2 ,x 2 = − 0,2 ⋅ x1 − 0,1 ⋅ x 3 + 1,3 ,x 3 = − 0,2 ⋅ x1 − 0,2 ⋅ x 2 + 1,4 ;Заметим, чтоα1⎛ 0 − 0,1 − 0,1 ⎞⎛1,2 ⎞⎜⎟⎜ ⎟0 − 0,1 ⎟ ; β = ⎜ 1,3 ⎟ .α = ⎜ − 0,2⎜ − 0,2 − 0,2⎜1,4 ⎟0 ⎟⎠⎝⎝ ⎠= max { 0,2 ; 0,3 ; 0,4 } = 0,4 < 1 , следовательно, условие сходимости(теорема) выполнено.2. Зададим x(0 )⎛1,2 ⎞⎜ ⎟= β = ⎜ 1,3 ⎟ .

В поставленной задаче ε = 0,01 .⎜1,4 ⎟⎝ ⎠3. Выполним расчеты по формуле x (k +1) = αx (k ) + β :x (k +1)(k )⎛ 0 − 0,1 − 0,1 ⎞ ⎛⎜ x1 ⎞⎟ ⎛1,2 ⎞⎜⎟⎜ ⎟= ⎜ − 0,20 − 0,1 ⎟ ⋅ ⎜ x 2(k ) ⎟ + ⎜ 1,3 ⎟ , k = 0,1,... ,⎜ − 0,2 − 0,2⎟ ⎜⎜ x (k ) ⎟⎟ ⎜1,4 ⎟0⎝⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠илиx1(k +1) = − 0,1x 2(k ) − 0,1x 3(k ) + 1,2 ;x 2(k +1) = − 0,2 x1(k ) − 0,1x 3(k ) + 1,3 ;k = 0,1,... ,x 3(k +1) = − 0,2 x1(k ) − 0,2 x 2(k ) + 1,4 ;до выполнения условия окончания и результаты занесем в табл.

1.Таблица 1kx1(k )x 2(k )x 3(k )x (k ) − x (k −1)0123451,20000,93001,01800,99461,00150,99961,30000,92001,02400,99341,00200,99951,40000,9001,03000,99161,00240,99930,50,130,03840,01080,0027< ε22814. Расчет закончен, поскольку условие окончания x (k +1) − x (k ) = 0,0027 < εвыполнено.Приближенное решение задачи: x ∗ ≅ (0,9996 ; 0,9995 ; 0,9993)T . Очевидно, точное решение: x ∗ = (1 ; 1 ; 1)T .Б.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯМетодика решения задачиШаг 1. Преобразовать систему Ax = b к виду x = αx + β одним из описанныхспособов.Шаг 2. Задать начальное приближение решения x (0) произвольно или положитьx (0) = β , а также малое положительное число ε (точность). Положить k = 0 .Шаг 3. Произвести расчеты по формулеx1(k +1) = α11 x1(k ) + α12 x 2(k ) + α13 x 3(k ) + ... + α1n x n(k ) + β1 ,x 2(k +1) = α 21 x1(k +1) + α 22 x 2(k ) + α 23 x 3(k ) + ... + α 2n x n( k ) + β 2 ,(*)x 3(k +1) = α 31 x1( k +1) + α 32 x 2( k +1) + α 33 x 3( k ) + ...

+ α 3n x n( k ) + β 3 ,#x n( k +1) = α n1 x1(k +1) + α n 2 x 2( k +1) + α n3 x 3( k +1) + ... + α nn −1 x n(k−+11) + α nn x n(k ) + β n .(в каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученныхиз предыдущих уравнений, что показано в записи стрелками)илиx (k +1) = Lx (k +1) + Ux (k ) + β ,где L,U являются разложениями матрицы α :⎛ 0⎜⎜ α 21L = ⎜ α 31⎜⎜"⎜⎝ α n10000α 320""α n2α n30⎞⎟0⎟" 0 ⎟,⎟" "⎟⎟" 0⎠""⎛ α11⎜⎜ 0U =⎜ 0⎜⎜"⎜⎝ 0α12α 220"0α13 " α1n ⎞⎟α 23 " α 2n ⎟α 33 " α 3n ⎟ .⎟" " " ⎟⎟0 " α nn ⎠и найти x (k +1) .Шаг 4. Если выполнено условие окончания x (k +1) − x (k ) < ε , процесс завершить и положить x ∗ ≅ x (k +1) .

Иначе положить k = k + 1 и перейти к п.3.229Пример 2. Методом Зейделя с точностью ε = 0,001 решить систему линейныхалгебраических уравнений:2 x1 + 2 x 2 + 10 x 3 = 14 ,10 x1 + x 2 + x 3 = 12 ,2 x1 + 10 x 2 + x 3 = 13 .† 1. Приведем систему Ax = b к виду x = αx + β так же, как в примере 1:x1 = − 0,1 ⋅ x 2 − 0,1 ⋅ x 3 + 1,2 ,x 2 = − 0,2 ⋅ x1 − 0,1 ⋅ x 3 + 1,3 ,x 3 = − 0,2 ⋅ x1 − 0,2 ⋅ x 2 + 1,4 ;Так как α1⎛ 0 − 0,1 − 0,1 ⎞⎟⎜α = ⎜ − 0,20 − 0,1 ⎟ ;⎜ − 0,2 − 0,20 ⎟⎠⎝⎛1,2 ⎞⎜ ⎟β = ⎜ 1,3 ⎟ .⎜1,4 ⎟⎝ ⎠= max { 0,2 ; 0,3 ; 0,4 } = 0,4 < 1 , условие сходимости выполняется.2. Зададим x (0) = (1,2; 0; 0)T .

В поставленной задаче ε = 0,001 .3. Выполним расчеты по формуле (*):x1(k +1) = − 0,1x 2(k ) − 0,1x 3(k ) + 1,2 ;x 2(k +1) = − 0,2 x1(k +1) − 0,1x 3(k ) + 1,3 ;k = 0,1,... ,x 3(k +1) = − 0,2 x1(k +1) − 0,2 x 2(k +1) + 1,4 ;и результаты занесем в табл. 2.Таблица 2kx1(k )x 2(k )x 3(k )x (k ) − x (k −1)012341,20001,20000,99920,99961,000001,06001,00541,00021,000000,94800,99911,00001,00001,06000,10080,00520,0004< ε1Очевидно, найденное решение x ∗ = (1 ; 1 ; 1)T является точным.4. Расчет завершен, поскольку условие окончания x (k +1) − x (k ) = 0,0004 < εвыполнено.„230.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций