semopt4 (1013528)
Текст из файла
Занятие 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГОЭКСТРЕМУМА. МЕТОДЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА(продолжение занятия 3)Г. МЕТОД ФЛЕТЧЕРА–РИВСАПостановка задачиПусть дана функция f ( x) , ограниченная снизу на множестве R n и имеющаянепрерывные частные производные во всех его точках.Требуется найти локальный минимум функции f ( x) на множестве допустимыхрешений X = R n , т.е. найти такую точку x ∗ ∈ R n , чтоf ( x ∗ ) = minn f ( x) .x∈ RАлгоритмШаг 1.
Задать x 0 , ε1 > 0 , ε 2 > 0 , M – предельное число итераций. Найти градиент ∇f (x ) .Шаг 2. Положить k = 0 .( )Шаг 3. Вычислить ∇f x k .( )Шаг 4. Проверить выполнение критерия окончания ∇f x k< ε1 :а) если критерий выполняется, то расчет окончен и x ∗ = x k ;б) если нет, то перейти к шагу 5.Шаг 5. Проверить условие k ≥ M :а) если неравенство выполняется, то расчет окончен и x ∗ = x k ;б) если нет, то при k = 0 перейти к шагу 6, а при k ≥ 1 перейти к шагу 7.( )Шаг 6. Определить d 0 = − ∇f x 0 .Шаг 7. Определитьβ k −1 =( )∇f x(∇f x2kk −1)2,( ( )[ ( ) (( )⎡⎧ ∇f x k , ∇ f x k − ∇ f x k − 1⎢⎪2⎪k −1⎢β∇fx=⎨⎢ k −1⎪⎢⎪⎩ 0, k ∈ J⎢⎣( )Шаг 8.
Определить d k = − ∇f x k + β k −1 d k −1 .()Шаг 9. Найти t k∗ из условия ϕ(t k ) = f x k + t k d k → min .tkШаг 10. Вычислить x k +1 = x k + t k∗ d k .Шаг 11. Проверить выполнение условийx k +1 − x k < ε 2 ,175() ( )f x k +1 − f x k< ε2 :) ] ),⎤k ∉J⎥⎥.⎥⎥⎥⎦а) в случае выполнения обоих условий в двух последовательных итерациях с номерами k и k − 1 расчет окончен, найдена точка x * = x k +1 ;б) если не выполняется хотя бы одно из условий, положить k = k + 1 и перейтик шагу 3.Геометрическая интерпретация метода для n = 2 изображена на рис. 4.x2x0− ∇f ( x 1 )x1C1 > C 2f ( x) = C1d 0 = −∇f ( x 0 )f ( x) = C 2d1β0d 0x∗0x1Рис. 4Пример 4.
Найти локальный минимум функцииf ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 . I. Определим точку x k , в которой выполнен по крайней мере один из критериев окончания расчетов.1. Зададим x 0 , ε1 , ε 2 , M : x 0 = (0,5;1) , ε1 = 0,1; ε 2 = 0,15; M = 10 . Найдем градиTент функции в произвольной точке ∇f ( x ) = (4 x1 + x 2 ; x1 + 2 x 2 )T .2.
Положим k = 0 .( )( )∇f (x )30 . Вычислим ∇f x 0 : ∇f x 0 = (3; 2,5) .4 0 . Проверим условиеT0< ε1 :( )∇f x 0= 3,9 > 0,1 .5 0 . Проверим условие k ≥ M : k = 0 < 10 = M .( )6 0 . Определим d 0 = − ∇f x 0 : d 0 = − (3; 2,5) .T()90 . Определим t 0∗ из условия f x 0 + t 0 d 0 → min : t 0∗ = 0,24 (см.
пример 2, такt0как первая итерация выполняется по методу наискорейшего спуска).100 . Вычислим x 1 = x 0 + t 0∗ d 0 : x 1 = ( − 0,22; 0,4) .T110 . Проверим условия x 1 − x 0 < ε 2 ,176( ) ( )f x1 − f x 0< ε2 :( ) ( )x 1 − x 0 = 0,937 > 0,15 ;f x1 − f x 0= 0,17 − 2 = 1,83 > 0,15 .Положим k = 1 и перейдем к шагу 3.( )( )∇f (x )31 . Вычислим ∇f x 1 : ∇f x 1 = ( − 0,48; 0,58) .41 . Проверим условие1T( )∇f x 1< ε1 := 0,752 > 0,1 .51 . Проверим условие k ≥ M : k = 1 < 10 = M .71 . Определим β 081 . Определим d 1( ): β = 0,0373 .=∇f (x )= − ∇f (x ) + β d :∇f x 1021d 1 = − ( − 0,48; 0,58)T0200− 0,0373 (3; 2,5)T(= ( 0,368; − 0,673) .T)91 .
Определим t1∗ из условия f x 1 + t1 d 1 → min . Воспользуемся формулойt1x 2 = x 1 + t1 d 1 = (− 0,22; 0,4)T + t1 (0,368 ; − 0,673)T = (− 0,22 + 0,368 t1 ; 0,4 − 0,673 t1 )T .Подставляя полученное выражение в f ( x ) , имеемϕ(t1 ) = 2 ⋅ (− 0,22 + 0,368 t1 ) 2 + (− 0,22 + 0,368 t1 ) ⋅ (0,4 − 0,673 t1 ) + (0,4 − 0,673 t1 ) 2 .Применяя необходимое условие безусловного экстремумаd ϕ(t1 )= 4 ⋅ (− 0,22 + 0,368 t1 ) ⋅ 0,368 + 0,368 ⋅ (0,4 − 0,673 t1 ) +d t1+ (− 0,22 + 0,368 t1 ) ⋅ (−0,673) + 2 ⋅ (0,4 − 0,673 t1 ) ⋅ (− 0,673) = 0 ,находим t1∗ ≅ 0,595 . Посколькуd 2 ϕ(t1 )d t1 2печивает минимум функции ϕ(t1 ) по t1 .= 0,952226 > 0 , найденное значение шага обес-101 .
Вычислим x 2 = x 1 + t1∗ d 1 : x 2 = (0,0010; 0,000) .T( ) ( ) <ε :f (x ) − f (x ) = 0,17 > 0,15 .111 . Проверим условия x 2 − x 1 < ε 2 ,x 2 − x 1 = 0,456 > 0,15 ;f x 2 − f x1221Положим k = 2 и перейдем к шагу 3.( )4 . Проверим условие ∇f ( x ) < ε :Найдена точка x = (0,001; 0) ; f ( x ) = 2 ⋅ 10( )32 .
Вычислим ∇f x 2 : ∇f x 2 = ( 0,003; 0,006) .222T12177T( ) = 0,0067 < 0,1 . Расчет окончен.∇f x 2−6.II. Проведем анализ точки x 2 . Функция f ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 есть квадратичная функция двух переменных, имеющая положительно определенную матрицу⎡4 1 ⎤вторых производных H = ⎢⎥ . Это позволяет сделать вывод, что функция f ( x )⎣1 2⎦имеет единственный минимум, приближение которого x 2 = (0,001; 0)итерации. ■Tнайдено за двеМЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКАА. МЕТОД НЬЮТОНААлгоритмШаг 1.
Задать x 0 , ε1 > 0, ε 2 > 0 , M – предельное число итераций. Найти градиент ∇f (x ) и матрицу Гессе H (x ) .Шаг 2. Положить k = 0 .( )Шаг 3. Вычислить ∇f x k .( )Шаг 4. Проверить выполнение критерия окончания ∇f x k≤ ε1 :а) если неравенство выполнено, то расчет окончен и x ∗ = x k ;б) в противном случае перейти к шагу 5.Шаг 5. Проверить выполнение неравенства k ≥ M :а) если неравенство выполнено, расчет окончен и x ∗ = x k ;б) если нет, перейти к шагу 6.( )Шаг 7.
Найти обратную матрицу H ( x ) .Шаг 8. Проверить выполнение условия H ( x ) > 0 :а) если H ( x ) > 0 , то перейти к шагу 9;Шаг 6. Вычислить элементы матрицы H x k .−1k−1−1kk( )б) если нет, то перейти к шагу 10, положив d k = −∇f x k .( ) ( )Шаг 9. Определить d k = − H −1 x k ∇f x k .Шаг 10. Найти точку x k +1 = x k + t k d k ,( ) ( )) < f (x ) , если dположив t k = 1 , если d k = − H −1 x k ∇f x k ,(или выбрав t k из условия f x k +1kШаг 11. Проверить выполнение условийx k +1 − x k < ε 2 ,(k( )= −∇f x k .) ( )f x k +1 − f x k< ε2 :а) если оба условия выполнены при текущем значении k и k = k − 1 , то расчетокончен, x ∗ = x k +1 ;б) в противном случае положить k = k + 1 и перейти к шагу 3.178Пример 5.
Найти локальный минимум функцииf ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 . I. Определим точку x k , в которой выполняется по крайней мере один критерий окончания расчетов.1. Зададим x 0 , ε1 , ε 2 , M : x 0 = (0,5;1) ; ε1 = 0,1; ε 2 = 0,15; M = 10 . Найдем граT⎛4 1⎞⎟⎟ .диент функции ∇f ( x ) = (4 x1 + x 2 ; x1 + 2 x 2 )T и матрицу Гессе H (x ) = ⎜⎜⎝1 2⎠2. Положим k = 0 .( )( )30 . Вычислим ∇f x 0 : ∇f x 0 = (3; 2,5) .T( )4 0 . Проверим выполнение условия ∇f x 0( )≤ ε1 : ∇ f x 0= 3,9 > 0,1 .
Перей-дем к шагу 5.5 0 . Проверим выполнение условия k ≥ M : k = 0 < 10 . Перейдем к шагу 6.⎛ 4 1⎞6 0 . Вычислим H x 0 : H x 0 = ⎜⎟.⎝ 1 2⎠1⎞⎛ 2− ⎟⎜7⎟.7 0 . Вычислим H −1 x 0 :H −1 x 0 = ⎜ 7⎜− 1 4 ⎟⎜⎟⎝ 7 7 ⎠280 . Проверим выполнение условия H −1 x 0 > 0 . Так как Δ 1 = > 0 ,71Δ 2 = > 0 , то согласно критерию Сильвестра H −1 x 0 > 0 .71⎞⎛ 2− ⎟⎛ 3 ⎞ ⎛ 1⎞⎜7 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜− ⎟ .90 .
Определим d 0 = − H −1 x 0 ∇f x 0 = − ⎜ 7214⎟ ⎜⎝ 2,5 ⎟⎠ ⎜⎜ − 1 ⎟⎟⎜−⎜⎟⎝⎠⎝ 7 7 ⎠( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )⎛1 ⎞10 . Вычислим x = ⎜ ,1⎟⎝2 ⎠01T⎛ 1⎞+ ⎜ − ,−1⎟⎝ 2⎠T= (0, 0) .T110 . Проверим выполнение условий x 1 − x 0 < ε 2 ,( ) ( )f x1 − f x 0< ε2 :( ) ( ) = 2 > 0,15 . Положим k = 1 и перейдем к шагу 3.3 .
Вычислим ∇f ( x ) : ∇f ( x ) = (0, 0) .x1 − x 0 = 1,12 > 0,15; f x1 − f x 0111T( )41 . Проверим выполнение условия ∇f x 1( )< ε1 : ∇f x 1= 0 < 0,1 . Расчетокончен. Заметим, что в точке x 1 выполняется необходимое условие первого порядка,поэтому она является стационарной точкой.II. Проведем анализ точки x 1 . Для функции f ( x ) = 2 x12 + x1x 2 + x 2 2 матрица⎛ 4 1⎞вторых производных H = ⎜⎟ > 0 в силу того, что Δ 1 = 4 > 0, Δ 2 = 7 > 0 . Поэто⎝ 1 2⎠му точка x 1 = (0, 0)Tесть точка локального минимума целевой функции f ( x ) .
179Б. МЕТОД НЬЮТОНА–РАФСОНААлгоритмШаг 1. Задать x 0 , ε1 > 0, ε 2 > 0 , M – предельное число итераций. Найти градиент ∇f (x ) и матрицу Гессе H (x ) .Шаг 2. Положить k = 0 .( )Шаг 3. Вычислить ∇f x k .( )Шаг 4. Проверить выполнение условия ∇f x k≤ ε1 :а) если неравенство выполнено, то расчет закончен и x ∗ = x k ;б) если нет, перейти к шагу 5.Шаг 5. Проверить выполнение условия k ≥ M :а) если неравенство выполнено, расчет окончен и x ∗ = x k ;б) если нет, перейти к шагу 6.( )Шаг 7. Найти обратную матрицу H ( x ) .Шаг 8.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
