semopt5 (1013530)

Файл №1013530 semopt5 (Практические занятия)semopt5 (1013530)2017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА УСЛОВНОГОЭКСТРЕМУМАА. МЕТОД ШТРАФОВПостановка задачиДаныдваждынепрерывнодифференцируемыецелеваяf ( x) = f ( x1,…, xn ) и функции ограничений g j ( x) = 0 , j = 1, … , m ;функцияg j ( x) ≤ 0 ,j = m + 1, … , p , определяющие множество допустимых решений Х.Требуется найти локальный минимум целевой функции на множестве Х , т.е. такую точку x ∗ ∈ X , чтоf ( x ∗ ) = min f ( x) ,x∈X⎧⎪где X = ⎨ x⎩⎪m < n ⎫⎪⎬.j = m + 1,… , p⎭⎪g j ( x) = 0,j = 1,… , m;g j ( x) ≤ 0,АлгоритмШаг 1. Задать начальную точку x 0 , начальное значение параметра штрафаr 0 > 0 , число C > 1 для увеличения параметра, малое число ε > 0 для остановки алгоритма. Положить k = 0 .Шаг 2.

Составить вспомогательную функцию()F x, r k = f ( x ) +rk2⎧⎪ m2⎨ ∑ [ g j ( x) ] +⎪⎩ j =1⎫+2⎪gx[()]⎬.∑ jj = m +1⎭⎪p(Шаг 3. Найти точку x ∗ ( r k ) безусловного минимума функции F x , r k)по хс помощью какого-либо метода (нулевого, первого или второго порядка):()()F x ∗ (r k ), r k = min F x, r k .x∈R nПри этом задать все требуемые выбранным методом параметры.

В качестве начальной()точки взять x k . Вычислить P x ∗ (r k ), r k .Шаг 4. Проверить условие окончания:()а) если P x ∗ (r k ), r k ≤ ε , процесс поиска закончить:(x ∗ = x ∗ (r k ),()f ( x ∗ ) = f x ∗ (r k ) ;)б) если P x ∗ (r k ), r k > ε , положить: r k +1 = C r k , x k +1 = x ∗ ( r k ), k = k + 1 иперейти к шагу 2.182Пример 1. Найти условный минимум в задачеf ( x) = x 2 − 4 x → min,g1 ( x) = x − 1 ≤ 0.† 1. В поставленной задаче m = 0 (ограничения-равенства отсутствуют),p = 1 . Решим задачу аналитически при произвольном параметре штрафа r k , а затемполучим решение последовательности задач поиска безусловного минимума.2. Составим вспомогательную функцию:()F x, r k = x 2 − 4 x +rk[ max { 0, (x − 1) } ]2 .2(3.

Найдем безусловный минимум функции F x , r k) пох с помощью необхо-димых и достаточных условий (см. гл. 2 – лекция 1):()∂ F x, r k⎪⎧ 2 x − 4 = 0, x − 1 ≤ 0,=⎨∂x⎪⎩ 2 x − 4 + r k (x − 1) = 0, x − 1 > 0 .Отсюда x ∗ = 2 , но при этом не удовлетворяется условие x ∗ − 1 ≤ 0 , а также∗kx (r ) =4+rk2+rk.В табл. 1 приведены результаты расчетов при r k = 1, 2,10,100,1000, ∞ , а на рис. 1 данаграфическая иллюстрация процесса поиска решения.(Таблица 1krkx ∗ (r k )F x ∗ (r k ), r k0153−3,66123= 1,52−3,5210−3,1663100410005∞7= 1,1666652= 1,019651502= 1,001995011−3,019−3,002−3183)(f ( x ), F x , r k)x ∗ (10) x ∗ (2) x ∗ (1)Xx∗r1 = 221x3r0 = 1−1f (x )−2−3−4Рис. 1Так как((∂ 2 F x ∗ (r k ), r k)∂x2) = 2 + r k > 0 при rk≥ 0 , то достаточные условия ми-нимума F x , r k удовлетворяются.

При r k → ∞ имеемx ∗ = lim4+ rkr → ∞ 2+rkkf ( x ∗ ) = −3 .= 1,Найдем решение этой задачи с применением необходимых и достаточных условий экстремума. Функция Лагранжа имеет вид()L ( x , λ 0 , λ1 ) = λ 0 x 2 − 4 x + λ1 ( x − 1) .Необходимые условия минимума первого порядка:а)∂ L (x , λ 0 , λ 1 )∂x= λ 0 (2 x − 4 ) + λ1 = 0 ;б) x − 1 ≤ 0 ;в) λ1 ≥ 0 ;г) λ1 ( x − 1) = 0 .Решим систему для двух случаев.Первый случай: λ 0 = 0 , тогда из условия «а» получаем λ1 = 0 , что не удовлетворяет утверждению.184Второй случай: λ 0 ≠ 0 .

Поделив уравнения системы на λ 0 и заменивλ1на λ1 ,λ0получим 2 x − 4 + λ1 = 0 . Из условия «г» имеем λ1 = 0 или x = 1 . При λ1 = 0 из условия «а» следует, что x = 2 , но при этом не удовлетворяется условие «б». Приx ∗ = 1 имеем λ∗1 = 2 .Достаточные условия минимума первого порядка удовлетворяются, так как∗λ1 = 2 > 0 и число активных ограничений l = 1 = n . „Пример 2. Найти условный минимум в задачеf ( x) = x12 + x 22 → min,g1 ( x) = x1 + x 2 − 2 = 0.† 1. В поставленной задаче m = 1 , ограничения-неравенства отсутствуют.

Решим ее аналитически.2. Составим вспомогательную функцию:()F x, r k = x12 + x 22 +(rk(x1 + x 2 − 2)2 .23. Найдем безусловный минимум F x , r kдостаточных условий:()())по х с помощью необходимых и∂ F x, r k= 2 x1 + r k (x1 + x 2 − 2) = 0 ,∂ x1∂ F x, r k= 2 x 2 + r k (x1 + x 2 − 2 ) = 0 .∂ x2Вычитая из первого уравнения второе, получаем x1 = x 2 иx1∗ (r k ) = x 2∗ (r k ) =rk.1+ r kВ табл. 2 приведены результаты расчетов при r k = 1, 2, 10, 100, 1000, ∞ , а на рис.

2дана графическая иллюстрация процесса поиска решения.(Таблица 2krkx1∗ (r k ) = x 2∗ (r k )F x ∗ (r k ), r k011122103100410005∞122310111001011000100111,3331,811,981,9982185)x22Ax 2∗x ∗ (10)=1x∗x ∗ ( 2)x1(1 )2x1∗ = 1g1 ( x) = x1 + x 2 − 2 = 0Рис. 2(∗kТак как матрица Гессе H x (r ), rk)⎛2+ rk=⎜⎜ rk⎝(таточные условия безусловного минимума F x , r kимеемrklimrk →∞ 1+ r)rk ⎞⎟ > 0 при r k > 0 , то досk⎟2+r ⎠удовлетворяются. При r k → ∞= 1 = x1∗ = x 2∗ ; f ( x ∗ ) = 2 . „kПример 3.

Найти условный минимум в задачеf ( x) = x12 + x 22 → min,g1 ( x) = x1 − 1 = 0,g 2 ( x) = x1 + x 2 − 2 ≤ 0.† 1. В задаче m = 1, p = 2 . Решим ее аналитически.2. Составим вспомогательную функцию:()F x, r k = x12 + x 22 +rk2{[x1}− 1]2 + [ max { 0, (x1 + x 2 − 2 ) } ]2 .()3. Найдем безусловный минимум F x , r k по х с помощью необходимых и достаточных условий:()()⎧⎪ 2 x1 + r k (x1 − 1) + r k (x1 + x 2 − 2 ) , x1 + x 2 − 2 > 0,∂ F x, r k=0=⎨∂ x1⎪⎩ 2 x1 + r k (x1 − 1) , x1 + x 2 − 2 ≤ 0,⎧⎪ 2 x 2 + r k (x1 + x 2 − 2) , x1 + x 2 − 2 > 0,∂ F x, r k=0=⎨∂ x2⎪⎩ 2 x 2 , x1 + x 2 − 2 ≤ 0 .Рассмотрим два случая.1861. Пусть x1 + x 2 − 2 > 0 .

Вычитая из первого уравнения второе, получаемx 2 = x1 +rk(x1 − 1) .2После подстановки в первое уравнение имеемx1∗ (r k ) =( r k ) 2 + 6r k( r k ) 2 + 6r k + 4x 2∗ (r k ),=( r k ) 2 + 4r k( r k ) 2 + 6r k + 4Однако при всех r k > 0 имеем x1∗ (r k ) + x 2∗ ( r k ) − 2 =−2r k − 8( r k ) 2 + 6r k + 4воречит условию x1 + x 2 − 2 > 0 для рассматриваемого случая.2. Пусть x1 + x 2 − 2 ≤ 0 . Тогда x 2∗ = 0 , а x1∗ (r k ) =rk.< 0 , что проти-. В табл. 3 приведены2+rkрезультаты расчетов, а на рис. 3 дана графическая иллюстрация процесса поиска решения.⎛ 2 + r k 0⎞kТак как матрица Гессе H x ∗ (r k ), r k = ⎜⎟⎟ > 0 при всех r > 0 , то⎜ 02⎠⎝достаточные условия минимума F x , r k удовлетворяются.

При r k → ∞ имеем()(x1∗ = limrkrk → ∞ 2 + rk= 1,x 2∗ = 0,)f ( x ∗ ) = 1. „(Таблица 3krkx1∗ ( r k )x 2∗ ( r k )F x ∗ (r k ), r k010122103100410005∞131256505150050115934353626002601251000251001100000187)x2g1 ( x) = x1 − 1 = 021x ∗ (1)x ∗ ( 2)2x∗1x ∗ (10)x1x1 + x 2 − 2 = 0Рис. 3Б. МЕТОД БАРЬЕРНЫХ ФУНКЦИЙПостановка задачиДаны дважды непрерывно дифференцируемые целевая функцияf ( x) = f ( x1,…, xn ) и функции ограничений-неравенств g j ( x) ≤ 0 , j = 1, … , m , определяющие множество допустимых решений Х.Требуется найти локальный минимум целевой функции на множестве Х, т.е.такую точку x ∗ ∈ X , чтоf ( x ∗ ) = min f ( x) ,где X ={x}x∈Xg j ( x) ≤ 0, j = 1,… , m .АлгоритмШаг 1.

Задать начальную точку x 0 внутри области Х, начальное значение параметра штрафа r k ≥ 0 , число C > 1 для уменьшения параметра штрафа, малое числоε > 0 для остановки алгоритма. Положить k = 0 .Шаг 2. Составить вспомогательную функцию:(F x, rk) = f ( x) − rkm∑j =1m1kkили F x, r = f ( x) − r ∑ ln ⎡⎣ − g j ( x) ⎤⎦ .g j ( x)j =1()(Шаг 3. Найти точку x ∗ ( r k ) минимума функции F x , r k) с помощьюкакого-либо метода (нулевого, первого или второго порядка) поиска безусловного минимумас проверкой принадлежности текущей точки внутренности множества Х. При этом задать все требуемые выбранным методом параметры. В качестве начальной точки взятьx k .

Вычислить:188()m1j =1g j x ∗ (r k )P x ∗ (r k ), r k = − r k ∑()(m)()или P x ∗ (r k ), r k = − r k ∑ ln ⎡⎢ − g j x ∗ (r k ) ⎤⎥ .⎣⎦j =1Шаг 4. Проверить выполнение условия окончания:() ≤ ε , процесс поиска закончить:x ∗ = x ∗ (r k ) ,f ( x ∗ ) = f ( x ∗ (r k ) ) ;rP ( x ∗ ( r k ), r k ) > ε , положить r=; x k +1 = x ∗ (r k ) , k = k + 1Cа) если P x ∗ ( r k ), r kб) еслиkk +1иперейти к шагу 2.З а м е ч а н и я.1.

Обычно выбирается r 0 = 1,10,100 , a параметр C = 10;12;16 .2. При r k → +0 обеспечивается сходимость, однако с уменьшением r k функ-(ция F x , r k) становится все более «овражной». Поэтому полагать rkмалым числомсразу нецелесообразно.Пример 4. Найти условный минимум в задачеf ( x) = x → min,g1 ( x) = 2 − x ≤ 0.† 1. Найдем решение аналитически с применением обратной штрафной функ-ции.()2.

Составим вспомогательную функцию: F x, r k = x − r k(1.2−xP ( x,r k ))3. Найдем безусловный минимум F x , r k с помощью необходимых и достаточных условий:()∂ F x, r krk=1−= 0 . Так как внутри множества допустимых∂x(2 − x )2решений 2 − x < 0 , то x = 2 ± r k , а x ∗ (r k ) = 2 + r k (результаты приведены втабл.4). Достаточные условия минимума выполняются:(∂ 2 F x ∗ (r k ), r k∂ x2)=−rk∗⎡ 2 − x (r ) ⎤⎣⎦k3> 0.(krkx ∗ (r k )F x ∗ (r k ), r k0123410,10,010,001032,312,12,03242,632,22,0632189)(Таблица 4P x ∗ (r k ), r k10,320,10,033-).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
287,16 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее