semopt9 (1013536)
Текст из файла
Занятие 9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПредположим, что в пунктах A1 , A2 ,..., Am хранится однородный груз в количествеa1 , a2 ,..., am единиц. Этот груз следует доставить в n заданных пунктов назначенияB1 , B 2 ,..., B n , причем в каждый из них требуется завезти соответственно b1 , b2 ,..., bn единиц этого груза. Обозначим через cij стоимость перевозки единицы груза из пункта Aiв пункт B j .Транспортные задачи делятся на две группы.1. Задачи, удовлетворяющие условию балансаmni =1j =1∑ ai = ∑ b j , означающему, что об-щий запас груза на всех пунктах хранения равен суммарной потребности всех пунктовназначения.2.
Задачи с нарушенным балансом, среди которых выделяются два случая:a)б)mni =1j =1mn∑ ai > ∑ b j (суммарные запасы больше суммарных потребностей);∑ ai <i =1∑bj(суммарные запасы меньше суммарных потребностей).j =1Рассмотрим формализацию транспортной задачи, удовлетворяющей условию баланса.Обозначим x ij – количество груза, перевозимого из пункта Ai в пункт B j . Тогдасуммарная стоимость перевозок имеет видf (x ) =mn∑ ∑ ci j ⋅ x i j .i = 1 j =1Ограничения представляются уравнениями вывоза и привоза груза:x i1 + x i 2 + ... + x in = ai ,x1 j + x 2 j + ... + x m j = b j ,x i j ≥ 0 , i = 1,2,..., m ;i = 1,2,..., m ;j = 1,2,..., n ;j = 1,2,..., n .Первое уравнение означает, что из каждого пункта хранения Ai вывозится весьгруз, а второе уравнение описывает факт удовлетворения всех потребностей в пункте B j .Условие неотрицательности свидетельствует о том, что груз либо вывозится из пункта Aiв пункт B j , и тогда x i j > 0 , либо нет, и в этом случае x i j = 0 .Решение xi j , i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n , системы называется планом перевозок.215Требуется найти такой план перевозок, чтобы их суммарная стоимость была минимальной, т.е.f (x ) =mn∑ ∑ ci j ⋅ x i j→ min .i = 1 j =1Условия задачи удобно записывать в виде матрицы перевозок (табл.
1).Таблица 1ПунктыА1А2B2B1Bj...Bn...c11c12c1 jc1nа1c21c22c2 jc2 nа2#Аi#ci 1ci jci 2cinai#AmПотребностиЗапасы#cm1cm 2b1cm jb2cmnbj......ambnСуммаЗаметим, что с помощью линейных преобразований можно показать зависимостьодного из уравнений в системе от остальных, т.е. в этой системе имеется (m + n − 1) независимых уравнений. Лишнее уравнение может быть исключено из системы уравненийограничений.В матрице перевозок хранится текущий план перевозок x i j , i = 1,2,..., m ;j = 1,2,..., n .Стратегия решения задачиТак как поставленная задача является частным случаем задачи линейного программирования, то стратегия решения аналогична:1) находится начальный план перевозок;2) производится улучшение начального плана, т.е. последовательный переход отодного плана к другому, связанный с уменьшением суммарной стоимости перевозок.Процесс перехода от одного плана к другому завершается, когда уменьшение суммарнойстоимости перевозок станет невозможным.216МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НАЧАЛЬНОГО ПЛАНА ПЕРЕВОЗОККлетки матрицы перевозок, где x ij > 0 , называются базисными, а остальные, гдеx i j = 0 , – свободными.
В матрице имеется (m + n − 1) базисных клеток. Их число совпа-дает с числом независимых уравнений-ограничений.Значение x ij в матрице перевозок находится по формуле⎧ остаток груза в пункте Ai ,x i j = min ⎨⎩ неудовлетворенные потребности в пункте B j .(*)Значение x i j = 0 в свободной клетке не пишется явно, а вместо этого в ней ставится точка.А. Метод северо-западного углаВычисления осуществляются по формуле (*), начиная с элемента x11 , стоящего всеверо-западном углу матрицы перевозок.З а м е ч а н и е. При нахождении начального плана перевозок возможен случайвырождения, когда в результате вычислений значения x i j получается, что потребности впункте B j удовлетворены, а запасы в пункте Ai исчерпаны.
Тогда одновременно из рассмотрения выбывают строка и столбец. В этом случае рекомендуется поставить в одну изклеток выбывающих строки и столбца (лучше в клетку с наименьшей стоимостью) такназываемый базисный нуль. Клетка с базисным нулем считается базисной (в ней пишется0), а общее число базисных клеток остается равным (m + n − 1) .Б. Метод минимального элементаПолучаемый методом северо-западного угла начальный план перевозок не зависитот их стоимости и поэтому в общем случае далек от наилучшего.
В методе минимальногоэлемента учитываются затраты на перевозку, следовательно, соответствующий начальный план, как правило, позволяет обеспечить меньшую суммарную стоимость, болееблизкую к оптимальной.В этом методе по формуле (*) последовательно заполняются клетки с наименьшейстоимостью перевозок. Если имеется несколько клеток с наименьшей стоимостью, то изних выбирается любая.МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВМетод обеспечивает улучшение начального плана перевозок. При этом происходитпереход от одного плана перевозок к другому (от одной матрицы перевозок к другой) дотех пор, пока уменьшение суммарной стоимости перевозок станет невозможным.Введем следующие понятия.1. Цикл – замкнутая ломаная с вершинами в клетках и звеньями, расположеннымивдоль строк и столбцов матрицы перевозок.
В каждой вершине встречаются два звена,причем одно из них располагается по строке, а другое – по столбцу. Число вершин цикла217четно. Циклом может быть самопересекающаяся ломаная, но точки ее самопересеченияне могут быть вершинами цикла.2. Означенный цикл – цикл, в котором некоторой вершине приписан знак «+», а затем при обходе цикла в каком-либо направлении знаки чередуются.3. Сдвиг по циклу на число θ ≥ 0 .
При этом значения x i j , стоящие в положительных вершинах цикла, увеличиваются на число θ , а стоящие в отрицательных вершинах,уменьшаются на число θ .4. Потенциалы – числа α i , i = 1,2,..., m; β j , j = 1,2,..., n . Каждому пункту храненияAi ставится в соответствие число α i , пункту потребления B j – число β j .АлгоритмШаг 1. Найти начальный план перевозок методом северо-западного угла или методом минимального элемента.Шаг 2. Для каждой базисной клетки составить уравнениеα i + β j = ci j .Так как эти уравнения образуют систему (m + n − 1) уравнений с (m + n) неизвестными(она имеет бесконечное множество решений), то для определенности следует положитьα1 = 0 .
Тогда все остальные потенциалы находятся однозначно.Шаг 3. Для каждой свободной клетки вычислить относительные оценки:Δ i j = ci j − (α i + β j ) .Шаг 4. Проанализировать относительные оценки:а) если все относительные оценки неотрицательные, т.е. выполняется условиеΔi j ≥ 0 ,то задача решена, и следует выписать полученный оптимальный план перевозокиз последней матрицы, подсчитать его стоимость;б) если среди оценок Δ i j есть отрицательные, найти среди них наименьшую отрицательную оценку и пометить знаком ⊗ .Шаг 5. Для свободной клетки (i, j ) с выбранной оценкой Δ i j , помеченной ⊗ , построить означенный цикл.
Все его вершины, кроме расположенной в клетке (i, j ) , должны находиться в базисных клетках. Свободная клетка берется со знаком «+».Шаг 6. Выполнить сдвиг по построенному на шаге 5 циклу на величину θ , равнуюнаименьшему из чисел, стоящих в отрицательных вершинах. При этом числа, стоящиев положительных вершинах, увеличить на θ , а числа, стоящие в отрицательных вершинах, уменьшить на θ .Если наименьшее значение θ достигается в нескольких отрицательных вершинахцикла, то при сдвиге следует поставить базисный нуль во всех таких вершинах, кромеодной.
Тогда число базисных клеток сохранится и будет равно (m + n − 1) , что необхо-218димо проверять при расчетах. Базисный нуль рекомендуется ставить в клетку (клетки)с наименьшей стоимостью перевозок.Элементы матрицы, не входящие в цикл, остаются без изменений.Перейти к шагу 2.З а м е ч а н и я.1. При решении задач может возникнуть ситуация, когда θ = 0 . Тогда при сдвигесвободная клетка становится базисной (точка заменяется на базисный нуль).2. Значения суммарной стоимости перевозок при переходе от одной матрицы кдругой связаны соотношениемf k +1 = f k + θ ⋅ Δ i j ,где k – номер итерации, f k – текущее значение суммарной стоимости перевозок, значения θ и Δ i j находятся на шагах 3 и 6 соответственно.Пример 1.
Решить транспортную задачу, заданную матрицей перевозок (табл. 2).Таблица 2ЗапасыПунктыB1B2B323420A112540A2Потребности10203060 Решим задачу согласно алгоритму.Начальный план перевозок методом северо-западного угла найден в табл. 3.Таблица 3ЗапасыПунктыB1B2B323420A11010•12540A2•1030Потребности10203060Начнем с северо-западного угла, т.е. x11 = min [ 20, 10 ] = 10 . Тогда в пункте B1потребности удовлетворены и, следовательно, x 21 = 0 (в табл. 3 ставится точка).
Первыйстолбец выбывает из рассмотрения.Продолжим с северо-западного угла, т.е. x12 = min [ (20 − 10), 20 ] = min[10, 20] = 10 .Тогда запасы в пункте A1 исчерпаны и x13 = 0 (в табл. 3 ставится точка). При этом первая строка выбывает из рассмотрения.Продолжим с северо-западного угла:x 22 = min [ 40, (20 − 10) ] = min [ 40, 10 ] = 10 .Потребности в пункте B 2 удовлетворены, и второй столбец выбывает из рассмотрения.Заполним последний элемент, находящийся в северо-западном углу:x 23 = min [ (40 − 10), 30 ] = 30 . Таким образом, получен начальный план перевозок:x11 = 10,x12 = 10,x13 = 0 ,x 21 = 0,x 22 = 10,x 23 = 30219с суммарной стоимостью f = 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 10 + 4 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 10 + 5 ⋅ 30 = 220 .
Число базисных клеток, очевидно, составит m + n − 1 = 2 + 3 − 1 = 4 .Последовательный переход от матрицы к матрице отображен в табл. 4 – 6.ПунктыB1A12A2110•10ПотребностиB232- 10⊕ 1020B345β2 = 3β1 = 2• ⊕30 30Таблица 4Запасы204060α1 = 0α 2 = −1β3 = 6Получим: f = 20 + 30 + 20 + 150 = 220 ; Δ13 = c13 − (α1 + β 3 ) = 4 − (0 + 6) = −2 < 0 ;Δ 21 = c 21 − (α 2 + β1 ) = 1 − (−1 + 2) = 0 . Для клетки (1,3) построим означенный цикл инайдем значение θ = min [ 10, 30 ] = 10 . Выполним сдвиг по циклу на число 10.ПунктыA1A2ПотребностиB12- 101⊕•10B2B33•4220205β2 = 1β1 = 210 ⊕20 30Таблица 5Запасыα1 = 02040α2 = 160β3 = 4Получим: f = 20 + 40 + 40 + 100 = 200; Δ12 = 3 − (0 + 1) = 2 > 0 , Δ 21 = 1 − (1 + 2) = −2 < 0 .Для клетки (2,1) построим означенный цикл и найдем значение θ = min [ 10, 20 ] = 10 .Выполним сдвиг по циклу на число 10.ПунктыB1B2B3A12•3•4A211010220205Потребностиβ1 = 0β2 = 1201030Таблица 6Запасы204060α1 = 0α2 = 1β3 = 4Получим: f = 80 + 10 + 40 + 50 = 180 ; Δ11 = 2 − (0 + 0) = 2 > 0 ;Δ12 = 3 − (0 + 1) = 2 > 0 .Условие окончания Δ i j ≥ 0 выполнено, получен оптимальный план перевозокx11 = x12 = 0,x13 = 20 , x 21 = 10, x 22 = 20, x 23 = 10с суммарной стоимостью 180.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
