semopt1 (1013523)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯЗанятие 1. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯБЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМАПостановка задачиДана дважды непрерывно дифференцируемая функция f ( x) , определенная намножестве X = R n .Требуется исследовать функцию f ( x) на экстремум, т.е. определить точки x ∗ ∈ R nее локальных минимумов и максимумов на R n :f ( x∗ ) = min f ( x) ;f ( x∗ ) = max f ( x) .x∈R nx∈R nСхема исследования функций на безусловный экстремумНеобходимые условия экстремумапервого порядкаДостаточные условияэкстремумаВычислить значения функциив точках экстремумаНет экстремумаНеобходимые условия экстремумавторого порядкаПродолжениеисследованийНет экстремумаНеобходимые условия экстремума первого порядка. Пусть x ∗ ∈ R n есть точкалокального минимума (максимума) функции f ( x) на множестве R n и f ( x) дифференцируема в точке x ∗ .

Тогда все частные производные функции f ( x) первого порядка вточке x ∗ равны нулю, т.е.∂ f ( x∗ )= 0,∂ xi146i = 1,..., n .Точки x ∗ , удовлетворяющие необходимому условию, называются стационарными.Рассмотрим определитель матрицы Гессе H ( x∗ ) , вычисленной в стационарнойh11 h12h1nhhh2n.точке x * : det H ( x∗ ) = 21 22hn1hn 2hnn1.

Определители Δ1 = h11 ,hΔ 2 = 11h21h12,..., Δ n =h22h11h1nназываютсяhn1hnnугловыми минорами.2. Определители m -го порядка ( m ≤ n ), получающиеся из определителя матрицыH ( x∗ ) вычеркиванием каких-либо ( n − m ) строк и ( n − m ) столбцов с одними и темиже номерами, называются главными минорами.Первый способ проверки достаточных и необходимых условий второго порядка.Критерий проверки достаточных условий экстремума (критерий Сильвестра).Если знаки угловых миноров строго положительны:Δ1 > 0 , Δ 2 > 0 ,..., Δ n > 0 ,то точка x ∗ является точкой локального минимума.Если знаки угловых миноров чередуются, начиная с отрицательного:Δ1 < 0 , Δ 2 > 0 , Δ 3 < 0 ,...,( −1) n Δ n> 0,то точка x ∗ является точкой локального максимума.Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка1.

Для того чтобы матрица Гессе H ( x∗ ) была положительно полуопределенной( H ( x∗ ) ≥ 0 ) и точка x ∗ может быть являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.2. Для того чтобы матрица Гессе H ( x∗ ) была отрицательно полуопределенной( H ( x∗ ) ≤ 0 ) и точка x ∗ может быть являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны,а все главные миноры нечетного порядка – неположительны.Второй способ проверки достаточных и необходимых условий второго порядка(с помощью собственных значений матрицы Гессе).Собственные значения λ i , i = 1,..., n , матрицы H ( x∗ ) размеров ( n × n ) находятсякак корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения n -й степени):147H ( x∗ ) − λE =h11 − λh12h1nh21h22 − λh2nhn1hn 2= 0.… hnn − λТаблица1п/п1Второй способТип стационарной точки x ∗λ1 > 0,..., λ n > 0Локальный минимум2λ1 < 0,..., λ n < 0Локальный максимум3λ1 ≥ 0,..., λ n ≥ 04λ1 ≤ 0,..., λ n ≤ 05λ1 = 0,..., λ n = 06λ i имеют разныезнакиМожет быть локальный минимум,требуется дополнительное исследованиеМожет быть локальный максимум,требуется дополнительное исследованиеТребуется дополнительное исследованиеНет экстремумаПример 1.

Найти экстремум функции f ( x ) = − x12 − x 22 − x 32 − x1 + x1 x 2 + 2 x3 намножестве R 3 .† 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:∂ f ( x)= −2 x1 − 1 + x2 = 0 ,∂ x1∂ f ( x)= −2 x2 + x1 = 0 ,∂ x2∂ f ( x)= −2 x3 + 2 = 0 .∂ x3T1 ⎞⎛ 2В результате решения системы получим стационарную точку x = ⎜ − , − , 1⎟ .3 ⎠⎝ 3∗2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.148( )Первый способ. Матрица Гессе имеет вид H xΔ1 = −2 < 0 , Δ 2 =∗⎛ −2 1 0 ⎞⎜⎟= ⎜ 1 −2 0 ⎟ .

Так как⎜ 0 0 −2 ⎟⎝⎠−2 1= 4 − 1 = 3 > 0 , Δ 3 = ( −2 ) ⋅ 3 = −6 < 0 , т.е. знаки угловых миноров1 −2чередуются, начиная с отрицательного, то точка x ∗ – точка локального максимума.Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе:−2 − λdet ( H − λE ) =10−2 − λ= 0.0−2 − λ010Отсюда ( −2 − λ ) [ (−2 − λ)2 − 1] = 0 и λ1 = −2 < 0, λ 2 = −1 < 0, λ 3 = −3 < 0 .

Так как все собственные значения матрицы Гессе отрицательны, то в точке x ∗ – локальный максимум.43. Вычислим значение функции в точке локального максимума: f ( x∗ ) = .„3322Пример 2. Найти экстремум функции f ( x) = x1 + x 2 + x 3 + x 2 x 3 − 3 x1 + 6 x 2 + 2на множестве R 3 .† 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:∂ f ( x)= 3 x12 − 3 = 0 ,∂ x1∂ f ( x)= 2 x2 + x3 + 6 = 0 ,∂ x2∂ f ( x)= 2 x3 + x2 = 0 .∂ x3В результате решения системы получим две стационарные точки:Tx1∗ = (1, − 4, 2 ) ,Tx 2 ∗ = ( −1, − 4, 2 ) .2.

Проверим выполнение достаточных условий в⎛ 6 x1 0мя способами. Составим матрицу Гессе H ( x) = ⎜⎜ 0 2⎜ 0 1⎝TИсследуем точку x1∗ = (1, − 4, 2 ) .149каждой стационарной точке дву0⎞⎟1⎟.2 ⎟⎠Первый способ. Матрица Гессе имеет вид⎛6 0 0⎞⎜⎟H (x ) = ⎜ 0 2 1 ⎟ .⎜0 1 2⎟⎝⎠1∗Так как6 0Δ1 = 6 > 0, Δ 2 == 12 > 0, Δ 3 = 18 > 0 , то точка x1∗ является точкой локального0 2минимума.Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе:6−λ000022−λ1= ( 6 − λ ) ⎡ ( 2 − λ ) − 1⎤ = 0 .⎥⎦⎣⎢12−λОтсюда λ1 = 6 > 0, λ 2 = 3 > 0, λ 3 = 1 > 0 и точка x1∗ является точкой локального минимума.TИсследуем точку x 2∗ = ( −1, − 4, 2 ) .Первый способ.

Матрица Гессе имеет вид⎛− 6 0 0⎞⎜⎟H ( x ) = ⎜ 0 2 1 ⎟ . Так как⎜ 0 1 2⎟⎝⎠2∗−6 0= −12 < 0, Δ 3 = −18 < 0 , то достаточные условия экстремума0 2не выполняются. Согласно схеме (см. рис.) проверим необходимые условия экстремумавторого порядка. Главные миноры первого порядка ( m = 1 ) получаются из−6 0 0Δ1 = − 6 < 0, Δ 2 =Δ3 =002 1 в результате вычеркивания n − m = 3 − 1 = 2 строк и 2 столбцов с одина1 2ковыми номерами: −6 , 2, 2. Главные миноры второго порядка ( m = 2 ) получаются из Δ 3 врезультате вычеркивания n − m = 3 − 2 = 1 строк и столбцов с одинаковыми номерами: 3, –12, –12. Главный минор третьего порядка ( m = 3 ) получается из Δ 3 в результате вычеркивания n − m = 3 − 3 = 0 строк и столбцов, т.е.

совпадает с Δ 3 = −18 . Отсюда следует, чтонеобходимые условия экстремума второго порядка не выполняются. Так как матрицаГессе не является нулевой, то можно сделать вывод о том, что в точке x 2 ∗ нет экстремума.Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе:−6 − λ0002−λ1012−λ2= ( −6 − λ ) ⎡ ( 2 − λ ) − 1 ⎤ = 0 .⎢⎣⎥⎦Отсюда λ1 = − 6 < 0, λ 2 = 3 > 0, λ 3 = 1 > 0 , т.е. собственные значения имеют разные знаки.Поэтому в точке x 2 ∗ нет экстремума.3. Вычислим значение целевой функции в точке x1∗ локального минимума:f ( x1∗ ) = −12 .

„150Пример 3. Найти экстремум функции f ( x) = − x12 + 2 x1 x2 − x22 − 4 x32на множествеR3.† 1. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:∂ f ( x)= −2 x1 + 2 x2 = 0 ,∂ x1∂ f ( x)= 2 x1 − 2 x2 = 0 ,∂ x2∂ f ( x)= − 8 x3 = 0 .∂ x3В результате решения системы получим бесконечное множество стационарных точек,удовлетворяющих соотношениям x1∗ = x 2∗ , x3∗ = 0 .2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.Первый способ. Матрица Гессе имеет видΔ1 = −2 < 0, Δ 2 =−222−2= 0,0 ⎞⎛ −2 2⎜⎟H ( x ) = ⎜ 2 −2 0 ⎟ . Так как⎜ 0 0 − 8⎟⎝⎠∗−220Δ3 = 2−20 = 0 , то достаточные условия экстре-00−8мума не выполняются.

Согласно схеме (см. рис.) проверим необходимые условия второгопорядка. Поступим аналогично решению примера 2.Главные миноры первого порядка получаются из Δ 3 в результате вычеркиваниядвух строк и столбцов с одинаковыми номерами: –2, –2, –8. Главные миноры второго порядка получаются из Δ 3 в результате вычеркивания по одной строке и столбцу с одинаковым номером: 16, 16, 0. Главный минор третьего порядка совпадает с Δ 3 = 0 . Так каквсе главные миноры четного порядка неотрицательны, а все миноры нечетного порядканеположительны, то можно сделать вывод о том, что в исследуемых стационарных точках может быть максимум и требуется продолжение исследования.Второй способ.

Найдем собственные значения матрицы Гессе:−2 − λ202020−2 − λ= ( − 8 − λ ) ⎡ ( −2 − λ ) − 4 ⎤ = 0 .⎢⎣⎥⎦− 8−λ0Отсюда λ1 = − 8 < 0, λ 2 = 0, λ 3 = − 4 < 0 , т.е. собственные значения неположительны. Поэтому в стационарных точках может быть максимум.23. Функция f ( x) может быть записана в виде f ( x) = − ( x1 − x2 ) − 4 x32 . В каждойиз найденной в п.

1 стационарной точке f ( x∗ ) = 0 . Исходя из структуры функции f ( x)можно сделать вывод о том, что для любых x ∈ R 3 справедливо: f ( x) ≤ f ( x∗ ) = 0 . На основании определения 1.1 (см. лекцию 1) функция на множестве точек, удовлетворяющихусловию x1∗ = x 2∗ , x3∗ = 0 , достигает глобального максимума. „151.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций