semopt13 (1013541)
Текст из файла
Занятие 13. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПример 1. Приближенно решить задачу Кошиy ′ = −2 y − 3 x + 2 , y (0) = 0на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,1 различными методами: Эйлера (явным и неявным),предсказания и коррекции второго порядка, Рунге–Кутты четвертого порядка иметодом трапеций. Поскольку явный метод Эйлера и метод Рунге–Кутты четвертого порядкаотносятся к классу ограниченно устойчивых, то для них требуется определитьвеличины критического шага.
Сравнивая данное уравнение с тестовым примером,2заметим, что μ = −2 . Тогда для явного метода Эйлера hкр = − = 1 , а для методаμ2,78Рунге–Кутты hкр = −= 1,39 . Следовательно, интегрирование с шагом h = 0,1 < hкрμобеспечивает устойчивость этих методов.Явный метод Эйлера.
Из общей формулыyˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i , yˆi ) ,i = 0, n − 1 , yˆ0 = y 0 ;получаем расчетную формулу явного метода Эйлера:yˆi +1 = yˆi + 0,1 ⋅ (−2 yˆi − 3 x i + 2) , ŷ 0 = 0 , i = 0,9 .Метод предсказания и коррекции второго порядка.Шаг «предиктор»:yˆi(+П1) = yˆi + hi +1 f ( x i , yˆi ) ;Шаг «корректор»:)ˆi +yˆ i +1 ≡ yˆ i(К+1 = yhi +1[ f ( x i , yˆ i ) + f ( x i + hi +1 , yˆ i(П)+1 )] .2Отсюда следуют расчетные формулы метода предсказания и коррекции:yˆi(+П)1 = yˆi + 0,1 ⋅ (−2 yˆi − 3 x i + 2) , ŷ 0 = 0 , i = 0,9 ;0,1yˆi +1 = yˆi +(−2 yˆi − 3x i + 2 − 2 yˆi(+П)1 − 3x i +1 + 2) ; ŷ 0 = 0 , i = 0,9 .2Метод Рунге–Кутты.
Из общей формулыyˆi +1 = yˆi +hi +16(K 1,i + 2K 2,i + 2K 3,i + K 4,i ),249yˆ0 = y 0 , i = 0, n − 1 ,гдеhh⎛⎞K 2,i = f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + i +1 K 1,i ⎟⎟ ,22⎝⎠hh⎛⎞= f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + i +1 K 2,i ⎟⎟ , K 4,i = f x i + hi +1 , yˆi + hi +1 ⋅ K 3,i ,22⎝⎠K 1,i = f i = f ( x i , yˆi ),K 3,i()следуют формулы метода Рунге–Кутты четвертого порядка:0,1yˆi +1 = yˆi +(K 1,i + 2K 2,i + 2K 3,i + K 4,i ) ,6K 1,i = −2 yˆi − 3 x i + 2 ,K 2,i = −2 ⋅ ( yˆi + 0,05 ⋅ K 1,i ) − 3 ⋅ ( x i + 0,05) + 2 ;K 3,i = −2 ⋅ (yˆi + 0,05 ⋅ K 2,i ) − 3 ⋅ (xi + 0,05) + 2 ; K 4,i = −2 ⋅ ( xi + 0,1 ⋅ K 3,i ) − 3 ⋅ (xi + 0,1) + 2 .Неявный метод Эйлера. Из общей формулыyˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i +1 , yˆi +1 ) ≡ Φ( x i , x i +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,получаем расчетную формулу неявного метода Эйлера:yˆi +1 = yˆi + 0,1 ⋅ (−2 yˆi +1 − 3 x i +1 + 2) ,yˆi +1 =откудаМетод трапеций.yˆi − 0,3x i +1 + 0,2.1,2Из общей формулыyˆi +1 = yˆi +hi +12[ f i + f (xi +1 , yˆi +1 )] ≡ Φ(xi , xi +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,получаем расчетную формулу метода трапеций:откуда0,1yˆi +1 = yˆi +⋅ (−2 yˆi − 3x i + 2 − 2 yˆi +1 − 3x i +1 + 2) ,2yˆi +1330,9 ⋅ yˆi − ⋅ 0,1 ⋅ x i + 2 ⋅ 0,1 − ⋅ 0,1 ⋅ x i +122.=1,1Очевидно, в данном примере удалось получить явные формулы для нахожденияŷ i +1 неявным методом Эйлера и методом трапеций лишь в силу линейностирешаемого уравнения.
В общем случае применяются методы простых итераций илиНьютона.Точное решение рассматриваемой задачи Коши: y( x ) = 1,75 − 1,5x − 1,75 e −2 x .Результаты расчетов приведены в табл. 1, в последней строке которой указаныфактические погрешности.Анализ результатов показывает, что при решении данной задачи методпредсказания и коррекции точнее явного и неявного методов Эйлера, но уступаетметоду Рунге–Кутты и совсем немного методу трапеций (порядок погрешностиодинаков).250Таблица 1ЯвныйметодЭйлераНеявныйметодЭйлераМетодРунге–КуттыМетодпредсказанияи коррекцииМетодтрапецийy (x )0,00,0000,0000,0000,0000,0000,0000,10,2000,1420,1670,1650,1680,1670,20,3300,2380,2770,2730,2790,2770,30,4040,2870,3400,3350,3420,3400,40,4330,3060,3640,3590,3660,3640,50,4270,2970,3560,3510,3580,3560,60,3910,2640,3230,3180,3250,3230,70,3330,2120,2680,2640,2700,2680,80,2560,1430,1970,1920,1990,1970,90,1650,0610,1110,1070,1120,1111,00,062-0,0330,0130,0090,0150,013max εi0,0680,0590,00001040,0050,002xiПример 2.
Найти приближенное решение задачи Кошиy′ = z − 1 ,y (0) = 1 ,z ′ = − y − 2z , z (0) = −1на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,1 методами Эйлера (неявным и модифицированным),Адамса–Бэшфорта третьего порядка и трапеций. Путем прямой подстановки в систему легко убедиться в том, что точноерешение задачи имеет вид y ( x) = −2 + 3 e − x + x e − x ; z ( x) = 1 − 2 e − x − x e − x .Выписываем формулы для нахождения приближенного решения указаннымиметодами (при этом применяется векторная форма записи).Для неявного метода Эйлераyˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i +1 , yˆi +1 ) ≡ Φ( x i , x i +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,имеем⎛ yˆi +1 ⎞ ⎛ yˆi ⎞⎛⎜⎟ ⎜⎟⎜⎜ zˆ ⎟ = ⎜ z ⎟ + 0,1 ⋅ ⎜ −⎝ i +1 ⎠ ⎝ i ⎠⎝zˆi +1 − 1 ⎞ ⎛ yˆi + 0,1 ⋅ zˆi +1 − 0,1 ⎞⎟=⎜⎟,yˆi +1 − 2zˆi +1 ⎟⎠ ⎜⎝ zˆi − 0,1 ⋅ yˆi +1 − 0,2 ⋅ zˆi +1 ⎟⎠yˆ0 = y (0) = 1,zˆ0 = z (0) = −1.Разрешая эту систему относительно ŷi +1 , ẑ i +1 , окончательно получаемyˆi +1 =0,1 ⋅ (zˆi − 0,1 ⋅ yˆi + 0,001)− 0,1 ;1,21251zˆi +1 =zˆi − 0,1 ⋅ yˆi + 0,01.1,21Соотношенияyˆi+12= yˆi +hi +1f ( x i , yˆi ) ,2i = 0, n − 1 ,h⎛⎞yˆi +1 = yˆi + hi +1 f ⎜⎜ x i + i +1 , yˆi + 1 ⎟⎟ ,22 ⎠⎝i = 0, n − 1 ,для модифицированного метода Эйлера принимают вид0,10,1yˆ i + 1 = yˆ i +( zˆ i − 1); zˆ i + 1 = z i +(− yˆ i − 2 zˆ i );2222()yˆ i +1 = yˆ i + 0,1 ⋅ zˆ i + 1 − 1 ;2()zˆ i +1 = zˆ i + 0,1 ⋅ − yˆ i + 1 − 2 zˆ i + 1 .22Для метода Адамса–Бэшфорта третьего порядка изhyˆi +1 = yˆi +[23 f i − 16 f i −1 + 5 f i − 2 ] , i = 2, n − 1 ,12находим0,1[23 ⋅ ( zˆ i − 1) − 16 ⋅ ( zˆ i −1 − 1) + 5 ⋅ ( zˆ i −2 − 1)] ,120,1[23 ⋅ (− yˆ i − 2 zˆ i ) − 16 ⋅ ( − yˆ i −1 − 2 zˆ i −1 ) + 5 ⋅ (− yˆ i −2 − 2 zˆ i −2 )] .= zˆ i +12yˆ i +1 = yˆ i +zˆ i +1Для определения «разгонных» точек ( x 0 , yˆ0 , zˆ0 ), ( x1 , yˆ1 , zˆ1 ), ( x 2 , yˆ2 , zˆ2 ) воспользуемсямодифицированным методом Эйлера.
Точка ( x 0 , yˆ0 , zˆ0 ) определяется начальнымиусловиями (0; 1; − 1) .Выпишем соотношения для метода трапецийyˆi +1 = yˆi +hi +12[ f i + f (xi +1 , yˆi +1 )] ≡ Φ(xi , xi +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,и разрешим их относительно неизвестных:⎛ yˆ i +1 ⎞ ⎛ yˆ i ⎞ 0,1 ⎡⎛ zˆ i − 1 ⎞ ⎛ zˆ i +1 − 1 ⎞ ⎤⎢⎜⎜ ˆ ⎟=⎜ ˆ ⎟+⎟+⎜⎟⎥ =⎝ z i +1 ⎠ ⎝ z i ⎠ 2 ⎣⎝ − yˆ i − 2 zˆ i ⎠ ⎝ − yˆ i +1 − 2 zˆ i +1 ⎠ ⎦yˆ i + 0,05 zˆ i + 0,05 zˆ i +1 − 0,1⎛⎞=⎜⎟,⎝ −0,05 yˆ i − 0,05 yˆ i +1 + 0,9 zˆ i − 0,1zˆ i +1 ⎠откуда путем разрешения системы относительно yˆi +1 , zˆi +1 получаемyˆ i +1 = yˆ i + 0,05 zˆ i + 0, 05zˆ i +1 =−0,1 yˆ i + 0,8975 zˆ i + 0, 051,1025−0,1 yˆ i + 0,8975 zˆ i + 0,051,1025− 0,1 ;.Результаты проведенных расчетов даны в табл. 2 дляyˆi , y ( x ) и табл.
3 дляzˆi , z ( x ) соответственно. Из их анализа вытекает, что наиболее точно величину ŷiможно рассчитать методом Адамса–Бэшфорта, а величину ẑ i – методом трапеций. 252Таблица 2xiНеявный методЭйлераМодиф. методЭйлераМетод Адамса–БэшфортаМетодтрапецийТочноерешение0,01,000001,000001,000001,000001,000000,10,809920,805000,804990,804990,805000,20,629600,619970,619910,619910,619940,30,458850,444790,444690,444640,444700,40,297400,279240,279080,2790000,279090,50,145000,123090,122850,122730,122860,60,00131-0,02397-0,02428-0,02444-0,024280,7-0,13397-0,16224-0,16265-0,16284-0,162630,8-0,26119-0,29208-0,29257-0,29279-0,292550,9-0,38072-0,41384-0,41441-0,41465-0,414381,0-0,49287-0,52787-0,52853-0,52879-0,52848max ε i0,037204150,000672910,000059420,00033550Таблица 3xiНеявный методЭйлераМодиф.
методЭйлераМетод Адамса–БэшфортаМетодтрапецийТочноерешение0,0-1,00000-1,00000-1,00000-1,00000-1,000000,1-0,90083-0,90000-0,90023-0,90023-0,900160,2-0,80316-0,80095-0,80132-0,80132-0,801210,3-0,70753-0,70357-0,70402-0,70401-0,703880,4-0,61440-0,60844-0,60893-0,60890-0,608770,5-0,52408-0,51601-0,51650-0,51645-0,516320,6-0,43684-0,42663-0,42709-0,42702-0,426910,7-0,35287-0,34054-0,34095-0,34087-0,340780,8-0,27229-0,25794-0,25828-0,25818-0,258120,9-0,19518-0,17894-0,17920-0,17908-0179051,0-0,12158-0,10357-0,10378-0,10364-0,10364max ε i0,019581330,000325860,000121450,00003005-253.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
