Казанджан Э.П. Графики (2004) (1003961), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. кривая при х=-О име- ~ >-а„ 1->~ с ет горизон3альную касательную; 1 4 ! ! 21 ' 5к+2 ,2 3 2 3,4! х' х х' .т ! х' 5 при х=-2235; у= — е - '=0,13 — точка перегиба. Кривая выпукла при 5 х< — 2325, вогнута при х>-2/5. Ко~прольныс точки; 3:( — 4)=-2е "" = — 1,56; у(-3)= — е"'~'=-0,72; у(1)=3е=8,15; у(3)=5е"3 =6,98.
1 250. у=(х+!)е'; у=(-ле2)е ' 253. у= х+ — ')е'; у=( -х+ — )е '; у=(2.т.л3)е' 4) 1 254. у=хе" 255. 1 =, 1-- с ' . Функция опре- 1 .Т делена нри тиО (рис. 31); у(1)- О, 2 ~ у>0 при х<0 и х>1, у<0 при з 0< к<1; у(-0)=!!гп 1--)е'Р = О Х 11п! (1+!)е = 0; Рис. 31 у( !.О) .= ->, т, е, х = 0 — вертикальная асимгпота. выход справа вниз. При т-+то (нсцользуем тейлоровское разлорксние3: !р=(1 — — 11+-+ —, ы.. !=-.1- — е — — — „и —,з.„= 1- —; +..., т.с. х)(, х 2х ) х х т 2.т 2т" у=! — двусторон1п!я горизонтальная асимптота, выход снизу на ! — тина !с — — <О 11айдем производные; ! 1 1 1 <О при х<0 — функция убывает; !| ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ г у х .к хл/ >О прих>0 — функция возрастает. е' Отметим: у'(-0)= йгп —, = — 1йп !ле '.=О, т.
с, кривая при о-р-О Х 1 — =( о х=-0 имеет горизонтальную касательну!о: 3 1 1 —, З.т+! 1 ! — — — — — е — — — е — 0 цри л — -1/3 — перегиб х .т/ х' у( — 1/3)=4е '=0,20. Кривая выпукла нри .к<-1/3 и л.>0, вогнута при -1/3<х<0. 3 Ко!отрольныс точки: у(--)= — -=О т31: у(-!)=-=0,74; у(0,7)= 2/, ' е !О ' е '" = — 1,70; у(2)-:: — ~е = 0.82; у'(- !/3)=-27е и -1,34 . 7 25б. у= 1+-)ео:У='(1--)е ' 257. ! = х — — !е ' . Фл икция оп- .1 ,! ределенв при .теО (рис.
32): у(-!! — .!т О,у(+!) О у 0 при! 1 0<х<1; у>0 при -1<.т<0 и .т: 1; у(-0)=1!гп (.т — -)ен = (ип ! г--.с '-- о-р-О! Х =0; у(+О)=-=с, т. е. х-.0 — вер- Рис. 32 тикальная асимптота, выход справа вниз. Прн л-+ а (используем тсйлоровское разлоятсние1: 1(г ! 1 ! 1 1 1 ! у = х - — !! 1+ -+ —, л ... ! = .т - — ! ! — —; ! — л...
= 1..! 1 — — + ..., х)( х 2.т ) л' л 2т 2х Найдем производные: 1 1 1! Оо у'=со!1 — „- — ",—. (== —;(,! -х . т+1)=-0 Х Х Х, Т при х = -0,54 — максимум; уолл(-0,54)=0.2! . Функцвр во!р!Тстав! прн х<-0,54 и х>0, убывает при -0,54 -. 1< 0. Ото!стило, 1то других корней т. е. у=.к+! — л!вустороипяя наклонная асимптоьь выход сверху (- — о 1, '„„и' ,— —. О !.
Тр„„-р,;„„„, г р.х Л асимпготой при х=-1, у=О. уравнение у'=О ие имеет; при х<0 сумма х —.т +х монотонна (все слагаемые отрицательны), так что найденный корень единствснный, а при х>0 многочлен х3-л +л+! равен 1 ! 11 .х! х- — , '+ — х+1>0. Кроме того. у'(-О)= йгп е' ~1» —,-- п — .= , „и ( .3 . Х3) 3 3 1+3+! -3 1ш3 — О, т. е, ири .т — -О кривая имеет горизон. е 264.
»= х- — )е-'. Функ- Зх) ог!редепе333 п!333 (рис 33) Функция обр3шасг 1 с3, в 0 ири х- — =О, г.е. Зх 3 ал ьну го к!3 сатен ьну ~ о; ! 2 ! 3 ! 1 1 11 е' х3 хп х' х3 хП хп х') х' у(-О) =0 'х=й . (- )=--Г (--О, 27 м,(0, 08 ири х=-21Дм ' -у= — перегибы. (-3,73 ( — 2 65 — вертикальная всимитота, выход справа вниз, ПРИ Х-+по (ИСИОЛЬЗУЕЬ3 тейлоровское разлоькеиие: Кривая выпукла ири -3.73--л<-0,27 и хьО, во~пуза ири х — 3,73 и -0,27<л<О. Рис. 33 71- 7 Контрольные гочки: у(-2.5) =- - — е ' =-1,41; »(О, 75) = — — ел е 10 ' ' ' ' 12 - -2 21 ' у(2) = — 3!е = 2, 47; »(3) = - '7е = 3, 72, 3 8,.- 260. 3'=-~ х+ — !е' л) Найдем производные: 47 46 2.. у= х+ — )е'; 2 у= хь — е' 259.
у= х+-)е ' .. (' .'3Л 261. у=-( хь — ~е' 11 262. у=! х- — )е' х) ; =+- — =+0,58: 3: = О и( ! ,6 , -!/Л и 0<. 1/ ГЗ,у-"О при — 1/ь(3 <х<0 н х>!/3(3; Зт ~, ' ,- — )- Зт - , - - Зх т. е. у=х+2 — двусторонняя наклонная 33с33ип3333а, выход снизу !5 ) (5 иа -о ~- — <О ц сверху иа 3<с ~ —.—: О ! Кривая пересекается с асимптотой. когда (3 г -!) е' =-Зл(х42), т, е. при .т = 0,64, у=2.64. 1 2 2 ~3 е' -, 3 е' у =в (.—,-=.=,ь — "»1; ., 1= — ',Г;-П!3" Зх л 331 хл ) 3 3 -Зх-2) =0 2 3 1 — максимум,уоо (1)=-е =4,93; (3+ /33)/6 =1,42 — минимум, у„„, (1,42) = 4,85: (3-ь/33)/6 =-0,42 — максимум, у„,„, (-О, 42) = О. 003. ири х.-- 1ьои»тр»О»зьиыс точки: у(-4) — — — --2„38; у(--3) — -- — с.
11 2, 11 =-!48; у(-2)оо — =-0 67; у( — !)= — е --О!8', у(З) . с, 4 с18. бе ' ' 3 ' * 6 у(3)= — ез ж5,63, у(4)= — „- /с =6,46 26 , 47 1б Функция возрастает при х< — 0,42, при 0<х ",! и .«>1,42, убывает при -0,42<х<0 и 1<х<1,42, Кроме того. отметим у'(-0)=0 (самостоятельно) — кривая имеет при .«= — 0 горизоитальиую касательную; 1 ;/ 2 2 2 2 2 4 4 1 2с ' ~ Зхз х- х" х- Зхо х Зх~3 Зх « «с 11,15 !4,90 ири «=(2тз/!4)/5ж~ - у=~ — перегибы.
(-0,35 ~0,002 Кривая выпукла ири х<,-0,35 и 0<к<1,15, вогиуга при — 0.35<к<0 и х>1,15. 272. у=(х е1)с ' . Фуикция чегиая !рис, 34!. определена при хи0, всюду полов«и«ельца. В точке х=О функция иместусгрвии! 1+ 1 мый разрыв, так как у(ЧО)= 1иц (х -'1)е ' = 1пц —,=0 С» ' ! \» Функция, доопределсиная в ~очке х=О иредельиым значением у=О, становится всюду определенной и пенрерыгиой. Кстати: г(О)=0 — точка минимума - ио сюредснепи»о. 11ри х — >ж; « -х, так что об асимпто~е пе м«о»кет быть и речи.
'г1ай»дем нроизводныс: 1 »'=(о 1-.»! г ! "----, "! .. »). о»» . »в .«! х функция возрастает. Легко убсдигься, что при « --0 производная у' непрсрывгса; 1 ((Л ) !'е "' -О '(+0) — 1йц — -..— — — — — — — — — = 1пц —, =О; х -ов йх о 3 ь» з х .« — кривая всюду вогпуоь («»»»ево»диск чго х ех — х --2=-х + х --,' ь.->0.) Контрольная точка: у(1) =- - = О, 74 .
с' Рис. 34 48 .« х / 273. у=(.«+1)е '' » 274, у=(х — 1)с' ' 275. у=(х — !)е 276. ! =-(.«- !)е''; 3»=(х-1)е" 277. у=(х-» !)с' '; у--(х-1)с 328. у=-— !их 340, у=(пзх+1пх 4пл х 341. у=-!и'х+1п 'х -! гх -( 330. у=- — ' Оп. зl!п л 331. (= — „ Рнс. 35 332, (=~— !!и х 333. у= з1-.' 1пх (х'!пав г(рих~0, 0 при х=О.
334. у=(п(1пл) г (х 1п хори хтО, 347, у= (О цри х=О. 335. у=(п(агс(8х) Най(дом производные: 348. у.=!п 1+-~ 349. у==л.(и~1+ — ~ 1( х 336. у=!п(агсгйп х) ! 337. у=(ах+в 3 .,=(л. („(, ) 351 у=(2хж!)1п 1 — 1 1 338. у=1пл-- х 339. у=!и л+1пх 352, 52 342. у=!п(е'-ь /х) 343 у=-!п(е'-- /л) 344. у-"!пах--1 345. у=фЬ,.~ у=(Зх+!).!п(1+ — . Функция определена нрн х<-1 и х .х>0 ~рис, 35).
Функция всюду положительна (знаки сомножителей одинаковы); у(-1-0)=.+оз. т. е. х =-1 — вертикальная асимптота. выход слева вверх;,)'(+0)=-з<с. т. с. х=Π— вертнказьная аснмптота выход справа вверх. При х-л о (нспольз)'ем тейгю))овское 1)азложеннс). (1 ! '1 ! 3 у=(Зх+1)~ — ---,- ...~-3 ... (,х 2х" х 2х двусторонняя горизонтальная асимпгои, выхоз сверх> на -сс х ( — — >О (, снизу (ьв +о ~- — <0), 14риван пересекает асимп2х 2х 1) ~к(~. Цй(~+-(-.) .. р .'о,~з.
1' Зхе) -1, ( !'( За+1, 1! Г=З~ (~ -~ ° —" — (=Пн('~ — ( —,=З~.(~.-1- х, ! ! х, л.) ( +х г,) + 2 — — =0 при .г=0.55 — минимум: у„„„(0„55)=2,75. Очевидх+1 х но, что при х< — ! уравнение (с=О корней нс имое(. так как !ис- пользуем тейлоровское разложсш~е): (! 1 ! ', " ! 2 ' 3 1, ! )х 2х Зх' ) .г+! х х х-! 2х' х-3 +...>О - функция возрастает, Функция также возрас2х (х+1) тает при х >0,55 и убывает при 0<.г< 0,55: 3 -! 2 ! -Зт'-Зхз-2х'+х +2х+! -х+! х' (т+1)' х" хз (х+1)' х" (т+!)' х при х=! — псрегиб; у(1)--4!п 2=2,78.
Кривая выпукла при х>1, вогнута при х<-! и 0<х«!. Контрольные точки: у( — 3)=8!п- м3,24; у(-2)=-5!п2=3,47: 2 31 7 3, 4 у - -".) = — 1п 3 " 3, 85; у(2 ) =- 7 ! п — и 2, 84; у( 3) = ! 0 ! п -. = 2, 8 8, 2 3 Рис. 36 ва вверх. у(!+О)=-с, т. е, х справа вниз. При х-+со уклонной асимпзатс нс может и не 1), 353. у=.(.т-»2)1п ! з -) !1 т 354, у=х!п !е--;) 35%5~--1* 11~ ()+ — ) !1 356. у=л" 1п~ 1ь-~ з х 357.
у:=х'1п(1+ -) ( .т 358. у=.т (п~1-ь —,) 359. у=-.т 1п~!е —,) з ( Х 360. у=!п( х- —,~ '=т х:1 361. у=.-!и х --). Функция оп- релелена при х<0 и х> ! (рис. 36). Кривая пересекается с осью абсцисс. ! когда х — — =1, т.с. х=1,32. у>0 при х<0 н х>132; у:О при ! < х <1, 3 2; у (-0) =+ с, т. е.
х = 0— вертикальная асим~ггата, выход еле=1 — вертикальная асимптота, пыхал !пЯ, т. е, а горизонтальной или набыть и речи (порядок функции не О )'=-1п — =0,81; 1(2)-1п--=1.25; у(3)=!и-- =2,!б. 2 ' 3 1 1 367. у.-(п1.т Гл 1'1 368. »=(п(л — —,) 362. у = !и (!п.т) ( 363. у = ! и л -, '— ! 11 364. у=!п х — — ! Х) 369. 1 =- !я.т ,( з»1 !и т 370.
г:= — = ях — ! 365 т — !и л 1', Збб. у=!п .т + — ! х) 37). у= !п(»' -х). Функция определена прн всех х (зза видно из сопоставления графиков функций у=-»' и у=..т: » -х>0) !)айдсм производные: ! ( 11 2х+! ! ,'- —.! 2х.» —,1=,', =0 при л'= — —,— =-0.79 — мих'7 хохл-1) ((2 (-= ~ =. !п 3--1п 2 =0.64 . Функция убывает при х<-0,79 и возрастает при -0.79<х <О и х>1; б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
