Казанджан Э.П. Графики (2004) (1003961), страница 3
Текст из файла (страница 3)
у.=х'(х-4)/1 8=(х~-4хв)/! 8 "в,вт — многочден 4-й степени (рис, 8). Очевидно: у(0) =О: у(4) =О; вв Х в у<0 при 0<в<4; у>0 при т<0 -вяв ---- и х>4. вх Найдем производные: 2, 2 ° 2 р .8 у' =- — х --х = — х (х-3) -: 0 9 3 9 прн х=3 - минимум; у„„,(3).-- =-3/2. (П!ти х=О, несмотря на обравцепие у' в О, экстремума пет — по оп!тсдсяеввиво.) Функция убьпвает при х = 3, возрастает при х: 3; 2 4 2 1, О ( 3' 3' 3' ' ' (2 (-8/9= 0,89 — точки вверсгиба, Кривая выл вукяа при 0 «х < 2, вопвута при .х «О и .т:. Кон в рояьные точки: у(-2) =-8/3 = 2,67: у(-1) = 5/1 8м 0,28; у(!) =- !/6м -0,17; у(9/2) — -8 !/32 = 2,53 .
36 3.=( -!) ( ' !); у=( +!) ( 3)' у-( ' 3)'( !) 37. у=(х-!) ( -4); у=(х+!) (х-1); у=(х !) (. -3) 38. у=х(х-1)(х-2)(т-3) 40. у=х (л;-2) 39. у=х(х-!)(х+2)(х-4) 41. у= — х (х-6)(х-8); у= — хв(.т+6)(хв 8) 1 л . 1 100 ' 100 44. у=хв(л -4)(л.-7).' у= тв(л+3)(х в -!); в =л '(х+,!)(т.в. 7) 45. у=(х+6) (.ть1); в =(х-ь7) (.т в 3) 46. у = (х + ! 1 ) ( т + ! ) : у = ( т — ! 2) ( х - 2 ) у=(т — 1) (тч--!); в=-.(л-б) (.хв4); 56. у ---х (.т-3) 1 в 51. у=.т'(х -1) 52. у=(х — 1)(х — 2)(х-5)' 53.
у=(л+1)(х-2)(хя5) 42. у=х (т-1)(х в-2) 43. у=х'(х-3)(х-4) 47. у--лв (х-5) 48. у=(х-2) (х+3); у=(х-11) в(х+4) 49. у= — (т+6) (т -!) 60 50. у — -(.хч !!) (т в-1) 54. у (т И. -ЗН,1)' 55. ! =-( т+ !и х+ 3)[ --5)в 57. в =. (..' !) 58. г=х (х'-15) !4 Естественное обобщение миогочлена — рациональная функ Р» (х) ция, т, е, отношение многочленов у= — —, где Р»(х) и Д„(х) а„,(.) ' — многочлены л-й и гп-й степсни соответственно (полагаем, что у них нет совпадающих корней).
Поведение функции зависит от разности степеней л-т и корней знаменателя Д,„(х) . Нуль в знаменателе обрагцаст функцию в оо — вертикальная асимптота. Л рвз ность гг-лг показывает, как ведет себя функция на бесконечности; возможные варнантьг 1) л-т>2, тогда при х-++:о функция бесконечно большая х''! з з порядка пе меньше 2, асичптоты нет, например, у= — '„' --х'-; х +1 2) л-ггг=1, кривая имеет двустороншою наклонную асич~позу, которая находится непосредственно лслснисы„нггггриме!г, хз+1 х-1 —.=х-,, очевидно, чго у=х — асимптота. выход сверл'+1 х +1 хУ на -ю и снизУ иа +оэ; кРиваа пеРссекает асимггтотб пРи л =1 («довесок» обращается в 0); 3) л=т; кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту, которая находится непосредственно лсленисч; например, г у= — ', =1 —,; очсвидно, что у=1 — асимптота, выход снизу х +! х ч! на-со н на+со; 4) п< т; кривая илгсст двустороннкгю горизонтальную асимп- 1 тету у-О (нсчего и искать); например, у=,; очевидно, что хз+1 у=0 — асимпгота, выход сверху па-«г и па +«э, Наконец, отметим егце, что в простейших частных случаях (т=1, гг<2) получающаяся кривая — гипербола: одна из асичптот — вертикальная, другая — паюгопная (или горизонтальная).
Рис. 9 С этих хрестоматийных примеров (рис. 9) и пачпеч рассмотрение: 1 1 у = — и у =--- — «школьныс» гиперболы: х ' .т у =--- — то же со смегцснисм по оси гзт; 1 х«1 '- — =1- — — — то жс со счсщснисч по обеим осяч, пли: л 1 хе! хж! ( х+! ) ( г — 1) = — 1 .
х(х+4) 3 59. у = — = х ж 1- — -- . Функция х «3 .х+3 определена при х» — 3; х=--3 — вертикальная асимптота, выход слева вверх, справа вниз(рис. 10). у(0) =-О, у(-4)=-0. у>0 при — 4<х<-3 и х>0; у<О при .т< — 4 и — 3<х<0. у=х+1 — двусторон- няя наклонная ясимптота, выход сверху на -«э, снизу на +о>, Кривая симметрична относительно точки (-3, — 2). так как Рис. 10 фунгкция у+2--х+3----- нечепия пОгг)г!ллгеггГ~ г.~-3, х 3 Найдем произволиыс: 3 у' =! + — —, > 0 — функция всюду возрастает; (х+ 3) 6 у'=-, сО при (х 3)з погнута), Контрольныс точки: и(-2) = — 4 х(л.
+ 3) «*=- —.=х-!+в (х+ 4) Р!!с. 12 11айдем производные: пая асимптота, выход снизу на — о, сверху на+со. Рис. 11 !9 т > -3 — кривая выпукла (при х < -3— у(!)=1,25 лс(2)-2 .4 у(. !)-, у+5=х !.4л —. Функция опрсл'+ 4 делена при х ~ -4; х -- -4 — вертикальная асимптота, выход слева вниз, справа вверх !рис. 11). Кривая симметрична ««тнлзситсльноточки (-4,-5) . у=О при «=О и л'=.-3: у>0 при — 4 -т<-3 и «>О: у«0 при «.с -4 и -3«л ".О у =х-1 — двусторонняя наклон- 1-!айдсм производные: 4 ~-2 — миниму'и, уп„п (-2).= — 1, у'=1- — „=0 при х= (хл-4) (-б — максимум,уп„, (-6) = — 9, Функция убывает при -4<х< — 2 и возрастает при х>-2; 8 у" =, >О при .т>-4 — кривая вогнута, (л+ 4) Контрольные «очки: у(-1)= — 2/3=-0,67; у(1)=4/5=0,8; у( )=5/3=1,67.
х(«+8) .т(л+9) х(х+9) х(х ь12) л ( « - 1) 61. у= — —; у= х+6 х+5 х-!8 ' хл-9 ' х-;1 х(х+б) х(хь5) х(х+8) х(х+9) х(.«'+1) .+8 «9 ' «. «1 .тл1 ! 1 63. у=-' —., == — + —,, Функция .«х .«" определена при т ~ О: л = Π— ве ртикальная асимптота, выход вверх слева и справа !рис. 12); у(-!)=О, у<0 при л .-1: ! >О при .т > -1; у == Π— двусторонняя горизонтальная асими ! ота, выход снизу на - «с сверху на ", «с. 1 2 х+2 у'=- —, — =- —,=-0 при х=-2 — мини«!ум; у (.-.2)". !/4 3 .'ПМП .«,т',т' Функция убывает при т: - 2 и «О, возрастает при -' - ««О; 6 л 3 !.
=2 — =О при .«=-.3 — перегио: «(-3)=-2/9ь -О,"'! л л л х х Кривая выпукла при .«« — 3, вогнута прп т> — 3. Колпрольпь!еточки: у( 1/2)=-2: у(!)=2: л(2)=-3/4; г(-4)= = — 3/! 6 = -О,! 9 . .«-2 .т ь1 .т-1 .т+2 х (х+ ) (х+ ) (х-1) (ть1) хл-1 65. и= -. Функция определена прп .т:О. «.«1, л=-0— .т(х--1) вертикальная асимпто!а. выход слева вверх, справа вниз; «.=-!— .т+! Хг2 (х+2)(х+3) ' (х+3)(х+6) (х-2)(х-3) 5х-~-4 (хь1)(.т . !) 7,к+ 10 ( 2)( '-") '?.т 1.
! 4 ( к. * 2 ) ( х ю 7 ) 4хч 9 (хьЗ)(х+9) 9.л'г 20 ( те 4 Их+ 5) 4л. ьЗ (ха!)(х- 3) З.тч 4 (х+2)(.т е4) 5хч. 8 (л+ 2)(т+8) 8хч 15 и (х+3)(х ! 5) 5х+12 (хе4)(кчб) 67. у.=- —— * ' (.те!)(хч 2) 5Х~-6 (.ке2)(х+3) 2х+ 3 ( т г 2) (х+ 6) 7х'12 (х+3)(хе4) 5х+18 (.т+ 6)(х+9) 7х+ 24 (х+б)(к+8) 7.т+ 6 68.
у=- (я !)(л,21' 13х+12 (х+! ) (л + 3) 13.т+ 24 (хь2)( "6) 7л а!2 (т ЗМХ ь 1) 21х+ 20 ( л'.-1) (.т+ 4) 7х — б г= — —-- (х 1)(хез) 13 к — 12 ( к 1) (.т+ 4) 3.» -2 69. у=-— (.т -1) (л'+ 2) 21х — 20 (т — 1)(х+ 5) .т Р=-.— — —; (х ~ 2)(х — 3) 70. у= (хе1)(х — 2) (" )(- -3)' х-1 у- —- (л+1)(.т-З) з (х-г2)(х -4) т — 1 (х+2)(х-3) ' (т+2)(х--4) х-.'-1 у= (х «2)(х-4) вертикальная асимптота, выход слева вниз, справа вверх (рис.13). у( — 1)=О, у<0 при х < -1 и 0 <.к «, 1, у '.- О при яч! 1<л .0 и к>1, у 0 дву --= та 11 л з х стор<низав горизонтальная асимптота, выход снизу на -ел, сверху на+ко.
11айдем нроизводныс: , ! х - х -(х+ !) (2х-1) (л -х) / х +2х-1 и .13 (хз -х)' 0,41--максимум,у„,,„~ — 1ьЛ)=-3-зЛ= — 5.83: нри х=-!~Я= -2,41- минимум,у„„„(-1-л/2)= Зч 2 /2= -0,17. Функция убывает при х<-2,41 и л» 0,41; возрас гает нри -2,41<х<О и 0<хс0,41; (2Х+2)(х -хнх +Ох-1).2(2л — 1) хз ч 3тд Р"=- (хл -х) (тз - т) при х= — 3,85 — перегиб; у( — 3,85)=-0,15. Кривая выпукла нри х< — 3,85 и Ост<1; вогнута при -3„85<х<0 н х>1. (Очевидно, при х>0 уравнение у"=0 корней не имеет; так как З.т -Зт+3/4=- =-3(х- !/2) >О,т.
е, х +Зх — Эх+1>0.) Контрольные точки: у(3/2) =10/3; у(2) =3/2; у(5/2) =-14/15 = =0 93' у(3)=2/3; к(-1/2)=2/3; и(-1) =-1/2 20 2! т+1 т-2 71. У=; У= х(х+ 2) .Х( т-4) Зх+! 7х-у1 1Зт+1 72. у=; у= х(х+ 3) ' .т(х+ 4) ' х(х+ 5) ! ! 73.
у= —; у —- л(х-!) х(х+ 2) х+4 х+8,л-у9 х+9 74, у=; у= — — —; у=- —; у= — —; х(х+3) .т(х уб) ' х(т-:8) ' х(т4-5) ' х4-12 х(х+9) ! 1 2 1 2 ! 3 ! 3 ! 75. у= — -- —; у=:-+ —: у=-- —,: у=- — + —; у---- —, х х х х х х х х х х 1 ! 1 1 3 2 3 л. х х т г х .т ' х х ' 1 77, у=- — + —, 3 х х ! 1 1 3 3 ! 3 4 4 3 х .х х х .т х х х х .т" 1 б х х' 2 2 х +х+1 х — л+1 х +22+2 .т'+Зт+4 г г х х х 80, (Х-1и "2),, ('-!)(. "3),, ( -1их 4), у-— х л х (х -1) (х 4~5) у= х2 (л-1) (.х4-2) 81.
у=,; у= х (х-!)(т-2) (х-2)(х —:1) 82, у= — — —— (х-1)(х-3) (х-!)(х-4) (х — !)(х — 5) У 2 ' у= ,т х х 1 84, у= —,— ха+1 х 96. у=— 2-1 х 97. у=— 2 х' — 1 ! 85. у=— х +1 1 98. у= —, х' — ! 1 8б. у'= х +! х 87. у= —,— .т 4-1 х 94. у= —, х .1 95 У- ! х' — 1 г 89. у= —,,' х ~'-1 х х' г 3 л -1 х'у! 2 ' ° 3 ,3 у! х' -1 .т 4 .т +1 102.
у= ', л. +! , 4 х х -1 4 .т .т -1 10б. у= —,— х' Х24! х 1 107, у=- ' =х-!4 —,†. Функ- х +х+1 х +хя-1 ция определена при всех .х !рис. ! 1). Очевидно: у(0)=0, у<0 при х<0, у>0 при х>0; у=х-1 — двустороунигя наклонная асимптота, выход сверху на +еэ и — с, Найдем производные: Рис. 14 лг+1 103. у=— х х +1 104.
у= —, х 90. у= —,— хг+! 2 91. у= — ', х'+1 92. у= —,— х4 -у1 1 93. у=- — „ х -! х -1,тг у=; у= — 105. .т .х-1 х 99. у== —, .т' — ! 100. у= '„ хг -! 101 У= 4 4 ! 23 (х — 1)(.т +4х+1) =-2 Т вЂ” -=0 (х +!) у(1) —.О. пере| ибы. г(-0,27)= — 0,95, у(-3,73)=-3,55. — +Л=-0,27— -2- /3 =-3,73 при х= Кривая выпукла при л< — 3,73 и -0,27<л:1. Рис. !5 24 2х+! х (л +2х+3) у'=1-, =,— >О при л~о — функция вскэ(х +х+!) (т +х+1) ду возрастает.
(При х=о, несмотря иа иулевуго производнукэ, функция экстремума не имеет- по опрсделсни!о,); (х-''" )-(2- ) ( ") ,=0 (.тэ+.т ь1) (.т +.т+1) )- 3(-!)=-1::(-!)=-". при х=э — псрсгнбы. '(О, у(О) =О; у'(О) =О Кривая выпукла ирн -1<х<0. вогнута при .т<-1 и х>0, Контрольные точки: у(-2) =-8/3; у(1) = 1/3; у(2) =:8/7 =1.14 . хэ-1 хе1 108.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
