Казанджан Э.П. Графики (2004) (1003961), страница 4
Текст из файла (страница 4)
у= †, =х- †', . Функция определена ири вссхх !рис, 151, х +1 хэ +1 Очевидно у(1)=0, у<0 при х<1, у>0 при х>1; у(0)=-1; у=х — двусторонняя наклонная асимптота, выход сверху на -лэ, снизу иа зов. Кривая пересекается с асимптотой при х=-!. 1-1айдем производные: Зх (хз ь!)-2х[хэ-1) х(х'+Зх+2) (. э + 1)' (. -' 1)' Π— минимум, у„„„(0)=--1; прн х=-, (= -О, 60 — максимум, у„,.„(-0,60) = -О. 89. Функция возрастает при х '-0,60 и х>0, уоывает и!эи -0,60«х<0, Отметим, что других дсйствигеээьных корней многочлен х -,Зт+2 нс имссг ввиду моногоииости суммы х ч-Зх.
!Сопоставьте графики функций .т и -Зх-2 — пересечение одно.); (4тэгбхч2)(хэ+!)-(х' ~3х г2т) 2 ".т 2(тэеЗт - Зт -!) у (. э ь!)э (т - !) — 3.73«х - 0.27 и х>1; во!пупа при Контрольные точки: г(-5)-.-63/!3= — 4,85; у(-3)=-2.8: у(-2)= — 1,8; 1(-1) = — 1; и(0,5) =-О. 7; г(2) = 1.4; у(3) = 2,6; у(4) =63/17=3,71; у'(1) =3/ . .3+2 -2 109. у= —,=х- —,—, Функция определена при всех.х(рис, 16), х +! х +1 (4хз ьбх-4)(хз+!) — (Х~чЗха-4Х).2 2« Л 6 л 3„+2 у = (х' ь!) (.
Л+!)' <-0.8! ~0,90 при хм10,39 -у=11,79 — перегиоы. Кривая выл«кла прн <6 42 16 3 -0,8 ! с х <0,39 и х > 6,42; вогнута при .«с -0,8 ! и 0,39 с.«с 6,42, Отметим, что все три перегиба кривой, так сказать, произволствонпо необходимы: нужно перейти с максимума на минимум и с экстремума па асимпзоту — зто пылсказываеп в каких интервалах слелует искать корни у": !) х «0, 2) 0 х<1, 3) х>2. Контрольные гочки: у( -3)--2.5; у( 2):=-1,2; у(-!)-. !/2; у(2)=2; у(4)=667!7-"3,88: у(7)=6.9. ход сверху на — ю, снизу на +«о. Кривая пересекается с асимптотой при х=2. Найдем производные: Зх'(х +!)-2Х(х'+2) .«" +Зх -4«х(х-!)(«+Хч-4) 0 (х ч-!) (х +1) 0 — максимум, у,„„„(0) = 2; при х= ! — минимум, у„„„(1) =3/2, (ха+!) Функция возрастает при х<0 и .«>1, убывает при 0<хс1, Очс яно: у(0)=2; у(-й)=0, у<0 при . < — й, ! О ЛГэ э х > -ч2 (=-1,26); у = х — двусторонняя наклонная асиьп|тота.
вы- хз-!3, !6 .«Л — 2 110. у=,; у=-о —, х ь1 .«ь! хг~ь2 л -2 ! 111. у= —,—; у= —, х -1 .«-1 х +2« х'+5х хл+7х х'+4х х" -! л.'- ° л -2 х -5 2 х — „л- х -5х х' — 7«л -4«х3-!Оз. 1 э 1 - . 1 1!3. у=- „; у:.— —,—: 1 —. —; г=- —. х — ! « -3 х -- .« — 5 .«-! Л Л - ! х. -х хл-5л х -4л. 114. '=-',: у= —, х +! .«+б .«+б лл+2х «." э Зх лд+бх 115. у=',; у=с —,'; и=- —, ха+3 ' ' «'«! ' хлэб ' ' лл+6 223.
у=- — ", х -1 1 1 х -2х ч-Зх-2 х 117, З =, —" 124. у= — ', Х 1! ли+ ! -2Л +Зх ь! 3 3 х .т' т~ з з 118. 1'= '1 — 125. 1= — '„у= — '— х ь! х — ! .т -5'3 ' .тз-15 122. у= л" +! 129. у= — '„ .т- — ! 130. У=х-т/х. Функции нечетная. определена при всех л !рис. !7). Очевидно: у(О)=0, у(!)=О, у«0 цри 0- х«1, у>0 при х'1. !!ри ьь-ь": у —.т, цо ется бесконечно малым. !!айдсм производные: ! у ='! —, =0 при Зх ' Рис.
!7 х=!ь/Зт/3=0,!9 — минимум; у„„„(!/3 /3)= — 2/3;/3 =-0,38; у'(0)-..:с .тз+2Х+3 116. у=— х +х+1 .т'+х +Зх-2 119. у= —- и +-ь х' ь хи+ Зт+2 Х'+2 3 1 Х'+Х +ЗХ х -ь2 ь л х' !26. у=-' — ', у=— х' -1 х'+! т'ч.! х — ! !27. у.=-'-,—; у=--;— .т +! хзч ! 128.
у=--' хи+5 х +! аситппоты ььет — озклоиснисфункции от линейной у=х нс явля- у".- —,. >О при х>0 — кривая вогнута. У(0)=0 — перегиб, 2 зл 1г Контрольные точки: у(2)--2--"/2 = 0,74; у(3) =3-//3 =1,56. 131. У=л -5 ! 132. У=.т-ь — „. '/.х ! 133, у=-х- —,— З/х 141 !43 !34. У=т+ /х, у=ть2/т' 136. у-.хз+,/х 137. у=. з-,/х 138. у =х;.т 1 х . /. 139. у=-х /лт+ /х 146 140. у = х т/лт - /х 135.
у=х-т/л, у=х-2т/лт 145 151. у-х+т/л ! . Функция оп- рсделсна при всех.т, всюду у > 0 !ырн х>0 оба слагаемых полояиитсльны, а при х«0: Ц«тихи+! У(0)=-! !рис. !8). При х — >+со !ььсыользуем тейлоровское разложксиие: у=л' -чх; у=х +чх ! !'=Х вЂ”.=- ! 1':= Х+— ,/х ! 1 =-.т .ь— 1 у=т ,/х у=-, 2/т.-Зт/лт г ! 1':= т я и \ ;/:т у=- 1'+ о.т — =- /х г ! 1=Х вЂ” тЬХ+— /х г ! Г =.1'-- о.т — - —.- ,,гт. Рис. !8 вертикалыьаи касательная.
Функциьь убыааеь при 0«.т«0,!9, возрастаетпри х>0,!9; Г ! =*'Ы,ь" —.- 'Ы! ' —, -)= 172. у= Р+! 173. у=== /".! 174. » = — ' lх -1 176. !— /. -! ~) ! а2, у= »-ч»- -! ! 153, у = к г — =. /хз ! ! 154. у=хт— /л -! 156. у=хе»/л+! — ~л 157. и= — = 158. у.=.— х 9'»'-+ ! ! 159, у==— б-кз 180.
у= ~/х-! 155. у=х+ /х- Гх+! 164. у= — ' (/7:! х хзГ„+ ! 161. у= »/х -1 162. у=. л(х — 1 х х 163. у= —,- —; у=-,=— ,3 165. у=- —: у=--==- Х' Х' l:пв! ' ',/1-» 166. у= ! »/! —.- Рпс, 19 30 1 (прях>0); 2х+ — ~....те у=2»-асимптота,выходсаерху(при.к-+ кс); 2» 2 ! (при »<0); — ~-..., те, у=О-аспмптота, выход сверху (г|ри»-+-ке1, Найдем производныс: у'=1+ >0 — функция всюду возрастаст, »/хз.»! у = — —, > 0 — кривая всюду поп ~у гп, ! (х а!) Г. !»оптр»зльиые точки: у(-2) =- (5-2=0,24 „у(-!) = Л-! е 0.4 1; у(!)=»/2 е1е2,4(; у(2).=»/5 '-2е4,24.
Самостоятслы(о: у=х-»(.»- ( (, з(! -' 7! -.т кз/! кз,(х-~- ! х х 167. у = —; у = = /1-х /1 гх .к х /~:.-' ' /1:.' х х 170. у= —,= у=- —,'= Лтл»/(-х х' 171. у.= — ' —- (. 1-! 177. у=- »/»" ч.! 178. у=— /:. -! ,/. -! 179. у=-— ! 181. у=х+- — . Функ/»(» — !) иия определена при х<0 и х>1 (рис. !»!!. Очевидно; ут 0 при х>1; у=О при х= — 0,82; у<0 при л<-0.82: у 0 при — 0,82<х<0.
Других корней уравнение у=О, или, пото яке, ! — х =, нс имеет: при ('х(х- 1) х>0 левая и правая части— величины разных знаков, а при .я> ( !'> 3. (х>-л) --(х--~ ' (х -т) (2л-1) и при 1<.т <1,66 (т -х) > х -х-3 х -х+ 2 .тд, —,,„> 0 — кривая вс«оду вон!у>а, (х — х) (х(х-!Ц Кои грольпые точки: у(-3) =- — 3+ 1/Л2 =-2,71; у(-2);.-2 ~ 1/Я~ = =--1,59; у(-0,2)= — 0,2+1/л/0 24=1,84; у(1,2)=:1,2-«!/ ~0.24 =3 24 „ у( )=2+1/>>2ж2,71; у(3)=3+!//6а =3,41. 1 Самостоятельно: у:= х — — — —; /х(л+1) э -оь «и зп > х /л!! ! ! Г" 1 182.
у=х+ . Функция опре- ,Я.::1) делена при хиО и х~1 (рис. 20). Рис. 20 х<О левая часть монотонно убывает, а правая монотонно возрастает, так что точка «встречи» у них, естественно, одна, у( — 0)=+»э, т. е. х=Π— вертикальная асимптота. выхол слова вверх; у(1+0)=-то, т. с, х=1 — вертикальная асимптота, выход справа вверх; у = х — двусторонняя наклонная асимптота„выход сверху на — о и на +«о . Найдем производные: 2х-1 у'= ! — ',,„=- О при х=!,66 — минимум; у„„„(1,66)=2 62. 2(х -л) (При х<0 производная у' корней не имеет — оба сла>аемых поло>кительны.) Функция возрастает при х<0 и х>1,66, убьпввет у(-0) = ч о (слева вверх, х = 0 — вертикальная аснмптота, выход у(.«0) =-то (справа вниз.
у(1-0)= о !слева вниз, у(1«0)=«о> х=-1 — вертикальная асимптота, выход ! (справа вверх; у=х — двусторонняя наклонная асимптота. выход сверху на -«> и на +то; у=0 при х — 0,85: у>0 при -0.35=.л <О и х >1: и<0 при х<-0.35 и 0<х<1. Других корней уравнение у--0, илн, что 1 то >ке, -х= — —, нс пмсст: при л.>! левая и правая части— >~)хт(.т-!) величины разных знаков, при х<0 ввиду монотонности у пих лишь одна точка «встречи» (как н в прслыдушсм примере), а при 0<х<1 модуль левой части меньше 1, а правой — оольшс 1. 11айдсм производныс: (0,69 — максимум; у„л„(0, 69) =-0,98 „ у'=1 — „,=О при х=,' 3(т> )"'> (1,49 — минин«м; у „,(1,49)м2,6>0.
(При х<0 производная у' корней нс имеет — оба слагаемых по- ло>китеььн.) Функция возрастасг при л<0, при 0<х<0,69 и х>1,49;убываегпри 0.69<.т<1 и !<л<1,49, х 3 ! 2(х —.т) - (2т-!) — (т —.т) (2т — !) 3 2> > 2 ,, х — х- (4х -4х+1) х —,т.~- 1О ' 5 —.— ~0.
(х> - т) «' ' '(.т(т-1)," Кривая выпукла при 0<.т<1, вогнута прн х<О и при х>1, перегибов нет. Контрольные точки: у(-3)= — 3ь!/Й2 =-2,56: у(-2)=-2+1/1/бе ! 45 ' у( — 1/2) = -1/З -«,'/4/3 =О 60 ' «(О 3) =- О 3+ 1/з/О 2 ! и -! 33 у(1, )=-1,2л !/з/0,24 2,81; у(2)-"2- !/Й=2,79; н(3)-.. 4!Я6- =3,55. 186. ь='/хз >2Мх; у= /-т е4х 187, у--чГх+ч!4-х 188. у=- 48+ х+чг8-х 189.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
